Théorèmes de la droite des milieux - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Activité

Soit ABC un triangle quelconque, I milieu du segment [AB] e J milieu du segment [AC].
 
1) Faire une figure
 
2) Construire le point K=SJ(I)
 
3) Démontrer que AICK est un parallélogramme
 
4) Démontrer que BIKC est un parallélogramme
 
5) Quelle est la position des droites (BC)  et  (IJ)
 
6) Montrer que IJ=12BC

Solution

1) et 2)

 
3) J est milieu commun à [AC]  et  [IK] donc, AICK est un parallélogramme.
 
4) On a : (AB)//(KC) car AICK est un parallélogramme.
 
Comme I[AB] donc, (BI)//(KC).
 
De plus, AI=KC car AICK est un parallélogramme.
 
Comme I est milieu de [AB] donc, AI=IB.
 
Et finalement : BI=KC  et  (BI)//(KC) donc, BIKC est un parallélogramme.
 
5) BIKC est un parallélogramme donc, (BC)//(IK).
 
Comme J[IK] donc, (IJ)//(BC)
 
6) BIKC est un parallélogramme donc, BC=IK.
 
J milieu de [IK] donc, IJ=JK  et  IJ=12IK=12BC
 
D'où, IJ=12BC

II. Théorème 1

Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.

 
 
I milieu de [AB]J milieu de [AC]}  (IJ)//(BC)

Application

Soit ABC un triangle, I milieu de [AB]  et  D=SC(A).
 
Faire une figure et montrer que (IC)//(BD)

Solution

 
Considérons le triangle ABD
 
I milieu de [AB] par hypothèse
 
C milieu [AD] car D=SC(A)
 
D'après Théorème 1 (IC)//(BD).

III. Théorème 2

Dans un triangle le segment qui joint les milieux des deux côtés quelconques a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

 
 
I milieu de [BC]J milieu de [AB]}  IJ=12AC

Application

Soit MNL un triangle tel que :
MN=3cm,ML=5cmetNL=3cm
P=SN(M)  et  S=SL(M)
 
Faire une figure et calculer PS.

Solution

 
On considère le triangle PMS
 
N milieu de [PN] et L milieu de [MS]
 
D'après le théorème 2, NL=12PS donc,
 
PS=2NL=2×3cm=6cm
 
D'où, PS=6cm

IV. Théorème 3

Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

 
 
I milieu de [AB]la droite (d) qui passe par Iest parallèle à (BC)}  (d) coupe [AC] en son milieu

Application

Soit KLM un triangle, P milieu de [KL].
 
La droite passant par P et parallèle à (LM) coupe [KM] en S.
 
Démontrer que S est le milieu de [KM].

 

 
Soit P milieu de [KL]  et  (PS)//(LM)
 
D'après le théorème 3, S est milieu de [KM].

 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Machalla. Un très grand apport aux enseignements-apprentissages

Ajouter un commentaire