Bac Maths D, Union des Comores 2018

Exercice 1 

Comores Télécom propose un jeu qui consiste à tirer au hasard, successivement et sans remise deux téléphones dans un carton qui contient deux téléphones de marque Samsung et cinq de marques ALCATEL.

Soit l'évènement A : « obtenir deux téléphones de marques différentes » (Les résultats seront donnés sous forme d'une fraction irréductible)

1. Calculer la probabilité de l'évènement A.

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux téléphones associe le nombre de téléphones de marque Samsung obtenu.

a) Définir l'évènement suivant : (X=2).

b) Calculer la probabilité de l'évènement (X=2).

c) En déduire : P[(X=2]A.

3. Maintenant, on suppose que le carton contient n téléphones dont deux de marques Samsung et les autres de marques ALCATEL où n est un naturel non nul.  

On tire au hasard successivement et sans remise deux téléphones.

On note par Pn la probabilité de l'évènement A.

a) Montrer que Pn=4(n2)n(n1)
 
b) Retrouver le résultat de la question 1.   

Exercice 2

Une région est attaquée par une épidémie.

On a relevé les différents cas constatés durant les semaines.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :     
Rang de la123456semaine : xiNombre des112334cas identifiés : yi

On définit ainsi une série statistique double.

1. Représenter les nuages des points de cette série, dans un repère orthonormé.  

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.

Placer le point G.

3. En utilisant la méthode de MAYER, montrer que, la droite de régression de y en x, notée (d), a pour équation y=23x.

Tracer (d).

4. En supposant que cette tendance reste uniforme, déterminer le nombre des cas de cette épidémie à la douzième semaine.

Exercice 3

Partie A

Racine d'une équation du second degré à coefficient réel, dans l'ensemble des nombres complexes.

On considère l'équation (E), à variable complexe : z22z+5=0.

1. Montrer que si un nombre complexe z0 est une solution de l'équation (E), alors son conjugué ¯z0 est aussi solution de (E).

2. Vérifier que le nombre complexe 12i est une racine de l'équation (E).

3. En déduire la deuxième racine, notée z1 de l'équation (E).

Partie B Complexe et géométrie

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v), on donne les points E, B et P d'affixe respectives 3 ; 12i et 1+2i.

1. Placer ces points dans le repère.

(on complétera au fur et à mesure).

2. a) Écrire le nombre complexe zBzEzPzE sous forme algébrique.

b) En déduire la nature du triangle BEP.

3. Déterminer l'affixe du point C pour que le quadrilatère BEPC soit un carré.

4. S la similitude plane directe du plan qui transforme E en B et le point B en C.

a) Montrer que l'écriture complexe de S est : z=iz+1+i.

b) En déduire les éléments caractéristiques de S.

c) Quelle est l'image, par la similitude S, du carré BEPC.

5. Calculer, en cm2, la surface du quadrilatère BEPC.

Problème

La partie A est largement indépendante des deux dernières (B et C).

Partie A  

On considère l'équation différentielle suivante : (E) : y+y2y=0.   
 
1. Vérifier que la fonction U et V définies sur R par U(x)=e2xetV(x)=ex, sont les solutions de (E).

2. Montrer que, la fonction g définie sur R par, g(x)=aU(x)+bV(x), est solution de (E)a et b sont des constantes réelles.

3. Déterminer alors, l'unique solution g de (E) vérifiant : g(0)=1 et g(0)=2.

Partie B Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=(1+2x)e2x.

On note par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i ; j).

1. Dresser le tableau de variation de f.

2. Tracer (Cf).

3. a) Montrer que la fonction H(x)=(x1)e2n est une primitive de f sur R.

b) Calculer alors la valeur exacte de la surface du domaine du plan limité par (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.

Partie C Étude d'une suite  

On considère les suites (Vn) et (Sn) définies par :  
Vn=n0f(x)dxetSn=f(0)+f(1)+f(2)++f(n) ;  pour tout entier n.

1. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Vn=1(n+1)e2n.

b) Déterminer alors la limité de la suite (Vn).
 
2. a) Montrer que, pour entier naturel k, tel que 0kn1 on a :  
f(k+1)k+1kf(x)dxf(k).
                                                                                                     
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :  Snf(0)VnSnf(n).  

3. Établir que, pour tout entier nature n, on a :  
Vn+(1+2n)e2nSn1+Vn.  

4. On admet que la suite (Sn) converge vers un réel L.

Justifier que 1L2.

 

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