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Vecteurs - 3e

Classe:

Troisième

I. Rappels

I.1 Définitions et caractérisation

Un vecteur

$AB$ , noté

$\overrightarrow{AB}$ et défini comme étant un segment orienté est principalement caractérisé par :

$-\$ Sa direction : celle de la droite

$(AB)$

$-\$ Son sens : de

$A$ vers

$B\ ($ celui de la demi-droite

$[AB))$

$-\$ Sa longueur : celle du segment

$[AB]$

Les vecteurs

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même longueur mais ils ont des sens contraires (opposés).

On notera

$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

I.2 Translation

I.2.1 Construction et définition

$A$ et

$A'$ étant donnés deux points,

$B$ un point de ce plan ; on construit le point

$B'$ tel que

$\centerdot\ \ (AA')\parallel(BB')$

$\centerdot\ \ \overrightarrow{AA'}\$ et

$\ \overrightarrow{BB'}$ sont de même sens

$\centerdot\ \ AA'=BB'$

et on l'appelle le translaté du point

$B$ (ou image de

$B$ ) par la translation qui transforme le point

$A$ en

$A'$ ou translation de vecteur

$\overrightarrow{AA'}.$

On notera

$t_{\overrightarrow{AA'}}(B)=B'$ c'est à dire ;

$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$

I.2.2 Propriétés

$\centerdot$

$\text{Si }\left\lbrace\begin{array}{lll} \cdot\;(AA')\parallel(BB') \\ \\\cdot\;[AA')\text{ et }[BB')\;\text{ de même sens }\text{ alors, }\;\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\\ \\\cdot\;AA'=BB'\end{array}\right.$

Ainsi,

$AA'BB'$ est un parallélogramme.

Par suite, si

$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ alors,

$AA'BB'$ est un parallélogramme (nouvelle configuration du parallélogramme).

$\centerdot\ \$ Si

$I$ milieu de

$[AB]$ alors,

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou encore

$\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$

Ainsi, si

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou

$\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ alors,

$I$ milieu de

$[AB].$

II. Addition vectorielle

II.1 Théorème et définition

Soit

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ deux vecteurs d'un plan et

$A$ un point de ce plan.

On construit les points

$B\$ et

$\ C$ ; translatés respectifs des points

$A\$ et

$\ B$ par les translations respectives

$t_{\vec{u}}\$ et

$\ t_{\vec{v}}.$

Le vecteur

$\vec{w}=\overrightarrow{AC}$ associé aux translations successives

$t_{\vec{u}}\$ et

$\ t_{\vec{v}}$ du point

$A$ est appelé somme vectorielle des vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}.$

On notera :

$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ ou encore

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

Le vecteur

$\vec{w}$ est indépendant du point

$A$ choisi mais dépend uniquement des vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}.$

II.2 Relation de Chasles

La relation de Chasles est une interprétation de l'addition vectorielle.

Soit

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ trois points d'un plan, on a :

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

Exemple :

Calculons les sommes vectorielles suivantes :

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TP} & = & \overrightarrow{CT}+\overrightarrow{TP} \\ \\& = & \overrightarrow{CP} \end{array}$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{TS} & = & \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST} \\ \\& = & \overrightarrow{RT} \end{array}$

II.3 Commutativité et associativité

Soient

$\vec{u}\;,\ \vec{v}\$ et

$\ \vec{w}$ trois vecteurs et un plan, on a :

$\centerdot\ \ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$

$\centerdot\ \ \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$

Exemple : donnons la somme vectorielle suivante :

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{NA}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN}) & = & \left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\overrightarrow{CN} \\ \\& = & \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{CN} \\ \\& = & \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NM} \\ \\& = & \overrightarrow{CM} \end{array}$

II.4 vecteur nul

Par définition, le vecteur nul ; noté

$\vec{0}$ est un vecteur qui a pour longueur 0.

Soit

$\vec{u}$ un vecteur du plan, on a

$\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.$

Et comme

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}$ alors,

$\overrightarrow{BB}=\vec{0}$

Remarques :

Soient

$A\$ et

$\ B$ deux points d'un plan, on a

$\overrightarrow{AA}=\vec{0}\$ et

$\ \overrightarrow{AB}=\vec{0}$ si, et seulement si,

$A=B.$

Le vecteur nul a toutes les directions possibles ;

$t_{\vec{0}}(M)=M$

II.5 Vecteurs opposés

Quelque soit un vecteur

$\vec{u}$ d'un plan, il existe un vecteur

$\vec{u}'$ de ce plan tel que

$\vec{u}+\vec{u}'=\vec{u}'+\vec{u}=\vec{0}$

Le vecteur

$\vec{u}'$ est appelé le vecteur opposé de

$\vec{u}$

On notera

$\vec{u}'=-\vec{u}$

Soit donc

$\overrightarrow{AB}$ un vecteur du plan ; on a :

$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}.$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\\ \\& = & \overrightarrow{AA} \\ \\& = & \vec{0} \end{array}$

$I$ milieu de

$[AB]$ alors,

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ alors,

$I$ milieu de

$[AB]$

Application :

Soit

$I$ milieu d'un segment

$[AB]$ d'un plan.

Démontrons que pour tout point

$M$ de ce plan, on a :

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

1er méthode

On a :

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$

Alors,

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$

Or,

$I$ milieu d'un segment

$[AB]$ donc,

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}.$

Ainsi,

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

2em méthode

On a :

$I$ milieu d'un segment

$[AB]$ alors,

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

Donc,

$\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$

Ainsi,

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{IM}$

D'où,

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

III. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

III.1 Exemple et définition

Soient

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\$ et

$\ F$ six points du plan tels que

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}$

On a :

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$

Alors,

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$

Donc,

$\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}$

En posant

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \vec{v}=\overrightarrow{AF}$ , on obtient :

$\vec{v}=5\times\vec{u}.$

Ainsi,

$\vec{v}$ est le produit du vecteur

$\vec{u}$ par le réel

$5.$

D'où, si deux vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ ont la même direction, il existe un réel

$k$ tel que

$\vec{v}=k.\vec{u}.$

Le vecteur

$\vec{v}$ est appelé le produit du vecteur

$\vec{u}$ par le réel

$k.$

Remarques :

$\centerdot\ \$ Si

$k>0$ alors,

$\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs

$\vec{v}\$ et

$\ \vec{u}$ ont la même direction, le même sens et que la longueur du vecteur

$\vec{v}$ est égale à

$k$ fois la longueur du vecteur

$\vec{u}.$

$\centerdot\ \$ Si

$k<0$ alors,

$\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs

$\vec{v}\$ et

$\ \vec{u}$ ont la même direction, de sens opposés et que la longueur du vecteur

$\vec{v}$ est égale à

$k$ fois la longueur du vecteur

$\vec{u}.$

$\centerdot\ \$ Si

$k=0$ alors,

$\vec{v}=0.\vec{u}=\vec{0}$

III.2 Propriétés

Soient

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ deux vecteurs du plan,

$a\$ et

$\ b$ deux nombres réels ; on a :

$\centerdot\ \ a.(\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec{v}$

$\centerdot\ \ (a+b).\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u}$

$\centerdot\ \ a.(b.\vec{u})=(a.b).\vec{u}$

$\centerdot\ \ a.\vec{u}=\vec{0}$ si, et seulement si,

$a=0$ ou

$\vec{u}=\vec{0}$

III.3 Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel

$k$ tel que

$\vec{v}=k.\vec{u}.$

Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

III.4 Utilisation de la colinéarité

$\centerdot\ \$ Les points

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ sont alignés si, et seulement si,

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{AC}$ colinéaires.

$\centerdot\ \$ Soient

$I\$ et

$\ J$ deux points distincts, on a :

$M\in\;(IJ)$ si, et seulement si,

$\overrightarrow{IJ}\$ et

$\ \overrightarrow{IM}$ colinéaires.

$\centerdot\ \$ Soient quatre points

$A\;,\ B\;\ C\$ et

$\ D$ tels que

$A\neq D$ et

$B\neq C$ , on a :

$(AB)\parallel(DC)$ si, et seulement si,

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{CD}$ colinéaires.

$\centerdot\ \ \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}$ alors

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ sont alignés. Et si :

$\cdot\ \ k<0$ alors,

$A\in\;[BC]$

$\cdot\ \ k=0$ alors,

$A=C$

$\cdot\ \ 0<k<1$ alors,

$C\in\;[AB]$

$\cdot\ \ k=1$ alors,

$B=C$

$\cdot\ \ k>1$ alors,

$B\in\;[AC]$

III.5 Configuration de Thalès

$\left\lbrace\begin{array}{lll} M\in\;[AB] \\ \\N\in\;[AC] \end{array}\right.\quad(MN)\parallel(BC)\$ ou

$\ \left\lbrace\begin{array}{lll} A\in\;[BM] \\ \\A\in\;[CN] \end{array}\right.$ avec

$\left\lbrace\begin{array}{lll} \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AN} \\ \\\overrightarrow{BC}=k.\overrightarrow{MN}\end{array}\right.$

Auteur:

Abdoulaye Ba

Commentaires

diokhane (non vérifié)

sam, 06/08/2019 - 14:14

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Cette page est super,nous

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Anonyme (non vérifié)

mer, 03/04/2020 - 21:58

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Biteye (non vérifié)

ven, 10/22/2021 - 13:06

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Anonyme (non vérifié)

ven, 08/30/2024 - 16:46

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Superbes cours

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I.1 Définitions et caractérisation

I.2 Translation

I.2.1 Construction et définition

I.2.2 Propriétés

II. Addition vectorielle

II.1 Théorème et définition

II.2 Relation de Chasles

Exemple :

II.3 Commutativité et associativité

II.4 vecteur nul

Remarques :

II.5 Vecteurs opposés

Application :

1er méthode

2em méthode

III. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

III.1 Exemple et définition

Remarques :

III.2 Propriétés

III.3 Vecteurs colinéaires

III.4 Utilisation de la colinéarité

III.5 Configuration de Thalès

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