Nombres rationnels - 4e

Classe: 
Quatrième

I. Définitions :

Activité 1 :

Trace une droite graduée d'origine $O$ puis place les $A\;,\ B\;,\ C$ d'abscisses respectives $\dfrac{3}{5}\;,\ \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{7}{2}.$
 
a) Donne l'écriture décimale de l'abscisse de chacun des points $A\;,\ B$ et $C$.
 
b) Place les points $A'\;,\ B'$ et $C'$ symétriques respectifs de $A\;,\ B$ et $C$ par rapport au point $O.$
 
Quelle est l'abscisse de chacun de ces points ?
 
c) Que représente pour l'abscisse de $A$,l'abscisse de $A'$ ?

Activité 2 :

Le nombre $x$ tel que $2x=-14$ est le quotient de $-14$ par $2$.On écrit $x=\dfrac{-14}{2}$ c'est-a-dire.
 
a) Cherche le nombre entier relatif $a$ tel que : $-3a=51$.
 
Pour cela indique le signe de $a$.Justifie ta réponse.
 
Écris le quotient de $51$ par $-3$ de trois manières différentes
 
b) Cherche le nombre décimal relatif $x$ tel que $2x=-14$.
 
Pour cela indique le signe de $x$ en justifiant. Écris de deux façons différentes le quotient de $-14$ par $-2$. 
 
Explique pourquoi ?

Activité 3 : 

Peux-tu trouver la valeur décimal de :$\dfrac{-8}{3}\;;\ \dfrac{9}{-5}$ et $\dfrac{-1}{-7}.$

Activité 4 :

Soit $(D)$ une droite graduée d'origine $O$.
 
Placer au mieux possible les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ et $F$ par rapport au point $O.$
 
Quelle est l'abscisse des points respectifs $A'\;,\ B'\;,\ C'\;,\ D'\;,\ E'$ et $F'.$

Activité 5 :

Écris les nombres suivants sous forme d'un décimal relatif comportant une virgule : 
 
$\dfrac{3}{4}\;,\ -\dfrac{1}{2}\;,\ -\dfrac{1}{4}\;,\ \dfrac{4}{5}\;,\ -\dfrac{1}{9}\;,\ \dfrac{7}{3}\;,\ \dfrac{13}{7}\;,\ \dfrac{19}{3}\;,\ \dfrac{27}{4}$
 
Un nombre rationnel (fraction) est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}\;\text{ avec }\;a\in\mathbb{Z}\;\text{ et }\;b\in\mathbb{Z}^{*}.$
 
$a$ et $b$ sont les termes.
 
L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}.$

Remarque :

Tout entier naturel est un rationnel : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$
 
Tout entier relatif est un rationnel : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$
 
Tout décimal relatif est un rationnel : $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$
 
D'où $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$
 
Tout développement décimal illimité périodique est un rationnel car tout ddip peut s'écrire sous la forme d'un quotient d'un entier relatif par un entier relatif non nul.
 
Tout quotient d'un entier relatif par un entier relatif non nul est un rationnel.

Exemples :

$-\dfrac{3}{4}\;;\quad -\dfrac{13}{4}\;;\quad \dfrac{5}{7}\;;\quad \dfrac{-32}{7}\;;\quad \dfrac{45}{-8}$
 
La période d'un ddip est le nombre de chiffre de sa plus petite partie périodique.

Exemples :

$1.444$ a pour partie périodique $4$.
 
$3.217217217$ a pour période $217$

Exercice d'application :

1) Les nombres suivants sont des rationnels : $0.75\;;\ 1.8\;;\ 12\;;\ 0.1\;;\ -0.8\;;\ -3\;;\ 5.25$ 
 
Justifie cela.
 
2) Montrer que les ddip suivants peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient : 
 
$y=5.1212\;;\quad x=1.333\;;\quad z=0.1428571428571$

Solution

1) $0.75=\dfrac{3}{4}\;;\quad 1.8=\dfrac{18}{10}\;;\quad 12=\dfrac{24}{2}\;;\quad 0.1=\dfrac{1}{10}$ 
 
$-0.8=\dfrac{-8}{10}\;;\quad -3=\dfrac{-9}{3}\;;\quad 5.25=\dfrac{525}{100}$
 
2)

$\begin{array}{rcl} y=5.1212&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 100\times y&=&100\times 5.1212 \\ -y&=&-5.1212\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&99y=506.9998\\ \\ &\Rightarrow&y=\dfrac{506.9998}{99}\\ \\ &\Rightarrow&y=\dfrac{507}{99}\end{array}$

 
$\begin{array}{rcl} x=1.333&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 10\times x&=&10\times 1.333 \\ -x&=&-1.333\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 10x&=&13.33 \\ -x&=&-1.333\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&9x=11.997\\ \\ &\Rightarrow&x=\dfrac{11.997}{9}\\ \\ &\Rightarrow&x=\dfrac{12}{9}\ =\ \dfrac{4}{3}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} z=0.1428571&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 1000000\times z&=&1000000\times 0.1428571 \\ -z&=&-0.1428571\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 1000000z&=&142857.1 \\ -z&=&-0.1428571\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&999999z=142856.9571429\\ \\ &\Rightarrow&z=\dfrac{142856.9571429}{9999999}\\ \\ &\Rightarrow&z=\dfrac{142857}{999999}\\ \\ &\Rightarrow&z=\dfrac{1}{7}\end{array}$

II. Propriétés

1) Si $b\neq 0$ et $d\neq 0$ ; l'égalité $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ traduit une proportion.
 
$a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ sont les termes de la proportion.
 
$a$ et $d$ sont les extrêmes ;
 
$b$ et $c$ sont les moyens

$\begin{array}{rcl}\text{2) Si }\ b\neq 0\ \text{ et }\ d\neq 0\;\ (bd\neq 0)\;,\ \text{ alors }\ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}&\Leftrightarrow&bd\times\dfrac{a}{b}=bd\times\dfrac{c}{d}\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{bda}{b}=\dfrac{bdc}{d}\\ \\ &\Leftrightarrow&da=bc\end{array}$
 
D'où on a :
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Leftrightarrow\;ad=bc$$
 
(produit des extrêmes est égal au produit des moyens)
        
3) Si on permute les extrêmes ou les moyens d'une proportion ; elle reste inchangée :
 
si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$ 
 
d'où $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Leftrightarrow\;\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$$
 
si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ 
 
d'où $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Leftrightarrow\;\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$
 
4) Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=q$ alors on a : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{a}{b} &=& q \;\Leftrightarrow\; a\times 1 = bq \;\Leftrightarrow\; a = bq \\ \\ \dfrac{c}{d} &=& q \;\Leftrightarrow\; c\times 1 = dq \;\Leftrightarrow\; c = dq\end{array}\right.$ 

$\begin{array}{rcl}\text{Donc, }\ a+c=bq+dq=q(b+d)&\Rightarrow&q=\dfrac{a+c}{b+d}\\ \\ &\Rightarrow&\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ =\ \dfrac{a+c}{b+d}\end{array}$
 
D'où $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$$
 
5) Par analogie on a :
 
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=q$ alors on a :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{a}{b} &=& q \;\Leftrightarrow\; a\times 1=bq \;\Leftrightarrow a=bq \\ \\ \dfrac{c}{d} &=& q \;\Leftrightarrow\; c\times 1=dq \;\Leftrightarrow\; c=dq \end{array}\right.$ 

$\begin{array}{rcl}\text{Donc, }\ a-c=bq-dq=q(b-d)&\Rightarrow&q=\dfrac{a-c}{b-d}\\ \\ &\Rightarrow&\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ =\ \dfrac{a-c}{b-d}\end{array}$
 
D'où $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}$$

Exercice d'application :

1) Déterminer le rationnel $x$ tel que : $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{5}{2}$
 
2) Déterminer les rationnels $x$ et $y$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{x}{y} &=& \dfrac{7}{3} \\ \\ x+y &=& 40 \end{array}\right.$ 

III. Différentes écritures d'un nombre rationnel

III.1 Définition 

Un nombre rationnel peut s'écrire sous plusieurs formes:écriture décimale,écriture fractionnaire ou écriture scientifique.
 
Pour écrire un nombre rationnel sous la forme scientifique ;on l'écrit sous la forme $a.10^{n}$ avec $a\in\mathbb{D}$ avec une partie entière non nul et $a$ un chiffre et $n\in\mathbb{Z}.$

Exemples :

$45.17.10^{-3}\;;\ 1.67.10^{4}\;;\ -78.265^{-3}\;;\ 142.10^{4}\;;\ 0.64.10^{-2}$ ne sont pas des écritures scientifiques.
 
$0.75=\dfrac{3}{4}=75.10^{-2}\;;\ \dfrac{8}{5}=1.6=16.10^{-1}\;;\ -2.6=\dfrac{13}{5}=-26.10^{-1}$

Exercice d'application :

Écris sous forme scientifique les nombres suivants : $0.7.10^{2}\;;\ 0.025.10^{1}$

Solution :

$\begin{array}{rcl} 0.7\;10^{3}&=&\dfrac{0.7\;10^{3}\times 10}{10}\\ \\ &=&\dfrac{7.10^{3}}{10}\\ \\ &=&7.10^{3}\times 10^{-1}\\ \\ &=&7.10^{3-1}\\ \\ &=&7.10^{2}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} 0.025\;10^{1}&=&\dfrac{0.025\times 1000.10^{1}}{1000}\\ \\ &=&\dfrac{25.10^{1}}{10^{3}}\\ \\ &=&25.10^{1}\times 10^{-3}\\ \\ &=&25.10^{1-3}\\\\ &=&25.10^{-2}\end{array}$

III.2 Multiplication des termes d'un rationnel par un entier non nul

Exemples :

$\dfrac{7}{3}=\dfrac{7\times 2}{3\times 2}=\dfrac{14}{6}\;;\ \dfrac{61.7}{9}=\dfrac{61.7\times 10}{9\times 10}=\dfrac{617}{90}\;;\ \dfrac{-15}{11}\;;\ \dfrac{198.62}{-27.3}$

III.3 Simplification

Exemples :

Simplifier les nombres rationnels suivants :
 
$\dfrac{42}{3920}\;;\ \dfrac{66}{17640}\;;\ \dfrac{30}{62}\;;\ \dfrac{12}{45}\;;\ \dfrac{600}{945}\;;\ \dfrac{720}{648}\;;\ \dfrac{1880}{5292}\;;\ \dfrac{2275}{2695}$

N.B :

$a$ et $b$ étant deux nombres entiers naturels et $b$ non nul ; on a : 
 
$\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\;;\quad \dfrac{-a}{-b}=\dfrac{+a}{+b}=+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}$

IV. Opérations dans $\mathbb{Q}$

IV.1 Addition - soustraction

IV.1.1 Réduction au même dénominateur

Exemples :

Réduire au même dénominateur les fractions suivants : 
 
$\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{7}{3}\;;\ \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{7}$
 
$\dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{7}{12}\;;\ \dfrac{17}{8}$ et $\dfrac{11}{4}$

IV.1.2 Opposé

L'opposé d'un nombre rationnel est un nombre rationnel de signe opposé.

IV.1.3 Somme et différence

Soient $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $b\neq 0$ et $d\neq 0.$
 
De façon général on a : la somme deux nombres rationnels est un nombre rationnel
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\quad\text{et}\quad\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$$
 
La somme deux nombres rationnels est un nombre rationnel :
$1^{er}$ cas : $b=d\;\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{a+c}{d}$

Exemple :

$\dfrac{-35}{9}+\dfrac{23}{9}\;;\ \dfrac{4}{5}+\dfrac{-9}{5}$
 
$2^{ième}$ cas : $b$ et $d$ sont premier entre eux $\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ 

Exemples :

$\dfrac{-3}{5}+\dfrac{4}{7}\;;\ \dfrac{-6}{13}-\frac{27}{17}$
 
$3^{ième}$ cas : $b$ est multiple $d$ 
 
$\Rightarrow\;b=dq$ d'où $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+cq}{dq}$ 

Exemples : 

$\dfrac{7}{4}+\dfrac{11}{12}\;;\ \dfrac{89}{54}-\dfrac{-67}{9}$
 
$4^{ième}$ cas : $b$ et $d$ ne sont ni premiers ni multiples entre eux 
 
$\Rightarrow\;b=b'q$ et $d=d'q$ d'où $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad'+cb'}{qb'd'}$

Exemples :

$\dfrac{-7}{12}+\dfrac{11}{20}\;;\ \dfrac{101}{45}-\dfrac{105}{21}$

Exercice d'application :

Résoudre les opérations suivantes :
 
$\dfrac{13}{32}-\dfrac{11}{12}\;;\ \dfrac{-17}{15}+\dfrac{19}{55}\;;\ \dfrac{5}{16}+\dfrac{45}{12}$ 
 
$\dfrac{14}{1.3}+\dfrac{-6}{1.3}\;;\ \dfrac{-40}{50}+\left(-\dfrac{10}{70}\right)\;;\ \dfrac{2}{236}+\dfrac{3}{118}\;;\ \dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{16}-\dfrac{1}{15}$

IV.2 Multiplication - division

IV.2.1 Produit de deux nombres rationnels

Soient $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $b\neq 0$ et $d\neq 0$ ; de façon général on a :
 
$$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$$

Exemples :

$\dfrac{m}{s}\times\dfrac{t}{o}\;;\ \dfrac{7}{4}\times\dfrac{3}{6}\;;\ \dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{11}\;;\ -5\times\dfrac{6}{21}\;;\ \dfrac{14}{15}\times(-5)$

IV.2.2 Quotient d'un nombre rationnel par un nombre rationnel non nul

Soient $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $b\neq 0$ et $d\neq 0$

Exemples :

$\dfrac{\frac{3}{4}}{\dfrac{7}{5}}\;;\ \dfrac{\dfrac{-3}{2}}{\dfrac{-7}{11}}\;;\ \dfrac{\dfrac{13}{14}}{\dfrac{-5}{3}}\;;\ \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{3}{4}}\;;\ \dfrac{\dfrac{7}{9}}{\dfrac{12}{-5}}\;;\ \dfrac{\dfrac{-11}{4}}{\dfrac{-2}{15}}\;;\ \dfrac{\dfrac{3}{4}}{5}\;;\ \dfrac{3}{\dfrac{4}{5}}$

IV.2.3 Inverse d'un nombre rationnel non nul

$a$ et $b$ étant deux nombres entiers relatifs non nuls on a : 
 
$$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}=1$$
 
On dit $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{b}{a}$ sont inverses l'un de l'autre.

Exemples : 

Donner l'inverse des nombres suivants :
 
$3\;;\ 0.75\;;\ -12\;;\ \dfrac{2}{5}\;;\ a\;;\ \dfrac{1}{a}\;;\ \dfrac{3}{11}\;;\ \dfrac{-2}{7}$

Remarque :

L'inverse de $1$ c'est $1$ et $0$ n'a pas d'inverse.

IV.3 Puissances d'un nombre rationnel

IV.3.1 Définition

Soient $a\in\mathbb{Q}$ et $n\in\mathbb{N}$ ;
 
$a^{n}$ est une puissance de $a$.

Exemples : 

$-6^{3}\;;\ \left(\dfrac{4}{7}\right)^{2}\;;\ \dfrac{4^{2}}{7}\;;\ \dfrac{4}{7^{2}}\;;\ 3.45^{-3}$

IV.3.2 Propriétés

Soient $a$ et $b$ des entiers relatifs non nuls, $n$ et $p$ des entiers relatifs ; on a :
 
$\centerdot\ \ a^{n}\times a^{p}=a^{n+p}$    
 
$\centerdot\ \ \left(a^{n}\right)^{p}=a^{np}$ 
 
$\centerdot\ \ (ab)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
 
$\centerdot\ \ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
 
$\centerdot\ \ \dfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}$
 
$\centerdot\ \ \dfrac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p}$
 
$\centerdot\ \ (-a)^{n}=a^{n}$ si $n$ est pair 
 
$\centerdot\ \ (-a)^{n}=-a^{n}$ si $n$ est impair
 

Commentaires

Aliou diaw (non vérifié)

jeu, 12/19/2019 - 00:50

excellent

Dieynaba Ba (non vérifié)

mer, 12/09/2020 - 23:26

Je veux être forte en maths

Dieynaba Ba (non vérifié)

mer, 12/09/2020 - 23:26

Je veux être forte en maths

Dieynaba Ba (non vérifié)

mer, 12/09/2020 - 23:26

Je veux être forte en maths

Anonyme (non vérifié)

sam, 01/02/2021 - 15:08

Je veux etre meilleur en science:Math,SVT,PC . Merci pour tout ce que vous faites pour notre compréhension

Cheikh (non vérifié)

jeu, 01/28/2021 - 22:24

Je veux devenir le plus fort en science de notre école

Ndeye Fall (non vérifié)

sam, 02/13/2021 - 18:42

Je ne comprends pas les nombres rationnels

Ndeye Fall (non vérifié)

sam, 02/13/2021 - 18:44

En faisant des exercices

Papa Moctar Thiam (non vérifié)

mar, 11/09/2021 - 11:14

Très interressé car le contenu de St très digeste

Mouhamet (non vérifié)

lun, 11/15/2021 - 11:21

Affibhe

Mouhamet (non vérifié)

lun, 11/15/2021 - 11:27

Affihe

Mouhamet (non vérifié)

lun, 11/15/2021 - 11:39

En affichant

Mouhamet (non vérifié)

lun, 11/15/2021 - 11:41

Afficher les nombres

Aïchetou (non vérifié)

sam, 10/28/2023 - 22:28

Je veux être là forte de tout l'école dans tout les matières

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