Théorèmes de la droite des milieux - 4e
Classe:
Quatrième
I. Activité
Soit ABC un triangle quelconque, I milieu du segment [AB] e J milieu du segment [AC].
1) Faire une figure
2) Construire le point K=SJ(I)
3) Démontrer que AICK est un parallélogramme
4) Démontrer que BIKC est un parallélogramme
5) Quelle est la position des droites (BC) et (IJ)
6) Montrer que IJ=12BC
Solution
1) et 2)


3) J est milieu commun à [AC] et [IK] donc, AICK est un parallélogramme.
4) On a : (AB)//(KC) car AICK est un parallélogramme.
Comme I∈[AB] donc, (BI)//(KC).
De plus, AI=KC car AICK est un parallélogramme.
Comme I est milieu de [AB] donc, AI=IB.
Et finalement : BI=KC et (BI)//(KC) donc, BIKC est un parallélogramme.
5) BIKC est un parallélogramme donc, (BC)//(IK).
Comme J∈[IK] donc, (IJ)//(BC)
6) BIKC est un parallélogramme donc, BC=IK.
J milieu de [IK] donc, IJ=JK et IJ=12IK=12BC
D'où, IJ=12BC
II. Théorème 1
Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.

I milieu de [AB]J milieu de [AC]} ⇒ (IJ)//(BC)
Application
Soit ABC un triangle, I milieu de [AB] et D=SC(A).
Faire une figure et montrer que (IC)//(BD)
Solution

Considérons le triangle ABD
I milieu de [AB] par hypothèse
C milieu [AD] car D=SC(A)
D'après Théorème 1 (IC)//(BD).
III. Théorème 2
Dans un triangle le segment qui joint les milieux des deux côtés quelconques a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

I milieu de [BC]J milieu de [AB]} ⇒ IJ=12AC
Application
Soit MNL un triangle tel que :
MN=3cm,ML=5cmetNL=3cm
P=SN(M) et S=SL(M)
Faire une figure et calculer PS.
Solution

On considère le triangle PMS
N milieu de [PN] et L milieu de [MS]
D'après le théorème 2, NL=12PS donc,
PS=2NL=2×3cm=6cm
D'où, PS=6cm
IV. Théorème 3
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

I milieu de [AB]la droite (d) qui passe par Iest parallèle à (BC)} ⇒ (d) coupe [AC] en son milieu
Application
Soit KLM un triangle, P milieu de [KL].
La droite passant par P et parallèle à (LM) coupe [KM] en S.
Démontrer que S est le milieu de [KM].

Soit P milieu de [KL] et (PS)//(LM)
D'après le théorème 3, S est milieu de [KM].
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Mamadou TOURÉ (non vérifié)
mar, 12/21/2021 - 09:20
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Machalla.
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