Série d'exercices sur la géométrie dans l'espace 1e S
Exercice 1
Soient deux plans distincts , ayant au moins un point commun .
Le plan définit deux demi-espaces
Soit une droite de coupant un point de dans , un pont de dans
Soit un point de n'appartenant pas à .
1) Si appartient à , que peut-on dire de l'intersection de ?
2) Si n'appartient pas à , appartient à l'un des demi-espaces, par exemple.
Qu'en résulte-t-il pour le segment ?
3) Déduire des questions 1) et 2) que deux plans distincts ayant au moins un point commun sont sécants.
Exercice 2
Soit un quadrilatère plan , tel que soient sécants respectivement en .
Soit un point non situé dans le plan de .
On trace les droites .
1) Combien ces droites, associées deux à deux, déterminent-elles de plans ?
2) Construire les intersections de ces plans pris deux à deux.
Exercice 3
On donne deux droites sécantes , deux points , deux points .
Démontrer que les droites sont sécantes ou parallèles.
Exerecice 4
Soit une droite sécante à un plan , et un point non situé sur et sur
Un point décrit la droite et la droite coupe en général en un point
1) Quel est l'ensemble des droites ?
Démontrer que tous les points appartiennent à une droite fixée .
2) Tout point de est-il un point ?
Exercice 5
Soit, dans un plan , deux droites sécantes en .
Une droite est sécante à n'appartenant pas à .
Soit un point de distinct de
1) Déterminer l'intersection des plans .
2) Lorsque décrit , démontrer que toutes les droites sont incluses dans un plan fixe.
Exercice 6
Soit un tétraèdre les milieux respectifs de
1) Démontrer que n'est pas dans le plan
2) Démontrer que les trois plans ont une droite commune que l'on précisera.
Exercice 7
Démontrer que trois droites, deux à deux sécantes, et non coplanaires ont un point commun.
Application :
Soit un tétraèdre les centres de gravité des triangles
1) Soit le milieu de
Démontrer que sont dans le plan .
2) En déduire que sont concourantes en un point
3) Démontrer que sont concourantes en
Exercice 8
On donne trois points non alignés
Soit un point de la droite un point de la droite
Démontrer que les droites sont sécantes ou parallèles.
Exercice 9
Soient dans un plan deux points
Soit un point n'appartenant pas au plan
1) Démontrer que les points ne sont pas alignés ; en déduire qu'ils déterminent un plan.
2) Soit un point du plan .
On suppose que la droite coupe le plan
Démontrer que les points sont alignés.
Exercice 10
Soit un tétraèdre et trois points , appartenant respectivement aux arêtes de ce tétraèdre.
On suppose que les droites percent le plan respectivement en
Démontrer que que les points appartiennent à la fois au plan et au plan
En déduire que sont alignés.
Exercice 11
Soit un plan , deux points distincts non situés dans
La droite perce .
Soit un point de l'espace distinct de , et les points d'intersection de et des droites lorsqu'ils existent.
Démontrer que sont alignés.
Exercice 12
Soit trois demi-droites concourantes non coplanaires.
On marque deux points sur
1) Démontrer qu'en général les droites se coupent respectivement en .
2) Dans le cas où existent, démontrer que ces points sont alignés.
Exercice 13
Deux plans distincts se coupent suivant la droite
Soit une droite de non parallèle à un point de non situé sur
Démontrer que le plan coupe suivant une droite concourante avec
Exercice 14
Deux plans se coupent suivant la droite .
Soit un point de et une droite
Déterminer l'intersection des plans
Exercice 15
Dans le cube ci-dessous, les points sont des milieux d'arêtes.
Dans chaque cas, préciser la position respective des deux droites :
a)
b)
c)
Sont-elles strictement parallèles ?
Sont-elles sécantes ?
Sont-elles coplanaires ?
Exercice 16
On considère un cube.
Les points indiqués sont les sommets et les milieux de certaines arêtes
Dire si les droites suivantes sont sécantes, parallèles ou non coplanaires :
Exercice 17
Configuration de Desargues
Soient trois droites non coplanaires concourantes en .
Soient deux points , deux points , deux points
1) Démontrer que les droites sont coplanaires.
Établir des résultats analogues pour les droites , pour les droites
2) On suppose que les droites se coupent en , que les droites se coupent en , que les droites se coupent en
Démontrer que les points sont alignés.
Exercice 18
Configuration des triangles homologiques
Soient deux plans sécants et leur droite d'intersection.
Soient deux triangles respectivement contenus dans les plans
On suppose que les triangles sont tels que se coupent en se coupent en se coupent en
(Deux triangles vérifiant ces propriétés sont dits homologiques).
1) Établir que sont alignés et préciser la droite contenant
2) On suppose que les droites sont sécantes en
Démontrer que le point appartient au plan et au plan ;
en déduire que appartient à la droite , donc que les droites sont concourantes.
Exercice 19
On donne un plan et une droite non parallèle à .
A chaque plan non parallèle à , on associe la droite , intersection du plan
et du plan .
Démontrer que toutes les droites passent par un point fixe.
Exercice 20
Soit un plan et trois points non alignés et n'appartenant pas à .
On suppose que les droites percent respectivement le plan en
1) Démontrer que sont alignés.
2) Soit un point de l'espace tel que les droites percent respectivement
Démontrer que les droites passent chacune par un point qui ne dépend pas du point choisi.
Exercice 21
Soit un tétraèdre ; trois points pris respectivement sur
On suppose que n'est pas parallèle à et que n'est pas parallèle à .
Construire :
1) l'intersection des plans ;
2) l'intersection de chacune des droites avec le plan
Exercice 22
Soit un tétraèdre
Une droite du plan rencontre les cotés du triangle en trois points distincts
Soit un point de détermine avec un plan
1) Dessiner l'intersection de et du plan , puis l'intersection de et du plan
2) Construire les points d'intersection de avec , en déduire l'intersection des plans
Exercice 23
Les trois points déterminent un plan
Le point n'appartient pas à
Le point appartient à ; le point appartient à ; le point appartient à
Dessiner l'intersection du plan contenant avec le plan et expliquer la construction en indiquant les théorèmes que l'on a utilisés
Exercice 24
Les 3 points déterminent un plan
Le point n'appartient pas à
Le point appartient à ; le point appartient à ; le point appartient à .
a) Dessiner l'intersection du plan contenant avec le plan
b) Dessiner l'intersection du plan contenant avec le plan contenant
c) Tracer en couleur l'intersection du plan contenant avec le tétraèdre , c'est-à-dire avec chacun des triangles
Parallélisme
Exercice 25
Soit un tétraèdre
On désigne par les milieux respectifs des segments
1) En raisonnant dans le plan , établir que les droites sont parallèles.
2) Démontrer que les droites sont parallèles, ainsi que les droites
3) Démontrer que sont coplanaires, et préciser la nature du quadrilatère
4) Démontrer que les segments ont le même milieu noté
5) Soient les milieux respectifs des segments
Démontrer que est le milieu de
Exercice 26
On donne deux droites parallèles distinctes
Soit un point n'appartenant pas au plan déterminé par les droites
On désigne par le plan contenant le point et la droite , par le plan contenant le point et la droite .
Démontrer que la droite d'intersection des plans est parallèle à et à
Exercice 27
Soit un tétraèdre et un point de l'arête .
On désigne par le plan contenant et parallèle aux droites
Étudier la nature de l'intersection du plan et du tétraèdre
Exercice 28
On considère le tétraèdre
appartient à .
appartient au plan
appartient au plan
appartient au plan
1) Déterminer l'intersection de la droite et du plan
2) On veut déterminer l'intersection de la droite et du plan
Soit un point de .
Déterminer l'intersection des plans
Déterminer l'intersection de et du plan
3) a) Construire la parallèle à passant par
b) Construire la parallèle à passant par et déterminer son intersection avec le plan
Exercice 29
Deux plans sécants suivant une droite sont parallèles à une droite .
Soit la parallèle à passant par un point .
1) Démontrer que et que En déduire que .
2) Conclure par une propriété.
Exercice 30
Soit un tétraèdre un point de .
On mène par le plan parallèle à , qui coupe , ,
Démontrer que est un parallélogramme.
Exercice 31
On donne deux plans strictement parallèles
Soit trois points non alignés et trois points non alignés tels que les droites ne soient pas parallèles.
Construire l'intersection des plans .
Exercice 32
Soient deux droites strictement parallèles et un point n'appartenant pas au plan déterminé par
Quelle est l'intersection des plans ?
Exercice 33
Soit un plan et une droite strictement parallèle à .
étant deux points de , que peut-on dire des droites d'intersection des plans ? Peut-on avoir ?
Exercice 34
Soient deux plans parallèles. Une droite perce
Soit une droite , parallèle à .
1) Démontrer que perce
2) Que peut-on dire du quadrilatère ?
Exercice 35
Soit dans un plan un parallélogramme et soit un point non situé dans
Un plan parallèle à
Démontrer que est un parallélogramme.
Projections
Exercice 36
On donne un plan et une droite non parallèle à
Soient deux droites.
On suppose que les projetées des droites sur le plan parallèlement à la droite sont deux droites distinctes
1) On suppose que sont sécantes.
Démontrer que sont sécantes.
Quelle est l'intersection des droites ?
2) On suppose que sont sécantes :
peut-on en déduire que sont sécantes ?
Exercice 37
Trois points alignés peuvent-ils se projeter dans un plan suivant trois points alignés ? Si oui, préciser dans quel cas.
Exercice 38
Soient deux droites non coplanaires qui percent un plan en deux points
A chaque point on associe le plan contenant et parallèle à .
On désigne par l'intersection du plan et de et par le projeté de dans parallèlement à .
1) Comparer les distances .
2) Démontrer que lorsque varie sur le point appartient à une droite fixe.
3) Déterminer le point pour que la distance soit la plus courte possible.
Exercice 39
Soient deux droites non coplanaires et un plan .
Déterminer la direction de projection pour que se projettent suivant deux droites parallèles.
Exercice 40
Soit un plan , une droite et un parallélogramme situé dans un plan non parallèle à .
Montrer que la projection de sur parallèlement à est un parallélogramme.
Exercice 41
Un quadrilatère plan se projette sur un plan suivant un parallélogramme .
Déterminer la nature de .
Exercice 42
Trouver un plan et une droite tels qu'un quadrilatère gauche donné se projette sur parallèlement à suivant un parallélogramme.
Exercice 43
Soit la projection sur un plan parallèlement à une droite d'un triangle situé dans un plan non parallèle à .
Montrer que les milieux des cotés de sont les projections des milieux des cotés de et que le centre de gravité de est la projection du centre de gravité de
Exercice 44
Soit un tétraèdre , le milieu de le milieu de .
1) Construire la projection du tétraèdre sur le plan parallèlement à la droite .
2) Quelle est la nature de la figure obtenue ?
3) La figure peut-elle être un carré ; à quelles conditions ?
Exercice 45
Soit un cube .
1) Construire l'image du cube par la projection sur le plan parallèlement à la droite .
2) Construire l'image du cube par la projection sur le plan parallèlement à la droite .
3) Construire l'image du cube par la projection sur le plan parallèlement à la droite .
Problèmes de construction
Exercice 46
Soient deux droites strictement parallèles et deux droites quelconques sécantes avec le plan déterminé par .
Si une droite rencontre , dans quel plan se trouve-telle ?
Construire une droite rencontrant . Est-ce toujours possible ?
Exercice 47
Soit une droite et une droite non parallèle à .
1) Démontrer que toutes les droites parallèles à et sécantes à sont dans un même plan .
2) Soit une droite non coplanaire avec et sécante avec .
Construire une droite parallèle à et sécante à .
Exercice 48
Soit deux droites non coplanaires un point n'appartenant ni à ni à
Dans quel cas peut-on mener par une droite parallèle à et sécante à ?
Exercice 49
On donne un plan , une droite sécante avec , et un point n'appartenant ni à ni à .
Construire une droite passant par rencontrant et parallèle à .
Vecteurs et repères
Dans les exercices 50 à 52, on considère un tétraèdre (voir figure ci-dessous)
Exercice 50
1) Construire les représentants d'origine des vecteurs :
Exercice 51
Soit un réel non nul et les points définis par :
Démontrer que est un parallélogramme.
Exercice 52
Soit les centres de gravité des triangles .
1) Montrer que
2) Simplifier la somme :
3) Soit un point quelconque, montrer que :
Exercice 53
On considère le parallélépipède ci-dessous.
Construire un représentant d'origine des vecteurs suivants :
Exercice 54
On considère toujours le parallélépipède de l'exercice 52.
1) Construire l'isobarycentre du parallélépipède.
2) Calculer
3) Montrer que est centre de symétrie du parallélépipède.
4) Construire les isobarycentres
5) Montrer que les droites sont concourantes.
6) Quelle est la nature du quadrilatère ?
Exercice 55
On considère encore le parallélépipède de l'exercice 52.
Soit le point défini par :
Soit le point défini par :
1) Montrer que sont coplanaires.
2) Quelle est la nature du quadrilatère ?
Exercice 56
Soit un tétraèdre .
Quelles sont dans le repère les coordonnées des sommets du tétraèdre, des centres de gravité des faces du tétraèdre, et les coordonnées de l'isobarycentre des quatre points
Exercice 57
Soit un parallélépipède ( est un parallélogramme et on a
Quelles sont, dans le repère les coordonnées des sommets de ce parallélépipède, des centres des six faces et du centre du parallélépipède ?
Exercice 58
L'espace est muni du repère .
On considère les points .
1) a) Existe-t-il des points d'abscisse 3 alignés avec ?
b) Existe-t-il des points d'ordonnée 5 alignés avec ?
c) Déterminer deux points coplanaires avec .
d) Déterminer un point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1 coplanaire avec .
2) a) Les vecteurs définissent-ils une base de l'ensemble des vecteurs de l'espace ?
b) Les vecteurs définissent-ils une base de l'ensemble des vecteurs de l'espace ?
Si oui, donner dans cette base les coordonnées des vecteurs
Exercice 59
Soient quatre points non coplanaires et tel que soit un parallélogramme.
Soient les milieux de et le milieu de .
1) a) Montrer que les droites sont parallèles.
b) Les droites sont-elles sécantes ou non coplanaires ?
c) Que peut-on dire des plans ?
d) On trace par la droite parallèle à .
Déterminer son intersection avec le plan .
2) On considère le plan
a) Donner les coordonnées des différents points de la figure.
b) Démontrer analytiquement les résultats du 1).
Exercice 60
On considère un cube (cf. figure ci-dessous)
1) Montrer que les vecteurs définissent une base de l'ensemble des vecteurs du plan.
2) Donner dans le repère les coordonnées des points de la figure.
3) Donner un système d'équations paramétriques des droites et étudier l'intersection de ces deux droites.
Retrouver le résultat géométriquement.
4) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite et du plan .
5) Soit un point de l'isobarycentre de , .
Montrer que appartient au plan (analytiquement puis géométriquement).
6) décrit la droite ; quel est l'ensemble des points ? (On pourra démontrer le résultat géométriquement ou analytiquement).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/20/2022 - 22:48
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Cool cool cool je kiff grave
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