Bac Maths D, Union des Comores 2018
Exercice 1
Soit l'évènement A : « obtenir deux téléphones de marques différentes » (Les résultats seront donnés sous forme d'une fraction irréductible)
1. Calculer la probabilité de l'évènement A.
2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux téléphones associe le nombre de téléphones de marque Samsung obtenu.
a) Définir l'évènement suivant : (X=2).
b) Calculer la probabilité de l'évènement (X=2).
c) En déduire : P[(X=2]∪A.
3. Maintenant, on suppose que le carton contient n téléphones dont deux de marques Samsung et les autres de marques ALCATEL où n est un naturel non nul.
On tire au hasard successivement et sans remise deux téléphones.
On note par Pn la probabilité de l'évènement A.
a) Montrer que Pn=4(n−2)n(n−1)
b) Retrouver le résultat de la question 1.
Exercice 2
On a relevé les différents cas constatés durant les semaines.
Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Rang de la123456semaine : xiNombre des112334cas identifiés : yi
On définit ainsi une série statistique double.
1. Représenter les nuages des points de cette série, dans un repère orthonormé.
2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.
Placer le point G.
3. En utilisant la méthode de MAYER, montrer que, la droite de régression de y en x, notée (d), a pour équation y=23x.
Tracer (d).
4. En supposant que cette tendance reste uniforme, déterminer le nombre des cas de cette épidémie à la douzième semaine.
Exercice 3
Partie A
On considère l'équation (E), à variable complexe : z2−2z+5=0.
1. Montrer que si un nombre complexe z0 est une solution de l'équation (E), alors son conjugué ¯z0 est aussi solution de (E).
2. Vérifier que le nombre complexe 1−2i est une racine de l'équation (E).
3. En déduire la deuxième racine, notée z1 de l'équation (E).
Partie B Complexe et géométrie
1. Placer ces points dans le repère.
(on complétera au fur et à mesure).
2. a) Écrire le nombre complexe zB−zEzP−zE sous forme algébrique.
b) En déduire la nature du triangle BEP.
3. Déterminer l'affixe du point C pour que le quadrilatère BEPC soit un carré.
4. S la similitude plane directe du plan qui transforme E en B et le point B en C.
a) Montrer que l'écriture complexe de S est : z′=−iz+1+i.
b) En déduire les éléments caractéristiques de S.
c) Quelle est l'image, par la similitude S, du carré BEPC.
5. Calculer, en cm2, la surface du quadrilatère BEPC.
Problème
Partie A
1. Vérifier que la fonction U et V définies sur R par U(x)=e−2xetV(x)=ex, sont les solutions de (E).
2. Montrer que, la fonction g définie sur R par, g(x)=aU(x)+bV(x), est solution de (E) où a et b sont des constantes réelles.
3. Déterminer alors, l'unique solution g de (E) vérifiant : g(0)=1 et g′(0)=−2.
Partie B Étude d'une fonction
On note par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; →i ; →j).
1. Dresser le tableau de variation de f.
2. Tracer (Cf).
3. a) Montrer que la fonction H(x)=(−x−1)e−2n est une primitive de f sur R.
b) Calculer alors la valeur exacte de la surface du domaine du plan limité par (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.
Partie C Étude d'une suite
Vn=∫n0f(x)dxetSn=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n) ; pour tout entier n.
1. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Vn=1−(n+1)e−2n.
b) Déterminer alors la limité de la suite (Vn).
2. a) Montrer que, pour entier naturel k, tel que 0≤k≤n−1 on a :
f(k+1)≤∫k+1kf(x)dx≤f(k).
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : Sn−f(0)≤Vn≤Sn−f(n).
3. Établir que, pour tout entier nature n, on a :
Vn+(1+2n)e−2n≤Sn≤1+Vn.
4. On admet que la suite (Sn) converge vers un réel L.
Justifier que 1≤L≤2.
Commentaires
Sossou (non vérifié)
ven, 04/15/2022 - 15:05
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La réussite
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