Solution des exercices : Distances - 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 1 Inégalité triangulaire
Sans faire la figure, disons dans chacun des cas ci-dessous si les points A, B et C sont alignés.
Pour cela, on doit vérifier si la longueur la plus grande est égale à la somme des deux autres longueurs et dans ce cas les points sont alignés.
Par contre, si cette longueur est différente alors, les points ne sont pas alignés.
1er cas : AB=12AC=5BC=7
On a : AC+BC=5+7=12=AB
Alors, AB=AC+BC
Donc, C∈[AB] d'où, A, C, B sont alignés dans cet ordre.
2ième cas : AB=7.6AC=2.5BC=10.2
On a : AB+AC=7.6+2.5=10.1
Comme BC=10.2 alors, BC n'est pas égale à AB+AC
Par suite, les points A, B et C ne sont pas alignés.
3ième cas : AB=200AC=10BC=210
Soit : AB+AC=200+10=210
Alors, BC=AB+AC
Ce qui signifie que A∈[BC] ainsi, B, A, C sont alignés dans cet ordre.
4ième cas : AB=0.5AC=1.06BC=0.56
Soit : AB+BC=0.5+0.56=1.06
Comme AC=1.06 alors, on a : AC=AB+BC
D'où, B∈[AC] et par conséquent, A, B, C sont alignés dans cet ordre.
Exercice 2 Inégalité triangulaire
Dans chacun des cas ci-dessous sans faire la figure disons si le triangle DEF existe.
Le triangle DEF existe si, et seulement si, l'inégalité triangulaire est vérifiée pour chaque côté du triangle.
1er cas : DE=5EF=2DF=2.5
Soit : DF+EF=2.5+2=4.5
Comme DE=5 alors, on a : DE>DF+EF
Ainsi, l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.
Par suite, le triangle DEF n'existe pas.
2ième cas : DE=7.5EF=5DF=4
On a :
DE+EF=7.5+5=12.5 donc, DF<DE+EF
DF+EF=4+5=9 donc, DE<DF+EF
DE+DF=7.5+4=11.5 donc, EF<DE+DF
D'où, le triangle DEF existe.
3ième cas : DE=14.2EF=19DF=4.2
Comme DE+DF=14.2+4.2=18.4 et que EF=19 alors, EF>DE+DF
Ainsi, l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.
Par conséquent, le triangle DEF n'existe pas.
4ième cas : DE=105.6EF=104.6DF=102.4
On a :
DE+EF=105.6+104.6=210.2 donc, DF<DE+EF
DF+EF=102.4+104.6=207 donc, DE<DF+EF
DE+DF=105.6+102.4=208 donc, EF<DE+DF
Alors, le triangle DEF existe.
Exercice 3 Inégalité triangulaire
Soit ABC un triangle et M un point intérieur à ce triangle. La droite (AM) coupe [BC] en I.

1) a) Démontrons que IC+IB=BC et IA<IC+CA.
Comme la droite (AM) coupe [BC] au point I alors, I∈[BC]
Ce qui entraine : IC+IB=BC
Par ailleurs, en appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle IAC, on obtient : IA<IC+CA
b) En déduisons que : IA+IB<CA+CB.
On a : IA<IC+CA
Donc, en ajoutant IB à chaque membre de l'inégalité, on obtient : IA+IB<IB+IC+CA
Or, IC+IB=BC donc, en remplaçant IC+IB par BC, on trouve : IA+IB<BC+CA
Ainsi, IA+IB<CA+CB
2) Démontrons que : MA+MB<IA+IB.
En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle BMI, on obtient : MB<IM+IB
Puis, en ajoutant MA à chaque membre de l'inégalité, on obtient : MA+MB<MA+IM+IB
Comme M∈[IA] alors, IM+MA=IA
Donc, en remplaçant IM+MA par IA, on obtient : MA+MB<IA+IB
D'où, MA+MB<IA+IB
3) Déduisons de ce qui précède que : MA+MB<CA+CB.
D'après la question 2) on a : MA+MB<IA+IB
Or, d'après la question 1) on avait : IA+IB<CA+CB
Par suite, MA+MB<IA+IB et IA+IB<CA+CB
Par conséquent, MA+MB<CA+CB
Exercice 4 Inégalité triangulaire
1) Construisons un triangle quelconque ABC, et choisis un point R sur le segment [BC].

On note p le périmètre du triangle ABC.
2) Démontrons que AR<p2
− En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle ARB, on obtient :
AR<AB+BR(inégalité 1)
− En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle ARC, on obtient :
AR<AC+CR(inégalité 2)
− En additionnant les inégalités (1) et (2) membre à membre, on trouve :
AR+AR<AB+BR+AC+CR
Ce qui est équivalent à :
2AR<AB+BR+CR+AC(inégalité 3)
Comme R∈[BC] alors, BR+CR=BC
Par suite, en remplaçant BR+CR par BC dans l'inégalité (3), on obtient :
2AR<AB+BC+AC(inégalité 4)
Or, AB+BC+AC=p donc, en remplaçant AB+BC+AC par p dans l'inégalité (4), on obtient :
2AR<p ⇒ AR<p2
Ainsi, AR<p2
Exercice 5 Régionnement du plan
Soient A et B deux points distincts du plan.
1) Construisons l'ensemble E1 des points M du plan tels que : AM=AB.
AM=AB signifie que les points M sont équidistants à un point fixe A. De plus, leur distance par rapport à ce point A est égale à AB.
Cela définit alors un cercle de centre A et de rayon AB.
D'où, l'ensemble E1 des points M du plan tels que AM=AB est le cercle de centre A et passant par B.
2) Traçons l'ensemble E2 des points N du plan tels que : AN=BN.
Soit : AN=BN alors, N est équidistant des points A et B.
Or, tous les points appartenant à la médiatrice de [AB] sont équidistants des points A et B.
Donc, l'ensemble E2 des points N du plan tels que AN=BN est la médiatrice du segment [AB]. C'est la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu de [AB].
3) Colorions en bleu l'ensemble E3 des points M du plan tels que : AM<BM et AM<AB.
En effet :
− l'ensemble E2 divise le plan en deux parties ; la partie contenat le point A et la partie contenant le point B. Donc, les points M tels que AM<BM sont situés dans la partie contenat le point A.
− l'ensemble E1 divise le plan en deux parties ; la partie intérieure au cercle et la partie extérieure au cercle. Ainsi, les points M du plan tels que AM<AB sont les points qui se sont situés à l'intérieur du cercle.
D'où, l'ensemble E3 des points M du plan tels que AM<BM et AM<AB. sera constitué des points situés à la fois, à gauche de la médiatrice de [AB] et à l'intérieur du cercle de centre A passant par B.

Exercice 6 Régionnement du plan
1) Marquons trois points A, B et C tels que :
AB=5cm; AC=8cm et BC=3cm
Les trois points A, B et C sont alignés.
En effet, on : AB+BC=5cm+3cm=8cm
Or, AC=8cm donc, AC=AB+BC
Par suite, B∈[AC]
Ainsi, on peut dire que les A, B et C sont alignés dans cet ordre.
2) Colorions la partie du plan où les points sont à la fois plus prés de C que de A et plus éloignés de B que de C.

Cette partie est l'ensemble des points M du plan tels que : CM<AM et CM<BM
En effet, la médiatrice du segment [AC] divise le plan en deux parties ; une partie contenant le point C et où les points sont plus prés de C que de A et une autre partie contenant le point A.
De même, la médiatrice du segment [BC] divise le plan en deux parties ; une partie contenant le point C et où les points sont plus éloignés de B que de C et une autre partie contenant le point B.
Par conséquent, la partie du plan où les points sont à la fois plus prés de C que de A et plus éloignés de B que de C est la partie contenant le point C et délimitée par la médiatrice du segment [BC].
Exercice 7 Régionnement du plan
Soit A et B deux points du plan tels que : AB=4cm.
1) Traçons en bleu l'ensemble des points M du plan tels que : AM=BM.
2) Colorions en bleu l'ensemble des points M du plan tels que : AM<BM.
3) Plaçons un point C tel que : AC=3cm et BC=5cm.
4) Colorions en rouge l'ensemble des points M du plan tels que : BM<CM.
5) Hachurons l'ensemble des points M tels que : AM<BM<CM.
En effet, l'ensemble des points M tels que AM<BM<CM est l'ensemble des points M vérifiant à la fois AM<BM et BM<CM.
C'est donc, l'intersection des deux parties coloriées respectivement en bleu et rouge.

Exercice 8 Distance de deux droites parallèles
1) On donne (D) et un point B situé à 1cm de (D).
2) Construisons les droites (D1) et (D2) parallèle à (D) et situées à 2cm du point B.

3) Calculons la distance des droites (D1) et (D2)
On a :
distance de (D1) et (D2)=H1H2=H1B+BH2=2cm+2cm=4cm
Donc, la distance des droites (D1) et (D2) est de 4cm
En effet, les droites (D); (D1) et (D2) étant parallèles alors, la perpendiculaire à ces droites passant par B coupe (D) en H, (D1) en H1 et (D2) en H2.
4) Calculons la distance de (D) à chacune des droites (D1) et (D2)
On a :
distance de (D) à (D1)=HH1=HB+BH1=1cm+2cm=3cm
Ainsi, la distance de (D) à (D1) est de 3cm.
On a :
distance de (D) à (D2)=HH2=BH2−HB=2cm−1cm=1cm
Donc, la distance de (D) à la droite (D2) est égale à 1cm.
Exercice 9 Positions relatives de cercles
C1 est un cercle de centre O1 et de rayon R1; C2 un cercle de centre O2 et de rayon R2. Complétons le tableau ci-dessus.
R198.26.4105R2147.54.92318O1O21215.715.61324R1+R22315.711.33323|R1−R2||−5|=5|0.7|=0.7|1.5|=1.5|−13|=13|−13|=13Position relativesécantstangentsdisjointstangentsdisjointsde C1 et C2extérieurementextérieurementintérieurementextérieurement
Exercice 10 Approfondissement
1) Sur le segment [AB] de longueur 7cm, plaçons les points I, C et O tels que : AI=1cm; AC=2cm et BO=3cm.
2) a) Traçons en vert le cercle C1(A; AC).
b) Traçons en rouge le cercle C2(B; BO).
c) Traçons en bleu le cercle C3(I; IO).

3) Déterminons les positions relatives des cercles :
C1 et C2 ; C1 et C3 ; C2 et C3.
− C1 et C2 sont disjoints extérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que AB>AC+BO
En effet, on a : AB=7cm et AC+BO=2cm+3cm=5cm
Donc, AB>AC+BO
D'où, les cercles C1(A; AC) et C2(B; BO) sont disjoints extérieurement.
− C1 et C3 sont tangents intérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que AI=|AC−IO|
En effet, on a : AI=1cm et comme I∈[AO] alors, IO+AI=AO
Donc, IO=AO−AI
Or, O∈[AB] donc, AO+BO=AB
D'où,
AO=AB−BO=7cm−3cm=4cm
Ainsi, en remplaçant AO et AI par leur valeur, on obtient :
IO=AO−AI=4cm−1cm=3cm
Par suite,
|AC−IO|=|2cm−3cm|=|−1cm|=1cm
D'où, |AC−IO|=1cm
Par conséquent, AI=|AC−IO|
Ce qui montre que les cercles C1(A; AC) et C3(I; IO) sont tangents intérieurement.
− C2 et C3 sont tangents extérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que IB=IO+BO
En effet, comme I∈[AB] alors, AI+IB=AB
D'où,
IB=AB−AI=7cm−1cm=6cm
Par ailleurs, IO=3cm et BO=3cm
Donc, IO+BO=3cm+3cm=6cm
Ainsi, IB=IO+BO
Ce qui prouve que les cercles C2(B; BO) et C3(I; IO) sont tangents extérieurement.
4) Colorions l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC et MI<IO.
C'est la partie du plan coloriée en orange.
Ce sont les points situés à la fois à l'extérieur du cercle C1 et à l'intérieur du cercle C3.
En effet,
− l'ensemble des points M du plan tel que AM>AC est représenté par tous les points du plan situés à l'extérieur du cercle C1
− l'ensemble des points M du plan tel que MI<IO est représenté par tous les points du plan situés à l'intérieur du cercle C3
Ainsi, l'intersection de ces deux ensembles nous donne l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC et MI<IO.
Ce qui est alors représenté par la partie coloriée en orange.
Exercice 11 bissectrice
Soit un cercle C(M; 2cm). A et B sont deux points de (C) non diamétralement opposés. La droite (d1) est tangente à (C) en A. La droite (d2) est tangente à (C) en B. Les droites (d1) et (d2) se coupent en C.

Démontrons que le point M appartient à la bissectrice de l'angle ACB.
En effet, on sait que si un point M est équidistant des supports des deux côtés d'un angle alors, ce point appartient à la bissectrice de cet angle.
Donc, dans cet exercice, il suffit de montrer que M est équidistant des demi-droites [CA) et [CB) qui sont les supports des côtés de l'angle ^ACB.
On a :
(d1) est tangente à (C) en A donc, (d1) est perpendiculaire à [MA] en A.
D'où, la distance de M à (d1) est égale à MA.
Par suite, la distance de M à [CA) est égale à MA.
De la même manière, on a :
(d2) tangente à (C) en B alors, (d2) est perpendiculaire à [MB] en B.
Donc, la distance de M à (d2) est égale à MB.
Ainsi, la distance de M à [CB) est égale à MB.
Or, on sait que MA=MB car A et B appartiennent au cercle (C).
Par suite,
distance de M à [CA)=distance de M à [CB)
Ce qui signifie que M est équidistant des supports des deux côtés de l'angle ^ACB.
D'où, le point M appartient à la bissectrice de l'angle ^ACB.
Exercice 12 Positions relatives de cercles
Les boucles d'oreille de la petite Sassoum sont formées de petits cercles C1; C2 et C3 tels que : C1(I; r1=0.2); C2(J; r2=0.3) et C3(K; r3=0.5)
Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre tels que IJ=JK=0.1

Déterminons la position relative des cercles :
1) C1 et C2 sont tangents intérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que IJ=|r1−r2|
En effet, on a : IJ=0.1
De plus,
|r1−r2|=|0.2−0.3|=|−0.1|=0.1
Donc, |r1−r2|=0.1
Ainsi, IJ=|r1−r2|
Ce qui montre que les cercles C1(I; r1) et C2(J; r2) sont tangents intérieurement.
2) C2 et C3 sont disjoints intérieurement.
Pour la justification, il suffit de vérifier que JK<|r2−r3|
Soit : JK=0.1, r2=0.3 et r3=0.5
Alors, on a :
|r2−r3|=|0.3−0.5|=|−0.2|=0.2
Donc, |r2−r3|=0.2
Par suite, JK<|r2−r3|
Par conséquent, les cercles C2(J; r2) et C3(K; r3) sont disjoints intérieurement.
3) C1 et C3 sont disjoints intérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que IK<|r1−r3|
En effet, comme J∈[IK] alors,
IK=IJ+JK=0.1+0.1=0.2
Donc, IK=0.2
Aussi,
|r1−r3|=|0.1−0.5|=|−0.4|=0.4
Donc, |r1−r3|=0.4
Ainsi, IK<|r1−r3|
Ce qui prouve que les cercles C1(I; r1) et C3(K; r3) sont disjoints intérieurement.
Exercice 13 Position d'une droite et d'un cercle
Soit O; I; J; K; L des points d'une droite (d) tels que :
OI=4cm;OJ=6cm;OK=8cm;OL=5cm
O∈[IL];O∉[IJ];O∉[IK].
1) Construisons le cercle C de centre O et de 5cm de rayon.
2) Traçons les perpendiculaires (d1); (d2); (d3) et (d4) à la droite (d) respectivement en I; J; K et L.

3) Déterminons la position relative de chacune de ces droites par rapport au cercle (C)
− (d1) et (C) sont sécants.
En effet, soit OI la distance du point O à la droite (d1).
Comme OI est inférieure au rayon du cercle (C) de centre O alors, (d1) et (C) sont sécants.
− (d2) et (C) sont disjoints.
Soit OJ la distance du point O à la droite (d2).
Or, OJ est supérieure au rayon du cercle (C) de centre O.
Par conséquent, la droite (d2) et (C) sont disjoints.
− (d3) et (C) sont disjoints
Soit OK la distance du point O à la droite (d3).
Comme OK est supérieure au rayon du cercle (C) de centre O alors, (d3) et (C) sont disjoints.
− (d4) et (C) sont tangents en L.
OL est la distance du point O à la droite (d4).
Or, OL est égale au rayon du cercle (C) de centre O.
Donc, la droite (d4) et (C) sont tangents en L.
Exercice 14 bissectrice et médiatrice
ABC est un triangle. La droite (d) est la parallèle à (BC) qui passe par A. La médiatrice de [AB] coupe la droite (d) en P.

1) Démontrons que les angles ^PAB et ^CBA ont des mesures égales.
En effet, (d) et (BC) sont deux droites parallèles coupées par la même sécante (AB).
Or, on sait que deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles alternes internes de même mesure.
Donc, ^PAB et ^CBA sont deux angles alternes internes de même mesure.
D'où,
mes(^PAB)=mes(^CBA)
2) Démontrons que PAB est isocèle en P.
On a : P appartient à la médiatrice de [AB].
Or, on sait que tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Donc, le point P est équidistant des points A et B.
Ce qui signifie alors : PA=PB
Par conséquent, le triangle PAB est isocèle en P car, ses deux côtés [PA] et [PB] ont la même longueur.
3) Démontrons que la droite (AB) est bissectrice de l'angle ^PBC.
Comme le triangle PAB est isocèle en P alors, les angles ^PAB et ^PBA ont des mesures égales.
Ce qui signifie : mes(^PAB)=mes(^PBA)égalité 1
Par ailleurs, on avait montré à la question 1) que mes(^PAB)=mes(^CBA)
Donc, en remplaçant mes(^PAB) par mes(^CBA) dans l'égalité 1, on obtient :
mes(^CBA)=mes(^PBA)égalité 2
Par suite, ^PAB et ^CBA sont deux angles adjacents de même mesure et qui ont en commun le côté (AB)
Ainsi, la droite (AB) passe par le sommet B de l'angle ^PBC et partage cet angle en deux angles de même mesure.
Par conséquent, la droite (AB) est bissectrice de l'angle ^PBC.
Exercice 17
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses a, b et c sont données dont une seule est juste.
Écrivons le numéro de l'énoncé et la réponse choisie.
1) (C) est un cercle de centre O et de rayon 4cm et (D) une droite à une distance de 6cm du point O.

b) (D) et (C) sont disjoints.
2) (C) est un cercle de centre A et de rayon 6cm et (D) une droite à une distance de 6cm du point A.

c) (D) et (C) sont tangents.
3) (C) est un cercle de centre I et de rayon 6cm et (D) une droite à une distance de 3cm du point I.

a) (D) et (C) sont sécants.
Exercice 18
Soit ABCD un parallélogramme.
Démontrons que :
AC<AB+BC et BD<AB+BC
Considérons le triangle ABC.
En appliquant l'inégalité triangulaire sur ce triangle ABC, on obtient :
AC<AB+BC(inégalité 1)
Par ailleurs, en appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle BCD, on obtient :
BD<DC+BC(inégalité 2)
Mais comme ABCD est un parallélogramme alors, on a :
DC=AB
Ainsi, en remplaçant DC par AB dans l'inégalité 2, on obtient :
BD<AB+BC(inégalité 3)

Autre méthode :
On peut aussi appliquer l'inégalité triangulaire sur le triangle ABD.
Ce qui donne :
BD<AB+AD
Or, AD=BC car ABCD est un parallélogramme. Donc, en remplaçant AD par BC, on obtient :
BD<AB+BC
Exercice 19
Traçons une droite (Δ).
− Dans le plan : l'ensemble des points situés à 4cm de la droite (Δ) est représenté par les droites (D1) et (D2).

− Dans l'espace : l'ensemble des points situés à 4cm de cette droite est représenté par la surface latérale du cylindre d'axe (Δ) et de rayon de base 4cm.

En effet, les points situés à 4cm de (Δ) sont les points situés sur des droites parallèles à (Δ) et à une distance de 4cm.
Donc, l'ensemble des points situés à 4cm de (Δ) sera représenté par une infinité de droites situées à 4cm autour de cette droite (Δ).
Ce qui forme alors, la surface latérale du cylindre d'axe (Δ) et de rayon de base 4cm.
Exercice 20
1) On appelle bissectrice d'un angle toute droite passant par le sommet de celui-ci et qui le partage en deux angles de même mesure.
2) ABC est un triangle, construisons l'ensemble des points M situés à égale distance des demi-droites [AC) et [AB).

En effet, on sait que, si un point M appartient à la bissectrice d'un angle alors, il est équidistant des supports des deux côtés de l'angle.
Par conséquent, l'ensemble des points M situés à égale distance des demi-droites [AC) et [AB) est représenté par la bissectrice de l'angle ˆA dont les supports des deux côtés sont [AC) et [AB).
On note cet ensemble : la droite (D)
Exercice 21
ABC est un triangle isocèle en A.
H est le pied de la médiane issue de A.

Démontrons que le point H est équidistant des côtés [AB] et [AC].
Comme ABC est un triangle isocèle en A alors, la médiane (AH) issue de A est aussi bissectrice de l'angle ˆA.
Ainsi, H appartient à la bissectrice de l'angle ˆA dont les côtés sont [AB] et [AC].
Or, on sait que dans un triangle, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors, il est équidistant des deux côtés de l'angle.
Par conséquent, le point H est équidistant des côtés [AB] et [AC] de l'angle ˆA.
Exercice 22
1) Traçons un segment [AB], puis traçons sa médiatrice (D).
2) Marquons un point M dans le demi-plan (PB), de frontière (D), contenant le point B, puis traçons le segment [MA] qui coupe (D) en I.

3) En considérant le triangle MIB, montrons que MI+IB>MB.
En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle MIB, on obtient : MB<MI+IB
Ce qui peut encore s'écrire :
MI+IB>MB
4) Montrons que IB=IA et déduisons-en que MA>MB.
Comme (D) est médiatrice de [AB] alors, pour tout point M appartenant à la droite (D), on a :
MA=MB
Or, le point I appartient à (D).
Donc, I vérifie : IA=IB
D'où, on a :
IB=IA
Par ailleurs, d'après la question 3), on a : MI+IB>MB
Or, nous venons juste de montrer que IB=IA.
Donc, en remplaçant IB par IA, on obtient :
MI+IA>MB
De plus, on constate que I∈[AM]. Donc, MI+IA=MA
Par suite, en remplaçant MI+IA par MA, on obtient :
MA>MB
Exercice 23
1) Traçons un cercle (C) de centre O et de rayon 3cm.
2) Marquons deux points A et B sur le cercle non diamétralement opposés.
3) Traçons la droite (D) perpendiculaire à (AB) et passant par O.
Elle coupe (C) en L et K

4) a) Montrons que (D) est la médiatrice de [AB].
En effet, on sait que la médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu de celui-ci et qui lui est perpendiculaire.
Or, on a : (D) perpendiculaire à (AB) au point I.
De plus, [LK] est un diamètre de (C). Donc, c'est un axe de symétrie de ce cercle.
Ainsi, les points A et B sont symétriques par rapport à (D).
Par suite, AI=IB et alors, I est milieu de [AB].
Donc, (D) passe par le milieu I de [AB] et (D) est perpendiculaire à (AB).
Par conséquent, (D) est la médiatrice de [AB].
4) b) Déduisons-en que LA=LB.
On a : (D) médiatrice de [AB] et L∈(D).
Or, on sait que tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Donc, le point L appartenant à (D) ; médiatrice de [AB], est équidistant des points A et B.
D'où, LA=LB
Exercice 24
1) Construisons un cercle C(O; 3cm) et une droite (D) disjoints.
2) Traçons les droites tangentes à (C) et parallèles à (D).

Exercice 25
1) Construisons un cercle C(O; 3cm) et marquons un point I tel que OI=5cm.
2) Construisons les tangentes à (C) passant par I.

Exercice 26
LOI est un triangle, H le pied de la hauteur issue de L.
(C) est le cercle de centre L et de rayon strictement inférieur à LH.

Démontrons que le cercle (C) et la droite (OI) sont disjoints.
Comme L est le centre du cercle (C) et H le pied de la hauteur issue de L alors, la distance du centre L du cercle (C) à la droite (OI) est égale à LH.
Or, le rayon du cercle (C) de centre L est strictement inférieur à LH.
Ce qui signifie que la distance du centre L du cercle (C) à la droite (OI) est strictement supérieure au rayon de (C).
Par conséquent, le cercle (C) et la droite (OI) sont disjoints.
Exercice 27
ABD est un triangle, L le pied de la hauteur issue de D.
(C) est le cercle de centre A et de rayon AL.

Démontrons que (C) et (DL) sont tangents.
Comme L est le pied de la hauteur issue de D alors, les droites (DL) et (AB) sont perpendiculaires en L.
Ainsi, la distance du point A à la droite (DL) est égale à AL.
Par suite, le rayon AL du cercle reste égal à la distance du centre A de ce cercle à la droite (DL).
D'où, (C) et (DL) sont tangents.
Exercice 28
MNP est un triangle isocèle en M, H le milieu de [NP].

Démontrons que le cercle (C) de centre M et de rayon strictement supérieur à MH et (NP) sont sécants.
Comme MNP est isocèle en M et H le milieu de [NP] alors, la médiane (MH) issue de M est aussi médiatrice du segment [NP].
Ainsi, H est le pied de la perpendiculaire issue de M.
Par suite, MH est la distance du point M à la droite (NP).
Or, le rayon du cercle de centre M est strictement supérieur à MH.
Donc, la distance du centre M de ce cercle à la droite (NP) est strictement inférieure au rayon de ce cercle.
Par conséquent, le cercle (C) de centre M et de rayon strictement supérieur à MH et la droite (NP) sont sécants.
Exercice 29
EGH est un triangle rectangle en E.
(C) est le cercle de centre G et de rayon EG.

Démontrons que (C) et (EH) sont tangents.
Comme EGH est un triangle rectangle en E alors, les droites (EG) et (EH) sont perpendiculaires en H.
Par suite, le point E est le pied de la perpendiculaire passant par G.
Ainsi, EG est la distance de G à la droite (EH).
Par ailleurs, on sait que (C) est le cercle de centre G et de rayon EG.
Donc, le rayon du cercle (C) est égal à la distance du centre G de ce cercle à la droite (EH).
D'où, (C) et (EH) sont tangents.
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/21/2021 - 18:23
Permalien
Je voulais voir la correction
Aguibou (non vérifié)
jeu, 04/29/2021 - 19:08
Permalien
Je veux la correction des
Mouhamadou sama... (non vérifié)
mar, 12/28/2021 - 23:42
Permalien
Demande d'exercice 18/19/20/21/22/23
Ajouter un commentaire