Bac Maths D, Union des Comores 2018

Comores Télécom propose un jeu qui consiste à tirer au hasard, successivement et sans remise deux téléphones dans un carton qui contient deux téléphones de marque Samsung et cinq de marques ALCATEL.

Soit l'évènement $A$ : « obtenir deux téléphones de marques différentes » (Les résultats seront donnés sous forme d'une fraction irréductible)

1. Calculer la probabilité de l'évènement $A.$

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux téléphones associe le nombre de téléphones de marque Samsung obtenu.

a) Définir l'évènement suivant : $(X=2).$

b) Calculer la probabilité de l'évènement $(X=2).$

c) En déduire : $P[(X=2]\cup A.$

3. Maintenant, on suppose que le carton contient $n$ téléphones dont deux de marques Samsung et les autres de marques ALCATEL où $n$ est un naturel non nul.  

On tire au hasard successivement et sans remise deux téléphones.

On note par $P_{n}$ la probabilité de l'évènement $A.$

a) Montrer que $P_{n}=\dfrac{4(n−2)}{n(n-1)}$
 
b) Retrouver le résultat de la question 1.   

Une région est attaquée par une épidémie.

On a relevé les différents cas constatés durant les semaines.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :     
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Rang de la}&1&2&3&4&5&6\\ \text{semaine : }x_{i}& & & & &  &\\ \hline \text{Nombre des}&1&1&2&3&3&4\\ \text{cas identifiés : }y_{i}& & & & & &\\ \hline  \end{array}$$

On définit ainsi une série statistique double.

1. Représenter les nuages des points de cette série, dans un repère orthonormé.  

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série.

Placer le point $G.$

3. En utilisant la méthode de MAYER, montrer que, la droite de régression de $y$ en $x$, notée $(d)$, a pour équation $y=\dfrac{2}{3}x.$

Tracer $(d).$

4. En supposant que cette tendance reste uniforme, déterminer le nombre des cas de cette épidémie à la douzième semaine.

Racine d'une équation du second degré à coefficient réel, dans l'ensemble des nombres complexes.

On considère l'équation $(E)$, à variable complexe : $z^{2}-2z+5=0.$

1. Montrer que si un nombre complexe $z_{0}$ est une solution de l'équation $(E)$, alors son conjugué $\overline{z_{0}}$ est aussi solution de $(E).$

2. Vérifier que le nombre complexe $1-2\mathrm{i}$ est une racine de l'équation $(E).$

3. En déduire la deuxième racine, notée $z_{1}$ de l'équation $(E).$

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\  \vec{v})$, on donne les points $E$, $B$ et $P$ d'affixe respectives $3$ ; $1-2\mathrm{i}$ et $1+2\mathrm{i}.$

1. Placer ces points dans le repère.

(on complétera au fur et à mesure).

2. a) Écrire le nombre complexe $\dfrac{z_{B}-z_{E}}{z_{P}-z_{E}}$ sous forme algébrique.

b) En déduire la nature du triangle $BEP.$

3. Déterminer l'affixe du point $C$ pour que le quadrilatère $BEPC$ soit un carré.

4. $S$ la similitude plane directe du plan qui transforme $E$ en $B$ et le point $B$ en $C.$

a) Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : $z'=-\mathrm{i}z+1+\mathrm{i}.$

b) En déduire les éléments caractéristiques de $S.$

c) Quelle est l'image, par la similitude $S$, du carré $BEPC.$

5. Calculer, en $cm^{2}$, la surface du quadrilatère $BEPC.$

La partie A est largement indépendante des deux dernières $(B$ et $C).$

On considère l'équation différentielle suivante : $$(E)\ :\ y''+y'2y=0.$$   
 
1. Vérifier que la fonction $U$ et $V$ définies sur $\mathbb{R}$ par $$U(x)=\mathrm{e}^{-2x}\quad\text{et}\quad V(x)=\mathrm{e}^{x}$$, sont les solutions de $(E).$

2. Montrer que, la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par, $g(x)=aU(x)+bV(x)$, est solution de $(E)$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

3. Déterminer alors, l'unique solution $g$ de $(E)$ vérifiant : $g(0)=1$ et $g'(0)=-2.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(1+2x)\mathrm{e}^{-2x}.$$

On note par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{\mathrm{i}}\ ;\ \vec{j}).$

1. Dresser le tableau de variation de $f.$

2. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

3. a) Montrer que la fonction $H(x)=(−x-1)\mathrm{e}^{-2n}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

b) Calculer alors la valeur exacte de la surface du domaine du plan limité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1.$

On considère les suites $\left(V_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ définies par :  
$$V_{n}=\int^{n}_{0}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad S_{n}=f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(n)\ ;\ $$ pour tout entier $n.$

1. a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $V_{n}=1-(n+1)\mathrm{e}^{-2n}.$

b) Déterminer alors la limité de la suite $\left(V_{n}\right).$
 
2. a) Montrer que, pour entier naturel $k$, tel que $0\leq k\leq n-1$ on a :  
$$f(k+1)\leq\int^{k+1}_{k}f(x)\mathrm{d}x\leq f(k).$$
                                                                                                     
b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :  $$S_{n}-f(0)\leq V_{n}\leq S_{n}-f(n).$$  

3. Établir que, pour tout entier nature $n$, on a :  
$$V_{n}+(1+2n)\mathrm{e}^{-2n}\leq S_{n}\leq 1+V_{n}.$$  

4. On admet que la suite $\left(S_{n}\right)$ converge vers un réel $L.$

Justifier que $1\leq L\leq 2.$