Solution des exercices : Dynamique - Ts
Classe:
Terminale
Exercice 1

1) a) Vitesse du solide (S) en B, en C et en D
− Système étudié : le solide (S)
− Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P et la réaction →R du plan
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre :
∙ les points A et B :
ΔEC=∑→W⇒ECB−ECA=WAB(→P)+WAB(→R)⇒12mv2B−0=mgABsinα+0⇒vB=√2ABgsinα⇒vB=√2×1.6×10sin30⇒vB=4.0m⋅s−1
ΔEC=∑→W⇒ECC−ECB=WBC(→P)+WBC(→R)⇒12mv2C−12mv2B=mgr(1−cosα)+0⇒vC=√2gr(1−cosα)+v2B⇒vC=√2×10×0.9(1−cos30)+42⇒vC=4.3m⋅s−1
∙ les points C et D :
ΔEC=∑→W⇒ECD−ECC=WCD(→P)+WCD(→R)⇒12mv2D−12mv2C=mgr(1−cosβ)+0⇒vD=√v2C−2gr(1−cosβ)⇒vD=√(4.3)2−2×10×0.9(1−cos60)⇒vD=3.0m⋅s−1
b) Intensité de la force →R exercée par la piste sur le solide (S) en C et en D
− Système étudié : le solide
− Référentiel : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P du solide ; la réaction de la piste →R
− Le théorème du centre d'inertie s'écrit : →P+→R=m→a
Dans le repère de Frenet (M, →ut, →un)
suivant →un :
−P+R=man⇒−mg+RC=mV2Cr⇒RC=m(g+V2Cr)⇒RC=50⋅10−3(10+4.320.9)⇒RC=1.5
−Pcosθ+R=man⇒−mgcosθ+RD=mV2Dr⇒RD=m(gcosθ+V2Dr)⇒RD=50⋅10−3(10cos60+3.020.9)⇒RD=0.75N
c) Caractéristiques du vecteur vitesse →VD du solide (S) au point D
− Point d'application : le point D
− Direction : tangente à la trajectoire au point D
− Sens : dirigé vers le haut
− Intensité : vD=3.0m⋅s−1
2) a) Équation cartésienne de la trajectoire du mouvement de (S)
Le solide est soumis à son poids →P ; dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le théorème du centre d'inertie appliqué au solide (S) s'écrit :
→P=m→a⇒m→g=m→a⇒→a=→g⇒→a{ax=0ax=−g
d→Vdt=→a ⇒ {Vx=cteVx=−gt+cte
Or, {Vx(0)=cte=VDcosθVx(0)=−g×0+cte=VDsinθ
Donc, →V{Vx=VDcosθVx=−gt+VDsinθ
Par suite,
d→OMdt=→V⇒→OM{x=(VDcosθ)t+ctez=−12gt2+(VDsinθ)t+cte⇒{x(0)=(VDcosθ)×0+cte=0z(0)=−12g×02+(VDsinθ)×0+cte=h+r(1−cosθ)⇒{x=(VDcosθ)t(1)z=−12gt2+(VDsinθ)t+h+r(1−cosθ)(2)
(1) ⇒ x=(VDcosθ)t ⇒ t=xVDcosθ
(1) dans (2) entraine :
z=−12g(xVDcosθ)2+(VDsinθ)(xVDcosθ)+h+r(1−cosθ)
⇒z=−12gx2V2Dcos2θ+xtanθ+h+r(1−cosθ)
b) Hauteur H au-dessus du sol horizontal
dzdx=−gxV2Dcos2θ+tanθ=0 ⇒ x=V2Dcos2θgtanθ
Donc,
z=−12g(V2Dcos2θgtanθ)2V2Dcos2θ+V2Dcos2θgtanθtanhθ+h+r(1−cosθ)=12V2Dcos2θgtan2θ+h+r(1−cosθ)=12V2Dcos2θg+h+r(1−cosθ)=123.02sin26010+1.55+0.9(1−cos60)=H=2m
c) Calcul de la distance OP où P est le point d'impact du solide (S) sur le sol horizontal
z1=−tanθ+√tanθ2+2g(h+r(1−cosθ)V2Dcosθ2)gV2Dcosθ2=−tan60+√tan602+2×10(1.55+0.9(1−cos60)3.02cos602)10×3.02cos602=4.0
⇒z1=4.0m
z2=−tanθ+√tanθ2+2g(h+r(1−cosθ)V2Dcosθ2)gV2Dcosθ2
⇒z2<0 ;
Cette solution n'a pas de sens physique
3) a) Expression algébrique du travail W→f de la force en fonction de m, g, R et α

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre A et D
ECD−ECA=WAD(→P)+WAD(→R)+WAD(→f)
Donc, 0−0=mgrcosθ+0+WAD(→f)
Ce qui donne : WAD(→f)=−mgrcosθ
Calcul W→f
WAD(→f)=−mgrcosθ=−50⋅10−3×10×0.9cos60=−0.225J
b) Intensité de la force →f
WAD(→f)=−f(AB+rπ2)⇒f=−WAD(→f)AB+rπ2⇒f=−−0.225J1.6+0.9×π2⇒f=0.075N
Exercice 2
1) Détermination des composantes de l'accélération de la bombe
− Système : la bombe
− Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : →P
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la bombe s'écrit :
→P=m→a⇒m→g=m→a⇒→a=→g⇒→a{ax=0ay=g
d→Vdt=→a⇒{Vx=cteVy=gt+cte
Or {Vx(0)=cte=V0Vy(0)=−g×0+cte=0
⇒→V{Vx=V0Vy=gt
d→OMdt=→V⇒→OM{x=V0t+ctey=12gt2+cte
{x(0)=V0×0+cte=0y(0)=12g×02+cte=0
⇒→OM{x=V0ty=12gt2
3) Équation de la trajectoire de la bombe
x=v0t⇒t=xv0 et comme y=12gt2
⇒y=12g(xv0)2⇒y=12gx2v20
4) La position du véhicule par rapport à l'origine O
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
y=12gx2v20=2000⇒x2=2v20×2000g⇒x=√2v20×2000g=√2×4002×200010⇒x=8000m
Détermination de la date d'arrivée de la bombe au véhicule.
t=xv0=8000400⇒t=20s
5) Position de l'avion à la date d'arrivée de la bombe au véhicule
x=v0t=400×20=8000m
6) Détermination des caractéristiques du vecteur vitesse de la bombe à 1000m au-dessus du sol.
− Direction : tangent à la trajectoire au point considéré
− Sens : dirigé vers le sol
− Valeur :
t=xv0=1000400⇒t=2.5s⇒v=√v2x(t=2.5s)+v2y(t=2.5s)=√4002+(10×2.5)2⇒v=4.72⋅102m⋅s−1
Exercice 3

1) Calcul de la valeur de l'angle α.
− Système : La bille
− Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P et la tension →T du fil
Le théorème de l'énergie cinétique entre M1 et M2 s'écrit :
ECM1−ECM1=WM1M2(→P)+WM1M2(→T)⇒12mv2−0=mg(1−cosα)+0⇒cosα=1−v22gl⇒cosα=1−322×10×0.9⇒cosα=0.5α=60∘
2) Calcul la vitesse de la bille
La conservation de la quantité de mouvement : m1→v+→0=m1→v′1+m2→vA
Suivant le sens de →v′1 :
⇒m1v′1−m2vA=−m1v⇒m1v′1=m2vA−m1v⇒v′1=vA−v(m2=m1)⇒v′1=vA−v=4−3⇒v′1=1m⋅s−1
3) a) Expression, en fonction de g, r, β et vA, de la vitesse de la bille M2 au point I
− Système : Le pendule
− Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P
Le théorème de l'énergie cinétique entre A et I s'écrit :
ECMI−ECMA=WAI(→P)⇒12m2v2I−12m2v2A=−m2grcosβ⇒vI=√v2A−2grcosβ
b) Expression, en fonction de m2, g, r, β et vA, de l'intensité de la réaction de la piste sur la bille M2 au point I
Le théorème du centre d'inertie appliqué à la bille soumise à son poids et la réaction de la piste, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, s'écrit : →P+→R=m2→a
Projection dans le repère de Frenet (I, →ut, →un) et suivant →un :
⇒m2gcosβ−R=m2v2Ir⇒R=m2gcosβ−m2v2Ir−m=m2gcosβ−m2v2A−2grcosβr⇒R=m2(3gcosβ−v2Ar)
c) Calcul de la valeur de r.
vI=√v2A−2grcosβ
En : Dβ=0⇒vD=√v2A−2gr⇒r=v2A−v2D2g=42−122×10⇒r=0.75m
4) a) Équation cartésienne de la trajectoire de la bille M2
− Système : La bille
− Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
→P=m→a⇒m→g=m→a⇒→a=→g⇒→a{ax=0ay=−g
d→Vdt=→a
⇒→V{Vx=cteVy=−gt+cte
⇒→V(t=0){Vx=cte=VDVy=−g×0+cte=0
⇒→V{Vx=VDVy=−gt
d→OMdt=→V⇒→OM{x=VDty=−12gt2+R
⇒→OM(t=0){x=VD×0+cte=0y=−12g×02+cte=r
⇒→OM{x=VDty=−12gt2+r
x=vDt⇒t=xvD⇒y=−12gx2v2D+r
b) Calcul de la distance OE
La distance OE correspond à la portée ; donc : y=0
⇒−12gx2Ev2D+r=0⇒xE=√2v2Drg=√2×12×0.7510⇒xE=0.39m
Exercice 4

1. Signe de la tension UCD
Pour que les protons chargés positivement soient accélérés, il faut que les plaques P1 et P2 soient respectivement chargées positivement et négativement.
La tension UCD est donc de signe positif
2.1 Expression de la vitesse d'un proton en D en fonction de U, e et mp
− Système : le proton
− Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids →P et la force électrique →F
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'électron entre C et D s'écrit :
ΔEC=∑W⇒ECO−ECD=WDO(→P) or →P⊥→DO⇒WDO(→P)=0⇒ECO−ECD=0⇒ECO=ECD=costante
L'énergie cinétique se conserve donc entre D et O
3.2 Équations du mouvement d'un proton
− Système : le proton
− Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : la force électrique →F et le poids →P négligeable devant la force électrique →F
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
→F=mF→a⇒e→E=mF→a⇒→a=e→EmF⇒→a{ax=0ay=−eEmF
d→Vdt=→a
⇒→V{vx=ctevy=−eEmFt+cte
⇒→V(t=0){vx=cte=vDvy=−eEmF×0+cte=0
⇒→V{vx=VDvy=−eEmFt
d→OMdt=→V⇒→OM{x=vDt+ctey=−12eEmpt2+cte
⇒→OM(t=0){x=vD×0+cte=0y=−12eEmp×02+cte=0
⇒→OM{x=vDty=−12eEmpt2
3.3 Vérifions que l'équation de la trajectoire peut s'écrire :
y=−U′4dUx2
x=vDt⇒t=xvD
comme y=−12eEmpt2
⇒y=−12eEmp(xvD)=−12eEmpx2v2D ;
et omme E=U′d et vD=√2eEmp⇒v2D=2eEmp⇒y=−12empU′dx22eUmp⇒y=−14U′dUx2
3.4 Les protons sortent du champ électrostatique →E sans heurter la plaque P4 si :
y=−14U′dUl2<−d2
3.5 Détermination de U′
Les protons sortent du champ par le point S
y=−14U′dUl2=−d5⇒U′=4d25l2U=4×725×202×103⇒U′=9.8⋅101V
4.1 Représentation de la trajectoire (voir figure).
4.2 Expression littérale de la déviation O′J du spot sur l'écran.
tanα=O′JL=ySl2⇒O′J=2ySLl=−14U′dUl2LlU⇒O′J=−14U′ldUL=−14×9.8⋅101×207×103×20⇒O′J=1.4cm
Exercice 5
1) Détermination des lois horaires du mouvement
− Système étudié : la bille
− Référentiel : terrestre supposé galiléen
− Bilan des forces appliquées : le poids P de la bille
− La deuxième de Newton s'écrit :
→P=m→a⇒m→g=m→a⇒→a=→g⇒→a{ax=0ay=−g
d→Vdt=→a
⇒→V{Vx=cteVy=−gt+cte
Or {Vx(0)=cte=V0sinθVy(0)=−g×0+cte=V0cosθ
⇒→V{Vx=V0sinαVy=−gt+V0cosα
d→OMdt=→V⇒→OM{x=(V0sinα)t+ctey=−12gt2+(V0cosα)t+cte
⇒{x(0)=V0×0+cte=0y(0)=−12g×02+V0cosα×0+cte=0
⇒→OM{x=(V0sinα)t(1)y=−12gt2+(V0cosα)t(2)
(1)⇒x=(V0sinα)t⇒t=xV0sinα
Dans (2)⇒y=−12g(xV0sinα2)2+V0cosα×xV0sinα
⇒y=−12gx2V20sin2α+xcotgα
3) a) Temps pendant lequel la bille s'élève avant de descendre
La composante Vy du vecteur vitesse est nulle
Vy=−gt+V0cosα=0⇒t=V0cosαg=16cos509.8⇒t=1.0s⇒t=1.3s
b) Vitesse à la fin de cette phase ascendante
V=√V2x+V2y=√V0sin2α+0=V0sinα=16sin50⇒V=12m⋅s−1
4) Altitude maximale atteinte par la bille
ymax=−12gt2+(V0cosα)t
or t=V0cosαg⇒ymax=−12g(V0cosαg)2+(V0cosα)×V0cosαg
⇒ymax=V0cos2α2g=162cos2502×9.8
⇒ymax=5.4m
5) a) Détermination de la distance OP
C'est l'abscisse d'ordonnée nulle
y=⇒−12gx2pV20sin2α+xpcotgα=0⇒xp(−12gxpV20sin2α+cotgα)=0⇒xp=0 (Origine O)
ou xp=2cotgα×V20sin2αg=2V20sinαcosαg=V20sin2αg=162sin(2×50)9.8⇒xp=25.7m
b) Valeur de \alpha pour laquelle OP est maximale
x_{p} est maximale lorsque \sin 2\alpha=1\Rightarrow\;2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{4}
6) Montrons qu'il y a deux angles de tir \alpha_{1} et \alpha_{2} permettant d'atteindre Q
\begin{array}{lcl} y&=&\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{0}^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x_{0}\cot g\alpha&=&0\\\Rightarrow\;x_{0}&=&0\text{ ou }\dfrac{1}{2}g\dfrac{1}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}x_{0}-\cot g\alpha&=&0 \end{array}
\begin{array}{lcl} \text{Comme }\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}&=&1+\cot g^{2}\alpha\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}(1+\cot g^{2}\alpha)g x_{0}-\cot g\alpha&=&0\\\Rightarrow\cot g^{2}\alpha-\dfrac{2V_{0}^{2}}{g x_{0}}\cot g\alpha+1&=&0\\\\\Rightarrow\cot g\alpha_{1}&=&\dfrac{\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}-\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}}{1}\\&=&\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}-\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}\\&=&\dfrac{16^{2}}{9.8\times 10}-\sqrt{\dfrac{16^{4}}{(9.8\times 10)^{2}}-1}\\\Rightarrow\cot g\alpha_{1}&=&0.20\\\\\Rightarrow\cot g\alpha_{2}&=&\dfrac{\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}+\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}}{1}\\&=&\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}+\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}\\&=&\dfrac{16^{2}}{9.8\times 10}+\sqrt{\dfrac{16^{4}}{(9.8\times 10)^{2}}-1}\\\Rightarrow\cot g\alpha_{2}&=&5.03 \end{array}
\alpha_{1}=7807^{\circ}\text{ et }\alpha_{2}=11.3^{\circ}
Exercice 6
I. La trajectoire balistique de C vers T
a) Un référentiel galiléen est un référentiel dans le lequel le principe de l'inertie est vérifié.
b) Bilan des forces qui s'exercent sur la balle

Le poids de la balle est la seule force qui s'exerce sur la balle.
La balle tombe en chute libre
c) Équations horaires de la vitesse et de la position de la balle B.
-\ Système étudié : la bille
-\ Référentiel : terrestre supposé galiléen
-\ Bilan des forces appliquées : le poids \overrightarrow{P} de la balle
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
\begin{array}{lcl} \overrightarrow{P}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\;m\overrightarrow{g}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\overrightarrow{g}\end{array}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{z}&=&-g \end{array}\right.
\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{0}\\V_{z}&=&-gt \end{array}\right.
\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{0}t\quad(1)\\z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+z_{C}\quad(2) \end{array}\right.
d) Équation z(x) de la trajectoire de la balle B.
(1)\qquad\Rightarrow\;x=V_{0}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}}
\text{Dans }(2)\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}}\right)^{2}+z_{C}
\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}}+z_{C}
e) Abscisse x_{T} du trou T pour que la balle tombe directement dedans
La balle tombe dans lorsque :
\begin{array}{lcl}z&=&0\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{T}^{2}}{V_{0}^{2}}+z_{C}&=&0\\\Rightarrow\;x_{T}^{2}&=&\dfrac{2z_{C}V_{0}^{2}}{g}\\\\\Rightarrow\;x_{T}&=&\sqrt{\dfrac{2z_{C}V_{0}^{2}}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 40\cdot 10^{-2}\times 2.0}{9.8}}\\\Rightarrow\;x_{T}&=&0.40\,m \end{array}
f) Détermination la date t_{F} à laquelle la balle B tombe dans le trou
\begin{array}{lcl}z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+z_{C}\\&=&0\\\Rightarrow\;t^{2}&=&\dfrac{2z_{C}}{g}\\\Rightarrow\;t&=&\sqrt{\dfrac{2z_{C}}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 40\cdot 10^{-2}}{9.8}}\\\Rightarrow\;t&=&2.8s \end{array}
II. Le mouvement sur la rampe
a) Détermination la hauteur z_{A} de A nécessaire pour que la balle arrive en C.
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la balle entre A et C
\begin{array}{lcl} E_{C_{C}}-E_{C_{A}}&=&W_{\overrightarrow{AC}}(\overrightarrow{P})\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mV_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}&=&mg(z_{A}-z_{C})\\\\\Rightarrow\;z_{A}&=&\dfrac{1}{2g}(V_{C}^{2}-V_{A}^{2})+z_{C}\\&=&\dfrac{1}{2\times 9.8}(2.0^{2}-0.80^{2})+40\cdot 10^{-2}\\\Rightarrow\;z_{A}&=&57\,cm \end{array}
b) la vitesse est horizontale du fait qu'elle est tangente à la trajectoire au point C.
Exercice 7
1) a) Montrons que la trajectoire est plane
-\ Système : La balle
-
-\ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
-\ Bilan des forces appliquées : le poids \overrightarrow{P}
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
\begin{array}{lcl} \overrightarrow{P}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\;m\overrightarrow{g}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\overrightarrow{g}\end{array}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{y}&=&-g\\a_{z}&=&0 \end{array}\right.
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}
\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&cte\\v_{y}&=&-gt+cte\\v_{z}&=&cte \end{array}\right.
\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}v_{x}&=&cte&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{y}&=&-g\times 0+cte&=&v_{0}\sin\alpha\\v_{z}&=&cte&=&0 \end{array}\right.
\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{y}&=&-gt+v_{0}\sin\alpha\\v_{z}&=&0 \end{array}\right.
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(v_{0}\cos\alpha)t+cte\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t+cte\\z&=&cte \end{array}\right.
\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}x&=&(v_{0}\cos\alpha)\times 0+cte&=&0\\y&=&-\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\times 0+cte&=&h\\z&=&cte&=&0 \end{array}\right.
\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t+h\\z&=&0 \end{array}\right.
(1)\qquad\Rightarrow\;x=(V_{0}\sin\alpha)t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}
\text{Dans }(2)\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}\right)^{2}+V_{0}\cos\alpha\times\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}
\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x\cot\,g\alpha
Quelque soit t, z=0, la trajectoire est plane et se fait dans le plan (xOy)
b) Équation de cette trajectoire
On obtient cette équation en éliminant t entre x et y :
\begin{array}{lcl} x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)+h\\\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+(\tan\alpha)x+h \end{array}
c) Valeur de V_{0} pour que le panier soit réussi
Le panier est réussi si x=7.1\,m et y=3\,m
\begin{array}{lcl} y&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+(\tan\alpha)x+h\\\Rightarrow\;v_{0}^{2}&=&\dfrac{gx^{2}}{2\cos^{2}\alpha(x\tan\alpha+h-y)}\\\\\Rightarrow\;v_{0}&=&\sqrt{\dfrac{gx^{2}}{2\cos^{2}\alpha(x\tan\alpha+h-y)}}\\&=&\sqrt{\dfrac{10\times 7.1^{2}}{2\cos^{2}45^{\circ}(7.1\times\tan 45^{\circ}+2-3)}}\\\Rightarrow\;v_{0}&=&12\,m\cdot s^{-1} \end{array}
d) Durée du trajet effectué par le ballon du point A au point C
\begin{array}{lcl} x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\&=&\dfrac{7.1}{12\times\cos 45}\\\Rightarrow\;t&=&0.84s \end{array}
2) Vérifions si le panier sera marqué ou non
\begin{array}{lcl} x=0.9\Rightarrow\;x&=&-\dfrac{1}{2}10\times\dfrac{0.9^{2}}{12^{2}\times\cos^{2}45^{\circ}}+\tan 45^{\circ}\times 0.9+2\\\Rightarrow\;y&=&2.84\,m>2.7\,m \end{array}
Le panier sera marqué
Exercice 8
Partie A
1) a) Représentation des forces qui s'exercent sur le solide.
b) Expression de l'accélération a du solide (S_{1})
-\ Système : Le solide (S_{1})
-\ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
-\ Bilan des forces appliquées : le poids \overrightarrow{P} et la réaction \overrightarrow{R} du plan.
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a}
Projection suivant l'axe x'x :
m_{1}g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\alpha=5\,m\cdot s^{-2}
Le mouvement du solide (S_{1}) est uniformément accéléré
Calcul de a :

a=g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\;a=5\,m\cdot s^{-2}
2) a) Calcul de la valeur de la vitesse V_{B}
\begin{array}{lcl} V_{B}^{2}-V_{A}^{2}&=&2aAB\\\Rightarrow\;V_{B}^{2}-0&=&2aAb\\\Rightarrow\;V_{B}&=&\sqrt{2aAb}\\&=&\sqrt{2\times 5\times 2.5}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&5\,m\cdot s^{-1} \end{array}
b) Calcul de la durée t_{B} du trajet AB
V_{B}=at_{B}\Rightarrow\;t_{B}=\dfrac{V_{B}}{a}=\dfrac{5}{5}
\Rightarrow\;t_{B}=1s
Partie B

1) a) Expression de l'accélération a du système
La deuxième loi de Newton s'écrit :
-\ Pour le solide (S_{1}) :
\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{T_{1}}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}
Suivant x'x :
-f-m_{1}g\sin\alpha+0+T_{1}=m_{1}a_{1}\Rightarrow\;T_{1}=m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}
-\ Pour le solide (S_{2}) :
\overrightarrow{P_{2}}+\overrightarrow{T_{2}}=m_{2}\overrightarrow{a_{2}}
Suivant y'y :
m_{2}g-T_{2}=m_{2}a_{2}\Rightarrow\;T_{2}=m_{2}g-m_{2}a_{2}
Les forces de frottement sont négligeables au niveau de la poulie :
T_{1}=T'_{1}=T_{2}=T'_{2}
\Rightarrow\;m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}+f=m_{2}g-m_{2}a_{2}
Le fil est inextensible, l'accélération est la même en tout du fil :
a_{1}=a_{2}=a
\Rightarrow(m_{1}+m_{2})a=(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f
\Rightarrow\;a=\dfrac{(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f}{(m_{1}+m_{2})}
m_{2}=m_{1}\Rightarrow\;a=\dfrac{m_{1}(1-\sin\alpha)g-f}{2m_{1}}
\Rightarrow\;a=(1-\sin\alpha)g-\dfrac{f}{2m_{1}}
b) Calcul de a
\begin{array}{lcl} a&=&(1-\sin\alpha)g-\dfrac{f}{2m_{1}}\\&=&(1-\sin 30^{\circ})\times 10-\dfrac{0.2}{2\times 200\cdot 10^{-3}}\\\Rightarrow\;a&=&4.5\,m\cdot s^{-2} \end{array}
2) Calcul de v_{C}
v_{C}=at_{C}=4.5\times 1\Rightarrow\;v_{C}=4.5\,m\cdot s^{-1}
3) a) Expression de la nouvelle accélération a_{1} du solide (S_{1}) après la coupure du fil
La deuxième loi de Newton s'écrit :
\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}
Suivant x'x :
\begin{array}{lcl} f-m_{1}g\sin\alpha+0&=&m_{1}a_{1}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&\dfrac{f-m_{1}g\sin\alpha}{m_{1}}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&\dfrac{f}{m_{1}}-g\sin\alpha \end{array}
Le mouvement du solide (S_{1}) est uniformément varié
b) Calcul de la distance maximale (par rapport au point C) parcourue par le solide (S_{1})
\begin{array}{lcl} 0^{2}-v_{C}^{2}&=&2a_{1}d\\\Rightarrow\;d&=&\dfrac{-v_{C}^{2}}{2a_{1}}\\\\&=&\dfrac{-v_{C}^{2}}{2\left(\dfrac{f}{m_{1}}-g\sin\alpha\right)}\\\\&=&\dfrac{-4.5^{2}}{2\left(\dfrac{0.2}{200\cdot 10^{-3}}-10\sin 30^{\circ}\right)}\\\Rightarrow\;d&=&2.5\,m \end{array}
Exercice 9
I. 1) a) Expression littérale des lois horaires x(t) et z(t) du mouvement de la balle
Système étudié : la balle
Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces appliquées : \overrightarrow{P}
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
\begin{array}{lcl}\overrightarrow{P}&=&m\vec{a}\\\\\Rightarrow\,m\vec{g}&=&m\vec{a}\\\\\Rightarrow\vec{a}&=&\vec{g}\\\\&\Rightarrow&\vec{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{z}&=&-g \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\vec{v}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{z}&=&-gt+v_{0}\sin\alpha\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&\left(v_{0}\cos\alpha\right)t\\\\z&=& -\dfrac{1}{2}gt^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h\end{array}\right.\end{array}
b) Équation de la trajectoire de la balle
x=\left(v_{0}\cos\alpha\right)t ;
z=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h
En éliminant t entre les deux équations, il vient :
\begin{array}{lcl} x&=&\left(v_{0}\cos\alpha\right)t\\\\\Rightarrow\,t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}+h\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha+h \end{array}
2) Calcul des coordonnées du point S le plus élevé atteint par la balle.
Lorsque la balle atteint le point S le plus élevé, la vitesse se réduit à sa composante horizontale
\begin{array}{lcl} v_{z}&=&-gt_{S}+v_{0}\sin\alpha\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\,t_{S}&=&\dfrac{v_{0}\sin\alpha}{g}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{v_{0}^{2}\cos\alpha\sin\alpha}{g}\\\\ z&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+h \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{v_{0}^{2}\cos\alpha\sin\alpha}{g}\\\\ z&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+h \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{10^{2}\cos 45\sin 45}{9.8}\\\\ z&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{10^{2}\sin^{2}45}{9.8}+2.7 \end{array}\right. \\\\ú&\Rightarrow&S\;(5.1m\ ;\ 5.3m) \end{array}
z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha+h
\begin{array}{lcl} \alpha&=&0\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}\cos^{2}0}+x\tan\,0+h\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}}+h \end{array}
2) Vérifions si la balle franchira le filet oui ou non
\begin{array}{lcl} z(1)&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{l^{2}}{v_{2}^{1}}+h\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\times 10\times\dfrac{12^{2}}{25^{2}}+2.7\\\\\Rightarrow\,z(1)&=&1.55m>h_{0}\\\\&=&1m \end{array}
la balle a franchi le filet.
3) Distance derrière le filet où retombe la balle sur le sol.
\begin{array}{lcl} z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}}+h\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\,x_{p}&=&\sqrt{\dfrac{2v_{1}^{2}h}{g}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 25^{2}\times 2.7}{9.8}}\\\\\Rightarrow\,x_{p}&=&18.6m \end{array}
\begin{eqnarray} d&=&x_{p}-l\nonumber\\\\&=&186-12\nonumber\\\\\Rightarrow\,d&=&66m \end{eqnarray}
Commentaires
Mamadi DIANE (non vérifié)
mer, 11/11/2020 - 12:35
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Remerciements
Yousouf Traoré (non vérifié)
mer, 12/02/2020 - 18:31
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exo et leur correction
Pape (non vérifié)
dim, 12/06/2020 - 22:40
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Remerciements
kheuch dady gueye (non vérifié)
dim, 01/17/2021 - 00:23
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avoir mon bac
Anonyme (non vérifié)
lun, 02/22/2021 - 20:17
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Très important
Thierno fall (non vérifié)
lun, 03/08/2021 - 12:37
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Erreur ou j’ai pas compris
Thierno (non vérifié)
lun, 03/08/2021 - 12:49
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J’ai vu désolé
ianja (non vérifié)
ven, 03/26/2021 - 20:36
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pourquoi dans exo 1 TEC au pt
Abdoul Ndiaye (non vérifié)
dim, 04/18/2021 - 01:12
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Améliorer ma compréhension
Zaranada Venance (non vérifié)
jeu, 05/20/2021 - 13:50
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Physque
Mohamed sidi be... (non vérifié)
dim, 10/24/2021 - 02:04
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Etudiant
Amar Diaw (non vérifié)
dim, 12/26/2021 - 20:15
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Demande
Namediarrabadia... (non vérifié)
jeu, 03/10/2022 - 23:06
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Merci beaucoup pour les
Cheikh SALL (non vérifié)
mar, 05/31/2022 - 20:35
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Bon travail machallah
Anonyme (non vérifié)
mar, 06/28/2022 - 23:24
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Salut à l'exos 8 il y'a
Anonyme (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 11:09
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Jai absolument aimé les
Abdoul Diallo (non vérifié)
dim, 01/29/2023 - 18:24
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Trés bien, chers valeureux
Anonymeeeeee (non vérifié)
dim, 12/03/2023 - 16:23
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Très intéressant
Papounet01 (non vérifié)
ven, 12/15/2023 - 21:16
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Erreur
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