Série d'exercices : Réactions nucléaires - Ts

$-\ $ Particules ou noyaux $_{Z}^{A}X$ : $_{1}^{1}H$, $_{2}^{4}He$, $_{-1}^{0}e$, $_{0}^{1}n$, $_{1}^{1}p.$ 

 

$-\ $ Masse de la particule ou du noyau $_{Z}^{A}X$ : $m\left(_{Z}^{A}X\right).$

 

$-\ $ Énergie de liaison du noyau $$_{Z}^{A}X$ : $E_{\ell}\left(_{Z}^{A}X\right).$

 

1) Isotopie

 

1) a) Qu'appelle-t-on isotopes ?

 

1) b) Dans la littérature scientifique, on mentionne souvent :

 

$-\ $ le deutérium $D$ dont le noyau contient $1$ proton et $1$ neutron ;

 

$-\ $ le tritium $T$ dont le noyau contient $1$ proton et $2$ neutrons.

 

Comment doit-on noter $($dans la notation $_{Z}^{A}X)$ les noyaux $D$ et $T$ ? 

 

A quel élément chimique appartiennent-ils ?

 

2) Radioactivité

 

2) a) Qu'est-ce qu'un noyau radioactif ?

 

2) b) Le tritium $T$ est radioactif $\beta^{-}.$ 

 

Écrire l'équation de la désintégration de $T$ $($en utilisant la notation $_{Z}^{A}X).$

 

2) c) Le tritium $T$ a une demie-vie $_{1/2}=12$ ans. 

 

Que signifie cette affirmation ?

 

3) Fusion de noyaux

 

3) a) Qu'appelle-t-on réaction nucléaire de fusion ?

 

3) b) En utilisant la notation $_{Z}^{A}X.$, écrire l'équation nucléaire de la fusion $DT$, c'est-à-dire de la fusion entre un noyau de deutérium et un noyau de tritium, au cours de laquelle se forme un noyau d'hélium $_{2}^{4}He.$

 

Exprimer l'énergie $\Delta\,E$ qui peut être libérée par cette réaction en fonction des énergies de masse $E_{m}\left(_{Z}^{A}X\right)$ des particules (ou des noyaux) qui interviennent.

 

3) c) Exprimer la masse $m\left(_{Z}^{A}X\right)$ du noyau $_{Z}^{A}X$ en fonction de $m_{p}$, $m_{n}$, $Z$, $A$ et de l'énergie de liaison $E_{\ell}\left(_{Z}^{A}X\right).$

 

Pour la réaction de fusion envisagée, en déduire l'expression de $\Delta\,E$ en fonction des énergies de liaison.

 

3) d) On donne les valeurs des énergies de liaison des noyaux suivants :

 

$-\ \ E_{\ell}(D)=2.224\,Me\,V$ ;

 

$-\ \ E_{\ell}(T)=8.481\,Me\,V$ ;

 

$-\ \ E_{\ell}(42He)=28.29\,Me\,V.$

 

Calculer numériquement la valeur de $\Delta\,E.$

 

4) Conditions de la fusion $DT$

 

La fusion n'a lieu que si les deux noyaux sont en contact.

 

4) a) Les noyaux $D$ et $T$ se repoussent. 

 

Pourquoi ?

 

4) b) Pour que la fusion ait lieu, il faut que les noyaux $D$ et $T$ entrent en contact. 

 

Celui-ci n'est possible que si l'agitation thermique, c'est-à-dire l'énergie cinétique $E_{C}$ des noyaux, est suffisamment.

Les parties $1$, $2$ et $3$ de cet exercice sont indépendantes, toutefois l'objectif de cette étude expérimentale consiste, pour trois systèmes différents :

 

$\bullet\ $ d'une part à étudier un « temps » défini comme « temps caractéristique »

 

$\bullet\ $ d'autre part, à observer l'influence éventuelle sur ce temps caractéristique :

 

des grandeurs caractéristiques ; de conditions initiales ; et de paramètres extérieurs.

 

Pour chacun des phénomènes, les grandeurs caractéristiques, les conditions initiales et les paramètres extérieurs envisagés sont précisés dans le tableau de données.

 

Un échantillon de matière radioactive est placé dans la chambre d'un photomultiplicateur.

 

Un détecteur, associé au photomultiplicateur, mesure un nombre d'événements, pendant une durée $\Delta\,t$ déterminée.

 

On trace la courbe d'évolution du nombre d'événements mesuré par seconde $($noté $x)$, au cours du temps.

 

Soit $x_{0}$ la valeur de $x$ à l'instant choisi pour origine des dates.

 

On réalise des mesures avec des échantillons de radon $_{86}^{220}Rn$ et de radon $_{86}^{222}Rn$ qui sont des émetteurs $\alpha.$

 

Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Expérience 1}&\text{Expérience 2}&\text{Expérience 3}\\ \hline \text{Grandeurs caractéristiques du système :}&\text{radon }220&\text{radon }220&\text{radon }222\\ \text{nature du noyau}& & &\\ \hline \text{Conditions initiales :}&N_{0}&N'_{0}&N''_{0}\\ \text{population initialede noyaux radioactifs}& & &\\ N_{0}\neq N'_{0}\neq N''_{0}& & &\\ \text{Paramètres extérieurs}&\text{Aucune modification}&\text{Aucune modification}&\text{Aucune modification}\\\text{des paramètres extérieurs}&\text{des paramètres extérieurs}&\text{des paramètres extérieurs}&\text{des paramètres extérieurs}\\\hline \text{Temps caractéristique}&t_{1/2}=55.5\,s&t_{1/2}=55.5\,s&t_{1/2}= ?\text{(déterminé à la question 1.3.)}\\ \hline\end{array}$$

 

Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de $x$ au cours du temps sont représentées en annexe

 

1) Définir le temps de demi-vie (ou demi-vie).

 

2) La loi de décroissance radioactive s'écrit sous la forme $N=N_{0}\cdot e^{-\lambda\,t}$ où : $N$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant de date $t$, $N_{0}$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant choisi pour origine des dates $t_{0}=0\,s$, $\lambda$ est la constante radioactive. 

 

En utilisant la définition du temps de demi-vie, établir l'expression de $\lambda$ en fonction de $t_{1/2}.$

 

3) Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie.

 

La détermination devra apparaître clairement sur la courbe (3) de l'annexe

 

Pour cette détermination, on admettra que le nombre d'événements détectés par seconde, à l'instant de date $t$, est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon, à cette même date.

 

Pour déterminer le temps de demi-vie, on peut alors utiliser la courbe $x=f(t)$ de la même façon que celle représentant le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon en fonction du temps.

 

4) En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question

 

5) Préciser :

 

$-\ $ Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie ;

 

$-\ $ Si les conditions initiales ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie.

 

 

Tableaux de données :

L'énergie dégagée au cours de la combustion complète d'une mole de butane est $Q=2878\cdot10^{3}J$ ça veut dire que la combustion complète de $56\,g$ de butane dégage une énergie de $2878\cdot10^{3}J.$

Une centrale nucléaire est une usine de production d'électricité. 

 

Actuellement ces centrales utilisent la chaleur libérée par des réactions de fission de l'uranium $235$ qui constitue le "combustible nucléaire". 

 

Cette chaleur transforme de l'eau en vapeur. 

 

La pression de la vapeur permet de faire tourner à grande vitesse une turbine qui entraîne un alternateur produisant l'électricité.

 

Certains produits de fission sont des noyaux radioactifs à forte activité et dont la demi-vie peut être très longue.

 

1) Définir le terme demi-vie.

 

2) Le bombardement d'un noyau d'uranium $235$ par un neutron peut produire un noyau de strontium et un noyau de xénon selon l'équation suivante :

$$_{92}^{235}U\ +\ _{0}^{1}n\ \rightarrow\ _{Z}^{94}Sr\ +\ _{54}^{A}Xe\ +\ 3_{0}^{1}n$$

 

a) Déterminer les valeurs des nombres $A$ et $Z.$

 

b) Calculer en $MeV$ puis en joule l'énergie libérée par la fission d'un noyau d'uranium $235.$

 

Déduire L'énergie libérée en joule par la fission d'une mole d'uranium $235.$

 

c) Quelle est la masse de butane qu'on doit utiliser au cours d'une combustion complète pour produire la même quantité d'énergie libérée lors de la fission de $235\,g$ d'uranium $^{235}U.$

La fusion est la source d'énergie du soleil et des autres étoiles.

 

Pour obtenir une réaction de fusion, il faut rapprocher suffisamment deux noyaux qui se repoussent, puisqu'ils sont tous deux chargés positivement. 

 

Une certaine énergie est donc indispensable pour franchir cette barrière et arriver dans la zone, très proche du noyau, où se manifestent les forces nucléaires capables de l'emporter sur la répulsion électrostatique.

 

La réaction de fusion la plus accessible est la réaction impliquant le deutérium et le tritium.

 

C'est sur cette réaction que se concentrent les recherches concernant la fusion contrôlée.

 

La demi-vie du tritium consommé au cours de cette réaction n'est que de quelques années.

 

De plus il y a très peu de déchets radioactifs générés par la fusion et l'essentiel est retenu dans les structures de l'installation.

 

1. Le deutérium de symbole $_{1}^{2}H$ et le tritium de symbole $_{1}^{3}H$ sont deux isotopes de l'hydrogène.

 

1.1 Définir le terme de noyaux isotopes.

 

1.2 Donner la composition de ces deux noyaux.

 

2. Qu'appelle-t-on réaction de fusion ?

 

3. Écrire l'équation de la réaction nucléaire entre un noyau de Deutérium et un noyau de Tritium sachant que cette réaction libère un neutron et un noyau noté $_{Z}^{A}X.$

 

Préciser la nature du noyau $_{Z}^{A}X.$

 

4. Montrer que l'énergie libérée au cours de cette réaction de fusion est de $17.6\,MeV.$ 

 

Quelle est l'énergie libérée par la fusion d'une mole de tritium.

 

5. Quelle est la masse de butane qu'on doit utiliser au cours d'une combustion complète pour produire la même quantité d'énergie libérée lors de la fusion d'une mole de tritium.

 

6. A-t-on intérêt d'implanter en Tunisie un réacteur nucléaire. 

 

Citer les avantages et les inconvénients.

On donne pour tout l'exercice : 

 

$m(Bi)=210.0535\,U$

 

$M(Po)=210.0362\,u$ ; 

 

$M(Pb)=206.0295\,u$ ; 

 

$m_{\alpha}=4.0015\,u$ ; 

 

$m_{n}=1.0086\,u$ ; 

 

$m_{p}=1.0072\,u$

 

$1\,Mev=1.6\cdot10^{-13}J$ ; 

 

$1\,u=1.66\cdot10^{-27}kg=931.5\,Mev$ ; 

 

$1$ jour$=86400\,s.$

 

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.

 

A. un isotope du bismuth $_{Z}^{A}Bi$ est radioactif émetteur $\beta^{-}$ sa désintégration donne un noyau de polonium $_{84}^{210}Po.$

 

1) a) Écrire l'équation de la réaction nucléaire de désintégration du bismuth en précisant les lois utilisées.

 

b) Cette désintégration est-elle provoquée ou spontanée ? 

 

Justifier la réponse.

 

c) Quelle est l'origine de la particule $\beta^{-}$ émise.

 

2) a) Calculer, en $Mev.$ nucléon$^{-1}$, l'énergie de liaison par nucléon $E_{1}$ du noyau de bismuth utilisé.

 

b) Sachant que l'énergie de liaison du noyau de polonium est $E_{l_{2}}=1539.02\,Mev$, comparer la stabilité des noyaux de $_{Z}^{A}Bi$ et de $_{84}^{210}Po.$

 

3) A l'instant initial $t=0$, on considère un échantillon de bismuth de masse $m_{0}=1\,g$, soit $m(t)$ la masse du bismuth restant à la date $t$ $(t$ exprimée en jours$).$

 

a) donner l'expression du nombre de noyaux $N$ existant dans un échantillon de masse $m$ de bismuth en fonction de $m$, $M$ (masse molaire du bismuth) et $N$ (nombre d'Avogadro).

 

b) En appliquant la loi de décroissance radioactive, exprimer $m(t)$ en fonction de $m_{0}$, de la constante de désintégration radioactive $\lambda$ et de $t.$

 

c) Donner la définition de la période radioactive $T$ du bismuth puis calculer sa valeur (en jours) sachant que $m(t+10)=\dfrac{m(t)}{4}$ $(t$ : en jours$).$

 

d) Quelle est la masse restante de bismuth à la date $t=18$ jours.

 

e) Définir l'activité d'une substance radioactive. 

 

Déterminer l'activité radioactive $A_{0}$ de l'échantillon à la date $t=0$, puis déduire l'activité $A$ à la date $t=18$ jours $($il faut donner $A$ et $A_{0}$ en $B_{q})$

 

B. Le polonium $_{84}^{210}Po$ est radioactif émetteur $\alpha.$

 

1) Écrire l'équation de la réaction de désintégration $\alpha$ du $_{84}^{210}Po$ sachant qu'il conduit à un isotope du plomb $P_{b}.$

 

2) Calculer, en $Mev$, l'énergie $E$ libérée par cette réaction nucléaire.

 

3) En admettant que l'énergie $E$ libérée est répartie entre la particule $\alpha$ et le noyau de plomb sous forme d'énergie cinétique et que le rapport des énergies cinétiques de $\alpha$ et de $P_{b}$ est égal à l'inverse du rapport de leurs masses $\left(\dfrac{E_{C_{\alpha}}}{E_{C_{Pb}}}=\dfrac{m_{Pb}}{m\alpha}\right).$

 

Calculer en $Mev$ l'énergie cinétique de la particule $\alpha$ émise et celle $E_{C_{Pb}}$ du noyau de plomb, puis déduire la vitesse $v_{\alpha}$ de la particule $\alpha.$

 

4) En réalité, la particule $\alpha$ émise possède une énergie cinétique $E'_{C_{\alpha}}$ tel que $E'_{C_{\alpha}}<E_{C_{\alpha}}.$

 

a) Expliquer brièvement cette différence.

 

b) Sachant que l'énergie du photon $\lambda$ émis est $W_{\lambda}=0.918\,Mev$, déduire la valeur de $E'_{C_{\alpha}}$ et la longueur d'onde du photon $\lambda.$