Devoir n° 30 - 2nd s

1) Calculer $A=\dfrac{\dfrac{1}{1-\pi}\dfrac{1}{1+\pi}}{1+\dfrac{1}{\pi^{2}-1}}$

 

2) Simplifier $B=\dfrac{(0.07)^{2}\times 5^{4}\times 64}{(-7)^{3}\times(-5)^{5}\times 8^{2}}$

 

3) Démontrer que : $3-\sqrt{2}=\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

 

4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

a) $|3-2x|+2010=0\quad$ b) $|5x+3|=x+7\quad$ c) $|x-2|<3$

 

5) Soit $C=-5u+3.$ Encadrer $C$ sachant que -3.58 est une valeur approchée de $u$ à 0.01 près.

1) Compléter le tableau suivant :

$$\begin{array}{c}\text{En termes de}\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &\text{valeur absolue}&\text{distance}&\text{intervalle}&\text{encadrement} \\ \hline 1&|5-x|\leq 3& & & \\ \hline 2& &d(x\;;\ -4)>2& & \\ \hline 3& & &x\in[2\;;\ 4]& \\ \hline 4& & & &-2\leq x\leq 2 \\ \hline\end{array}$$

 

2) On pose $X=\dfrac{a}{1+a^{2}}$ où $a$ est un réel positif. Prouver que l'on a : $$0\leq X\leq\dfrac{1}{2}$$

Soit $A\;,\ B$ et $C$ trois points non alignés. On définit les points $M\;,\ N$ et $P$ par : $$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\;,\quad\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$

 

1) Exprimer $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

 

2) En déduire que les points $M\;,\ N$ et $P$ sont alignés et que $N$ est le milieu de $[MP].$

 

3) Construire les points $Q$ et $R$ tels que $\overrightarrow{BQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\ $ et  $\ \overrightarrow{CR}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}.$

 

Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(QR)\;$ ? Justifier.

Soit $ABC$ un triangle. On définit les points $I\;,\ J$ et $K$ par :

 

$\centerdot\ I$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B.$

 

$\centerdot\  J$ est le milieu de $[BC].$

 

$\centerdot\  K$ est le barycentre du système $\{(A\;,\ 1)\;;\ (C\;,\ 2)\}.$

 

1) Faire une figure.

 

2) Écrire $B$ comme barycentre de $A$ et $I\;$, puis justifier que $J$ est le barycentre du système $\{(B\;,\ 2)\;;\ (C\;,\ 2)\}.$

 

3) En déduire que $J$ est le barycentre du système $\{(A\;,\ 1)\;;\ (I\;,\ 1)\;;\ (C\;,\ 2)\}.$

 

4) Montrer alors l'alignement des points $I\;,\ J$ et $K.$

Soit un trapèze $ABCD\;$, de bases $[AB]$ et $[CD].$ On suppose que les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O.$ On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD].$

 

Soit $k$ le réel positif tel que : $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OA}.$

 

1) Démontrer en utilisant THALES que l'on a aussi : $\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OB}.$ (On précisera soigneusement la projection utilisée).

 

2) Déterminer les coordonnées de $O\;,\ A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ dans le repère $(O\;,\ \overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OB}).$

 

3) Calculer les coordonnées de $I$ et $J.$ Démontrer que les points $O\;,\ I$ et $J$ sont alignés.

 

$$\text{Durée : 3 h}$$