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Série d'exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Les fonctions suivantes sont-elles des polynômes ? (justifier votre réponse)

a) $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

b) $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

c) $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

d) $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

e) $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifier que $\alpha$ est racine de $f$ puis déterminer $Q(x)$ tel que $f(x)=(x-\alpha)Q(x)$

a) $f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

b) $f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

c) $f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants dire si $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Si oui ; déterminer une factorisation de $f(x)$

1) $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\;;\quad g(x)=2x-1$

2) $f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\;;\quad g(x)=2x+5$

3) $f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\;;\quad g(x)=3x+2$

Exercice 4

On donne $$P(x)=5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)$$

1) Développer et réduire $P(x)$

2) Factoriser $P(x)$

3) Utiliser la forme convenable pour résoudre les équations :

$P(x)=0\;;\quad P(x)=-15\;;\quad P(x)=7x+5$

4) Calculer $P(-3)$ et $P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Exercice 5

On donne $f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculer $f(\sqrt{3})$ et $f(-\sqrt{3})$

2) Factoriser mieux $f(x)$

3) Résoudre $f(x)<0$

Exercice 6

Soit $f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrer que $-3$ est une racine de $f$

2) En déduire une factorisation complète de $f(x)$

3) Résoudre dans $\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

Exercice 7

1) a) Trouver un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$$

b) En déduire une expression de $$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$$

2) a) Même question pour un polynôme de degré $3$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$$

b) En déduire, en fonction de $n$, une expression de $$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$$

Exercice 8

1) Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ vérifiant : $$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0$$

2) En déduire une expression de $S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)$ en fonction de $n$

3) En déduire la valeur de $3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101$ ?

Exercice 9

Soit $P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que $P(x)=0$ admet $3$ racines $\alpha\;,\ \beta$ et $\delta.$

Sans calculer ces racines ; donner les valeurs de : $\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta$

$\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$

Exercice 10

Soit le polynôme $Q$ défini par $$Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18$$

1) Déterminer $a$ et $b$ pour que $Q(x)$ soit divisible par $x^{2}-9$

2) a) Factoriser $Q(x)$

b) Résoudre $Q(x)=0$ et $Q(x)>0$

c) Résoudre $Q(x^{2}+3)=0$

Exercice 11

Soit le polynôme $f(x)$ défini par : $$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$$

1) Déterminer $a\ $ et $\ b$ pour que $f(x)$ soit factorisable par $(x^{2}-3x-10)$

2) Résoudre dans $\mathbb{R}\ f(x)\geq 0$

Exercice 12

Un polynôme divisé par $(x-2)$ a pour reste $3$, divisé par $(x+3)$ a pour reste $5.$

Quel est son reste si on le divise par $(x-2)(x+3)\ ?$

Exercice 13

Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Pour quelle valeur de $m\;,\ P$ est-il factorisable par $(x+1)\ ?$

2) Trouver donc le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

3) Pour cette valeur de $m$ trouvée, résoudre dans $\mathbb{R}$

a) $P(x)=0$

b) $P(x)\geq 0$

Exercice 14

Soit $P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrer que $(-1)$ est une racine de $P$

2) Factoriser $P(x)$ puis résoudre $P(x)=0$

3) Résoudre $-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0$

Exercice 15

Déterminer $a\ $ et $\ b$ pour que $x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par $(x-1)^{2}$

Exercice 16

1) Déterminer les réels $p\ $ et $\ q$ pour que $x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par $x^{2}-6x+5$

2) Pour les valeurs de $p\ $ et $\ q$ ainsi trouvées, en déduire les solutions de $$x^{4}+px^{2}+q=0$$

Exercice 17

Déterminer les ensembles de définition de :

$$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}\;,$$
$$g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}\;,$$
$$h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$$

Exercice 18

Soient les polynômes $P\;,\ R\ $ et $\ Q$ définis par : $$P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2\;,$$
$$R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx+2$$ $$Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)$$

1) a) Trouver le réel $a$ pour que $2$ soit racine de $P$

b) En déduire la factorisation complète de $P(x)$

2) Trouver les réels $b\;,\ c\ $ et $\ d$ pour que $R(x)\ $ et $\ Q(x)$ soient égaux

3) Soit la fraction rationnelle $T$ définie par : $$T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}$$

a) Étudier l'existence de $T(x)$

b) Simplifier $T(x)$

c) Résoudre alors l'équation $T(x)=0$ et l'inéquation $T(x)<0$

d) Déterminer l'ensemble de définition de $T(x)$

4) Soit $F(x)=x^{4}+mx+p$

Trouver les réels $m\ $ et $\ p$ pour que $F(x)$ soit factorisable par $(x+2)^{2}$

Exercice 19

Soit $f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminer $D_{f}$

2) Montrer qu'il existe quatre réels $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ tels que : $$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}$$

Exercice 20

1) Déterminer $a\ $ et $\ b$ pour que $$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$$ et en déduire la valeur de $$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}$$

2) Déterminer $a\;,\ b\ $ et $\ c$ pour que $$\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}$$

3) Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x-3}{x+5}$

a) Donner le domaine de définition de $f$

b) Déterminer $a\;,\ b\ $ et $\ c$ pour que $$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$$