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Série d'exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Les fonctions suivantes sont-elles des polynômes ? (justifier votre réponse)

$f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

$f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

$f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifier que

$\alpha$ est racine de

$f$ puis déterminer

$Q(x)$ tel que

$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$

$f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

$f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

$f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants dire si

$f(x)$ est factorisable par

$g(x).$

Si oui ; déterminer une factorisation de

$f(x)$

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\;;\quad g(x)=2x-1$

$f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\;;\quad g(x)=2x+5$

$f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\;;\quad g(x)=3x+2$

Exercice 4

On donne

$P(x)=5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)$

1) Développer et réduire

$P(x)$

2) Factoriser

$P(x)$

3) Utiliser la forme convenable pour résoudre les équations :

$P(x)=0\;;\quad P(x)=-15\;;\quad P(x)=7x+5$

4) Calculer

$P(-3)$ et

$P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Exercice 5

On donne

$f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculer

$f(\sqrt{3})$ et

$f(-\sqrt{3})$

2) Factoriser mieux

$f(x)$

3) Résoudre

$f(x)<0$

Exercice 6

Soit

$f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrer que

$-3$ est une racine de

$f$

2) En déduire une factorisation complète de

$f(x)$

3) Résoudre dans

$\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

Exercice 7

1) a) Trouver un polynôme

$P$ de degré

$2$ tel que

$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$

b) En déduire une expression de

$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$

2) a) Même question pour un polynôme de degré

$3$ tel que

$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$

b) En déduire, en fonction de

$n$ , une expression de

$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$

Exercice 8

1) Déterminer le polynôme

$P$ de degré

$3$ vérifiant :

$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0$

2) En déduire une expression de

$S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)$ en fonction de

$n$

3) En déduire la valeur de

$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101$ ?

Exercice 9

Soit

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que

$P(x)=0$ admet

$3$ racines

$\alpha\;,\ \beta$ et

$\delta.$

Sans calculer ces racines ; donner les valeurs de :

$\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta$

$\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$

Exercice 10

Soit le polynôme

$Q$ défini par

$Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18$

1) Déterminer

$a$ et

$b$ pour que

$Q(x)$ soit divisible par

$x^{2}-9$

2) a) Factoriser

$Q(x)$

b) Résoudre

$Q(x)=0$ et

$Q(x)>0$

c) Résoudre

$Q(x^{2}+3)=0$

Exercice 11

Soit le polynôme

$f(x)$ défini par :

$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$

1) Déterminer

$a\$ et

$\ b$ pour que

$f(x)$ soit factorisable par

$(x^{2}-3x-10)$

2) Résoudre dans

$\mathbb{R}\ f(x)\geq 0$

Exercice 12

Un polynôme

$x^{2}+px^{2}+q$ divisé par

$(x-2)$ a pour reste

$3$ , divisé par

$x$ a pour reste

$5.$

Déterminer

$p\$ et

$\ q.$

Exercice 13

Soit le polynôme

$P$ défini par

$P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Pour quelle valeur de

$m\;,\ P$ est-il factorisable par

$(x+1)\ ?$

2) Trouver donc le polynôme

$Q$ tel que

$P(x)=(x+1)\times Q(x)$

3) Pour cette valeur de

$m$ trouvée, résoudre dans

$\mathbb{R}$

$P(x)=0$

$P(x)\geq 0$

Exercice 14

Soit

$P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrer que

$(-1)$ est une racine de

$P$

2) Factoriser

$P(x)$ puis résoudre

$P(x)=0$

3) Résoudre

$-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0$

Exercice 15

Déterminer

$a\$ et

$\ b$ pour que

$x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par

$(x-1)^{2}$

Exercice 16

1) Déterminer les réels

$p\$ et

$\ q$ pour que

$x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par

$x^{2}-6x+5$

2) Pour les valeurs de

$p\$ et

$\ q$ ainsi trouvées, en déduire les solutions de

$x^{4}+px^{2}+q=0$

Exercice 17

Déterminer les ensembles de définition de :

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}\;,$

$g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}\;,$

$h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$

Exercice 18

Soient les polynômes

$P\;,\ R\$ et

$\ Q$ définis par :

$P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2$

$R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx-3$

$Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)$

1) a) Trouver le réel

$a$ pour que

$2$ soit racine de

$P$

b) En déduire la factorisation complète de

$P(x)$

2) Trouver les réels

$b\;,\ c\$ et

$\ d$ pour que

$R(x)\$ et

$\ Q(x)$ soient égaux

3) Soit la fraction rationnelle

$T$ définie par :

$T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}$

a) Déterminer l'ensemble de définition de

$T(x)$

b) Simplifier

$T(x)$

c) Résoudre alors l'équation

$T(x)=0$ et l'inéquation

$T(x)<0$

Exercice 19

Soit

$f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminer

$D_{f}$

2) Montrer qu'il existe quatre réels

$a\;,\ b\;,\ c\$ et

$\ d$ tels que :

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}$

Exercice 20

1) Déterminer

$a\$ et

$\ b$ pour que

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$ et en déduire la valeur de

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}$

2) Déterminer

$a\;,\ b\$ et

$\ c$ pour que

$\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}$

3) Soit

$f$ définie par

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x-3}{x+5}$

a) Donner le domaine de définition de

$f$

b) Déterminer

$a\;,\ b\$ et

$\ c$ pour que

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 01/23/2020 - 16:48

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répondre

Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

Halidi Houmadi (non vérifié)

jeu, 02/03/2022 - 05:06

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Demande d'exercice de polynôme

Je veux avoir d'exercice de différentes chapitre de la classe de 2nd

répondre

DIALLO Mamadou (non vérifié)

jeu, 04/16/2020 - 22:54

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Demande de séries d'exercices de la série S

Félicitation vous participez énormément à la formation des élèves du Sénégal.

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 09/23/2020 - 13:46

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je ne voie pas la correction

je ne voie pas la correction des exercices

répondre

Diallo (non vérifié)

mar, 05/04/2021 - 12:35

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Correction

répondre

Diallo (non vérifié)

mar, 05/04/2021 - 12:42

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Correction

Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction

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Anonyme (non vérifié)

mer, 06/02/2021 - 15:35

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Correction exercice 13

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 07/04/2021 - 23:13

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Correction exercice 13

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Anonyme (non vérifié)

ven, 05/06/2022 - 10:07

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Merci beaucoup ces exercices

Merci beaucoup ces exercices m'ont permis de bien preparer mon devoir

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 11:53

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Excellent parfait pour les

Excellent parfait pour les élèves

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 11:56

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Excellent pour les élèves

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 05/20/2024 - 14:06

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Jdiddidbdiwdodndndodndd

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