Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2014

 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, unité graphique $10\,cm.$

 

Soit $\theta\in\,]0\;,\ 2\pi[$  et  $r\in\,]0\;,\ 1[.$

 

On considère la suite de nombres complexes définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} z_{0}&=&1\\\\ |z^{n}|=r^{n}\quad\text{et}\quad arg\dfrac{z_{n}}{z_{n-1}}&=&\theta[2\pi]\quad\text{pour }n\geq 1 \end{array}\right.$$

On note $A_{n}$ le point de $z_{n}$ avec $n\in\mathbb{N}$

 

1) Représenter les cinq premiers termes de la suite $\left(A_{n}\right)$ pour $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et  $r=\dfrac{1}{2}$

 

2) a) Que peut-on dire de la suite $\left(z_{n}\right)$ ?

 

b) Calculer $S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left|z_{k+1}-z_{k}\right|.$

 

En déduire la somme $A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+\ldots+A_{n-1}A_{n}.$ 

 

Pour $n\in\mathbb{N}$, on note $G_{n}$ l'isobarycentre des points $A_{0}$, $A_{1}$, $\ldots$, $A_{n}$ et $\mu_{n}$ l'affixe de $G_{n}.$

 

Vérifier que $(n+2)\mu_{n+1}-(n+1)\mu_{n}=z_{n}+1$

 

4) Soit $\left(\beta_{n}\right)$ la suite numérique définie par $\beta_{n}=\left|\mu_{n}\right|.$

 

a) Montrer que pour $n\in\mathbb{N}$, $\left|1-\left(r\mathrm{e}^{i\theta}\right)^{n+1}\right|\leq 2$

 

b) Montrer que $\left|1-r\mathrm{e}^{i\theta}\right|\geq 1-r$

 

c) En déduire $0\leq\beta_{n}\leq\dfrac{2}{(n+1)(1-r)}$ puis $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\beta_{n}$

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité graphique $1\,cm.$

 

On considère l'hyperbole $(\mathcal{C})$ d'équation $x^{2}-3y^{2}=3$ et la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $x=2$

 

1) a) Préciser les asymptotes et les sommets de $(\mathcal{C})$

 

b) tracer $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D})$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

c) Interpréter graphiquement l'intégrale : $$I=\int_{\sqrt{3}}^{2}\sqrt{\dfrac{x^{2}}{3}-1}\mathrm{d}x$$

 

Soit $f$ la similitude directe de centre $O$, d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et  rapport $2.$ 

 

On désigne par $(\mathcal{C'})$ et $(\mathcal{D'})$

 

Les images respectives de $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D})$ par $f.$

 

a) Montrer que $(\mathcal{C'})$ est la représentation graphique de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{6}{x}\right)$

 

b) Déterminer l'équation réduite $(\mathcal{D'})$

 

c) Calculer les abscisses des points d'intersection de $(\mathcal{C'})$ et $(\mathcal{D'})$

 

d) Tracer $(\mathcal{C'})$ et $(\mathcal{D'})$ dans le repère précédent.

 

3) a) calculer en $cm^{2}$ l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathcal{C'})$ et la droite $(\mathcal{D'})$

 

b) En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I.$

 

On donne $\sqrt{3}=1.73$ ; $\sqrt{6}=2.45$ ; $\sqrt{2}=1.42$

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\;,\ \pi]$ par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2-x+2\ln\left(-\dfrac{x}{2}\right)&\text{si}&x<0\\ \\0&\text{si}&x=0\\\\\dfrac{1-\cos x}{x}&\text{si}&x\in\,]0\ ;\ \pi] \end{array}\right.$$

Soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) Soit $g$ la fonction définie sur $[0\ ;\ \pi]$ par $g(x)=x\sin x+\cos x-1$ 

 

a) Étudier les variations de $g$ sur $[0 ; \pi]$

 

b) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ l'intervalle $\left]\dfrac{2\pi}{3}\ ;\ \pi\right[$

 

c) préciser le signe de $g(x)$ suivants les valeurs de $x$

1) a) Étudier la continuité de $f$ en $0$

 

b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$

 

2) Étudier les variations de $f$ sur $[0\ ;\ pi]$

 

3) a) Étudier les variations de $f$ sur $]-\infty\ ;\ 0[$

 

b) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ dans l'intervalle $]-\infty\ ;\ 0[.$

 

Vérifier que $\beta$ appartient à l'intervalle $I=[-1\ ;\ 0[$

 

4) a) Montrer que $f(\alpha)=\sin\alpha$

 

b) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

c) Construire la courbe $(\mathcal{C}).$

 

On donne : $\alpha=2.34$ et $f(\alpha)=0.72$