Solution des exercices : Application affine 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

f est une application linéaire définie dans R telle que : $f(3)=-6.
 
g est une application affine définie dans R telle que : g(5)=2; g(3)=4.
 
1) Écrivons f(x)  et  g(x) en fonction de x.
 
En effet, comme f est une application linéaire définie dans R alors, f est de la forme :
f(x)=ax
avec a son coefficient linéaire.
 
On a alors : f(3)=3a
 
Or, on sait que f(3)=6
 
Donc, 3a=6
 
Ce qui donne : a=63=2
 
D'où, f(x)=2x
 
Déterminons l'application affine g.
 
En effet, comme g est une application affine définie dans R alors, g est de la forme :
g(x)=ax+b
avec a son coefficient directeur et b son ordonnée à l'origine.
 
Or, on sait que : g(5)=2  et  g(3)=4.
 
Alors, le coefficient directeur a est donné par :
 
a=g(3)g(5)(3)(5)=(4)(2)35=68=34
 
Donc, g(x)=34x+b
 
Pour déterminer b, on peut calculer g(5)  ou  g(3) à partir de l'expression de g(x).
 
On a : g(5)=34×5+b
 
Or, g(5)=2 donc, 154+b=2
 
Ce qui donne :
 
b=2+154=84+154=74
 
D'où, g(x)=34x+74
 
2) Donnons le sens de variation de f  et  g.
 
D'après le résultat de la question 1), on a : f(x)=2x.
 
Donc, f est une application linéaire de coefficient linéaire 2<0.
 
Par conséquent, f est décroissante.
 
D'après le résultat de la question 1), on a : g(x)=34x+74.
 
Considérons alors g1, l'application linéaire associée à g et définie par :
g1(x)=34x
Comme le coefficient linéaire de g1 est négatif alors, g est décroissante.

Exercice 2

On considère les expressions suivantes :
H(x)=4(x+3)243(x+3)+3  et  G(x)=(2x+3)2
1) Nous allons développer, réduire puis ordonner H(x)  et  G(x)
 
On a : 
 
H(x)=4(x+3)243(x+3)+3=4x2+8x3+124x312+3=4x2+4x3+3
 
Donc, H(x)=4x2+4x3+3
 
Soit :
 
G(x)=(2x+3)2=4x2+4x3+3
 
Alors, G(x)=4x2+4x3+3
 
2) En déduisons une factorisation de H(x).
 
D'après le résultat de la question 1), on constate que :
H(x)=G(x)
Or, G(x)=(2x+3)2
 
Donc, H(x)=(2x+3)2
 
3) On pose : Q(x)=H(x).
 
a) Résolvons dans R l'équation Q(x)=23.
 
On a : Q(x)=23 si, et seulement si, H(x)=23
 
Donc, (2x+3)2=23
 
Or, (2x+3)2=|(2x+3)|
 
Ce qui revient donc à résoudre l'équation : |(2x+3)|=23
 
En utilisant la propriété de la valeur absolue, on a :
 
|(2x+3)|=232x+3=23  ou  2x+3=232x=233  ou  2x=2332x=3  ou  2x=33x=32  ou  x=332
 
Donc, |(2x+3)|=23 si, et seulement si, x=32  ou  x=332
 
D'où, l'équation Q(x)=23 a pour solution dans R :
S={32; 332}
b) Montrons que Q est une application affine par intervalle.
 
Soit : Q(x)=(2x+3)2=|(2x+3)|
 
Étudions alors le signe de (2x+3)
 
On a : 2x+3=0 si, et seulement si, x=32
 
Donc, (2x+3) est positif pour tout x>32 et négatif pour x<32.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x3/2+signe de (2x+3)|+Q(x)(2x+3)0(2x+3)
Donc,
 
  si x]; 32],  Q(x)=2x3
 
  si x[32; +[,  Q(x)=2x+3
 
D'où, Q est une application affine par intervalle.
 
c) Représentons graphiquement Q dans un repère orthonormé (O, I, J).
 
En effet, représenter graphiquement Q revient tout simplement à représenter les droites :
 
(D1) : y=2x3 dans l'intervalle ]; 32]
 
(D2) : y=2x+3 dans l'intervalle [32; +[
 
Choisissons alors deux points A, B(D1) et deux points C, D(D2)
 
Soit :
ABx3/22y043CDx01y32+3
Traçons alors la droite (D1) passant par A, B  et la droite (D2) passant par C, D.

 

 

Exercice 3 BFEM 2006

Soit l'application f définie par : f(x)=|x+3|
1) Calculons : f(0)  et  f(3). 
 
Dans l'expression de f(x), en remplaçant x par 0, on obtient :
 
f(0)=|0+3|=|3|=3
 
Donc, f(0)=3
 
Dans l'expression de f(x), en remplaçant x par 3, on obtient :
 
f(3)=|3+3|=|0|=0
 
Donc, f(3)=0
 
2) Montrons que f est une application affine par intervalle.
 
Soit : f(x)=|x+3|
 
Étudions le signe de (x+3).
 
On a : x+3=0 si, et seulement si, x=3
 
Donc, (x+3) est positif pour tout x>3 et négatif pour x<3.
 
Regroupant alors ces informations dans le tableau de signes suivant :
x3+signe de (x+3)|+f(x)(x+3)0(x+3)
Donc, 
 
  si x]; 3],f(x)=x3
 
  si x[3; +[,f(x)=x+3
 
Par conséquent, f est une application affine par intervalle.
 
3) Représentons graphiquement f dans un repère orthonormé (O, I, J).
 
Pour cela, traçons les deux droites suivantes :
 
(Δ1) : y=x3  pour x]; 3]
 
(Δ2) : y=x+3  pour x[3; +[
 
Choisissons alors A, B(Δ1)  et  C, D(Δ2)
 
Soit :
ABx45y12CDx01y32
Traçons alors la droite (Δ1) passant par A, B  et la droite (Δ2) passant par C, D.
 
 
4) Résolvons dans R l'équation f(x)=1.
 
On a : f(x)=1 si, et seulement si, |x+3|=1.
 
Résolvons alors l'équation |x+3|=1.
 
En utilisant la propriété de la valeur absolue, on a :
 
|x+3|=1x+3=1  ou  x+3=1x=13  ou  x=13x=2  ou  x=4
 
Donc, |x+3|=1 si, et seulement si, x=2  ou  x=4
 
D'où, l'équation f(x)=1 a pour solution dans R :
S={4; 2}

Exercice 4

1) Résolvons dans R×R le système d'équation suivant : {6x+y440=0(1)17x+2y1080=0(2)
Dans l'équation (1), en expriment y en fonction de x on obtient : y=4406x(3)
Remplaçons cette expression de y dans l'équation (2).
 
On a : 17x+2×(4406x)1080=0
 
Donc, 17x12x+8801080=0  ; c'est-à-dire 5x=200
 
D'où, x=2005=40
 
En remplaçant cette valeur de x dans l'équation (3) on obtient : 
 
y=4406×40=440240=200
 
Ainsi, S={(40; 200)}
2) a) Déterminons le prix d'une minute de communication et la somme forfaitaire sur le réseau "EXPRESSO"
 
Considérons le système de départ et divisons l'équation (2) par 2.
 
On obtient : {6x+y440=08.5x+y540=0
Ce qui est équivalent à :
{6x+y=440(4)8.5x+y=540(5)
Choisissons x comme étant le nombre de minutes de communication et y la somme forfaitaire sur le réseau "EXPRESSO" alors, on constate que l'équation (4) représente l'opération de Alioune et l'équation (5) celle de Fatou.
 
Donc, en résolvant ce système on déterminera x  et  y.
 
Or, ce système est équivalent au système de départ dont la solution est donnée par : S={(40; 200)}
C'est-à-dire   x=40 et y=200
 
Ainsi, le prix d'une minute de communication est égal à 40FCFA et la somme forfaitaire sur le réseau "EXPRESSO" est de 200FCFA.
 
b) Déterminons l'application affine qui définit la somme à payer en fonction du nombre de minute de communication.
 
Soit f cette application affine.
 
Déterminons f 
 
On a : f(x)=ax+b
 
Or, en prenant le cas de Alioune on a f(6)=440 et pour Fatou f(8.5)=540
 
Alors, a=f(8.5)f(6)8.56=5404402.5=1002.5=40
 
Donc, f(x)=40x+b
 
et comme f(6)=40×6+b   et   f(6)=440, alors 240+b=440
 
Ainsi, b=440240=200
 
D'où, f(x)=40x+200
 
c) Représentons graphiquement cette application dans un repère orthonormé.
 
Soit (D) la droite d'équation y=40x+200.
 
Représenter graphiquement f revient tout simplement à représenter (D).
 
Pour cela, choisissons deux points A et B dont les coordonnées vérifient l'équation de (D).
 
On a : ABx68.5y440540

 
Echelle : 1cm2minutes1cm100F CFA
d) Déterminons graphiquement la somme à payer pour 10 minutes de communication.
 
On projette x=6 sur (D) et à partir de (D) on projette sur l'axe des prix.
 
Ce qui donne y=600
 
Donc, pour 10 minutes de communication on doit payer 600FCFA.

Exercice 5 BFEM 2004

1) Pour organiser une colonie de vacances pour les 50 enfants de ses employés, une société établie à Dakar lance un appel d'offre auquel 3 agences de transport A, B  et  C ont soumissionné :
 
L'agence A réclame pour chacun de ses cars un forfait de 30000F  et  500F pour chaque km.
 
L'agence B réclame pour chacun de ses cars un forfait de 40000F  et  300F pour chaque km.
 
L'agence C réclame 64000F pour chacun de ses cars.
 
a) Établissons la relation exprimant la somme y à payer en fonction du nombre x de kilomètres parcourus pour chacune des 3 agences.
 
Comme l'agence A réclame pour chacun de ses cars un forfait de 30000F  et  500F pour chaque km parcouru alors, la somme y à payer pour x de kilomètres parcourus est donnée par :
y=30000+500×x=30000+500x
Comme l'agence B réclame pour chacun de ses cars un forfait de 40000F  et  300F pour chaque km parcouru alors, la somme y à payer pour x de kilomètres parcourus est donnée par :
y=40000+300×x=40000+300x
Comme l'agence C réclame pour chacun de ses cars un forfait de 64000F  et  0F pour chaque km parcouru alors, la somme y à payer pour x de kilomètres parcourus est donnée par :
y=64000+0×x=64000
b) Dans un même repère orthonormal (1cm pour 10km en abscisses et 1cm pour 10000F en ordonnées), représentons graphiquement les 3 relations précédemment obtenues.
 
Pour l'agence A, nous allons donc tracer la droite d'équation :
y=30000+500x
Choisissons deux points A  et  B dont les coordonnées vérifient cette équation.
 
On a :
ABx2010y4000035000
Ainsi, la droite passant par A  et  B représente la somme réclamée par l'agence A.
 
Ensuite, pour l'agence B, nous allons tracer la droite d'équation :
y=40000+300x
Choisissons alors deux points C  et  D dont les coordonnées vérifient cette équation.
 
On a :
CDx2040y4600052000
Donc, la droite passant par C  et  D représente la somme réclamée par l'agence B.
 
Enfin, pour l'agence C, nous allons donc tracer la droite d'équation :
y=64000
C'est la droite passant par le point H(0; 64000) et parallèle à l'axe des abscisses.
 
Cette droite représente donc la somme réclamée par l'agence C.
 
Echelle : 1cm10km1cm10000F
c) Déterminons graphiquement sur quelle longueur de trajet : 
 
  L'agence A réclame plus que l'agence B
 
Sur la figure, nous remarquons que les représentations graphiques des agences A  et  B se croisent au point E d'abscisse 50.
 
Ainsi, lorsque x est supérieur à 50, la représentation graphique de l'agence A est au dessus de celle de l'agence B.
 
Ce qui signifie que l'agence A réclame plus que l'agence B lorsque x est supérieur à 50.
 
Donc, sur une longueur de trajet supérieure à 50km, l'agence A réclame plus que l'agence B.
 
  L'agence A et l'agence C réclament la même somme
 
Sur le graphique, nous constatons que les représentations graphiques des agences A  et  C se croisent au point F d'abscisse 68
 
Ce qui signifie qu'au point F, l'agence A réclame la même somme que l'agence C.
 
Donc, pour x=68, l'agence A et l'agence C réclament la même somme.
 
Ainsi, sur une longueur de trajet égale à 68km, l'agence A et l'agence C réclament la même somme.
 
  L'agence B réclame moins que l'agence C.
 
En observant le graphique, nous remarquons que les représentations graphiques des agences B  et  C se coupent au point G d'abscisse 80.
 
Ainsi, lorsque x est inférieur à 80, la représentation graphique de l'agence B est en dessous de la représentation graphique de l'agence C.
 
Ce qui signifie que l'agence B réclame moins que l'agence C lorsque x est inférieur à 80.
 
Donc, sur une longueur de trajet inférieure à 80km, l'agence B réclame moins que l'agence C.
 
2) Les enfants sont répartis en deux groupes :
 
Le 1e groupe va à Thiès, ville distante de 70km de Dakar.
 
Le 2e groupe va à Kaolack, ville distante de 192km de Dakar.
 
a) Indiquons sur chacun de ces deux trajets l'agence la moins chère qui sera retenue. 
 
La longueur du trajet Dakar - Thiès est de 70km.
 
Alors, en observant le graphique, nous constatons que pour x=70, la représentation de l'agence B est en dessous de celles des autres agences.
 
Ce qui signifie que l'agence B est la moins chère et donc sera retenue pour ce trajet.
 
La longueur du trajet Dakar - Kaolack est égale à 192km.
 
Alors, sur le graphique, nous remarquons que pour x>80, la représentation de l'agence C est en dessous de celles des deux autres.
 
Or, 192>80 donc, pour l'abscisse x=192, la représentation de l'agence C est en dessous de celles des deux autres.
 
Ce qui signifie que l'agence C est la moins chère et donc sera retenue pour ce trajet.
 
Remarque :
 
Par le calcul direct, on pouvait aussi remplacer x par sa valeur, dans chacune des équations des 3 agences puis, comparer les valeurs de y obtenues.
 
Ainsi,
 
  pour le voyage sur Thiès, avec 70km, on aura :
 
Agence A : y=30000+500×70=30000+35000=65000F
 
Agence B : y=40000+300×70=40000+21000=61000F
 
Agence C : y=64000F
 
Alors, on constate que l'agence B, avec 61000F, réclame moins que les autres agences. Par conséquent, elle sera retenue pour ce trajet.
 
  pour le voyage sur Kaolack, avec 192km, on aura :
 
Agence A : y=30000+500×192=30000+96000=126000F
 
Agence B : y=40000+300×192=40000+57600=97600F
 
Agence C : y=64000F
 
On constate alors que l'agence C, avec 64000F, réclame moins que les autres agences. Donc, elle sera retenue pour ce trajet.
 
b) L'agence A est l'agence qui n'aura aucune part de ce marché.
 
En effet, l'agence A n'a pas été retenue pour le trajet Dakar - Thiès ainsi que pour le trajet Dakar - Kaolack.
 
Par conséquent, l'agence A n'aura aucune part de ce marché.
 
3) Deux cars sont prévus pour le voyage sur Kaolack et cinq cars pour le voyage sur Thiès. Si chacun des enfants du premier groupe verse 5000F et chacun des enfants du deuxième groupe verse 3000F alors, la société devra compléter pour 223000F pour couvrir les frais de transport.
 
Déterminons le nombre d'enfants qui composent chaque groupe.
 
Nous appelons a le nombre d'enfants du premier groupe et b le nombre d'enfants du deuxième groupe.
 
En effet, pour le trajet Dakar - Kaolack, l'agence C a été retenue.
 
Or, cette agence réclame, pour chacun de ses cars : y=64000F
 
Comme 2 cars sont prévus pour le voyage sur Kaolack alors, les frais de transport s'élèvent à :
64000F×2=128000F
Pour le trajet Dakar - Thiès, l'agence B a été retenue et cette agence réclame, pour chacun de ses cars :
 
y=40000+300x=40000+300×70=40000+21000=61000F
 
Comme 5 cars sont prévus pour ce voyage alors, les frais de transports s'élèvent à :
61000F×5=305000F
Donc, les frais de transport pour les deux voyages s'élèvent à :
128000F+305000F=433000F
On sait que : chacun des enfants du premier groupe a versé 5000F et chacun des enfants du deuxième groupe a versé 3000F et la société a complété pour 223000F pour couvrir les frais de transport.
 
Ce qui se traduit par :
5000×a+3000×b+223000=433000
C'est-à-dire ; 5000a+3000b=433000223000
 
Ce qui donne : 5000a+3000b=210000
 
Ainsi, en simplifiant par 1000, on trouve :
5a+3b=210(équation 1)
Par ailleurs, on sait que cette colonie de vacances concerne 50 enfants donc, cela signifie :
a+b=50(équation 2)
On obtient alors un système d'équations composé des équations (1)  et  (2).
{5a+3b=210(1)a+b=50(2)
En résolvant ce système, on trouve a  et  b.
 
En multipliant l'équation (2) par 3, on obtient :
3a3b=150(3)
En additionnant membre à membre les équations (1)  et  (3), on trouve :
 
5a+3b3a3b=2101502a=60a=602a=30
 
Donc, a=30
 
Remplaçons ensuite cette valeur de a dans l'équation (2).
 
On trouve alors :
 
a+b=5030+b=50b=5030b=20
 
Donc, b=20
 
Ainsi, le premier groupe est composé de 30 enfants et le second groupe de 20 enfants.

Exercice 6

On définit l'application f dans R par :
f(x)=|2x|
1) Montrons que f est une application affine par intervalle.
 
Étudions le signe de (2x).
 
On a : 2x=0 si, et seulement si, x=2
 
Or, on remarque que dans l'expression (2x), le coefficient associé à x est négatif.
 
Donc, (2x) est positif pour tout x<2 et négatif pour x>2.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x2+signe de (2x)+|f(x)(2x)0(2x)
Donc, 
 
  si x]; 2],f(x)=2x
 
  si x[2; +[,f(x)=x2
 
Par conséquent, f est une application affine par intervalle.
 
2) Déterminons les variations de f dans les intervalles ]; 2]  et  [2; +[.
 
  Dans l'intervalle ]; 2], f est une application affine définie par :
f(x)=2x
Considérons alors l'application linéaire f1 associée à f et définie par :
f1(x)=x
On constate que le coefficient linéaire de f1 est négatif.
 
Donc, f est décroissante dans l'intervalle ]; 2].
 
  Dans l'intervalle [2; +[, f est une application affine définie par :
f(x)=x2
Considérons alors f2, l'application linéaire associée à f et définie par :
f2(x)=x
On remarque que le coefficient linéaire de f2 est positif.
 
Par conséquent, f est croissante dans l'intervalle [2; +[.
 
3) Représentons f dans un repère orthonormal (O; i, j).
 
Pour cela, représentons les droites :
 
(D1) : y=2x dans l'intervalle ]; 2]
 
(D2) : y=x2 dans l'intervalle [2; +[
 
Choisissons alors deux points A, B appartenant à (D1) et deux points C, D appartenant à (D2).
 
Soit :
ABx01y21CDx34y12
Traçons alors la droite (D1) passant par A, B  et la droite (D2) passant par C, D.
 
 

Exercice 7

On considère l'application affine g telle que g(1)=4  et  g(2)=0.
 
1) Déterminons l'expression littérale de g.
 
Comme g est une application affine définie dans R alors, g est de la forme :
g(x)=ax+b
avec a son coefficient directeur et b son ordonnée à l'origine.
 
Or, on sait que : g(1)=4  et  g(2)=0.
 
Donc, le coefficient directeur a est donné par :
 
a=g(1)g(2)(1)(2)=401+2=41=4
 
Donc, g(x)=4x+b
 
Ensuite, on détermine b en calculant g(1)  ou  g(2) à partir de l'expression de g(x).
 
Soit : g(2)=4×(2)+b=8+b
 
Or, g(2)=0 donc, 8+b=0
 
C'est-à-dire ; b=8
 
Ainsi, g(x)=4x+8
 
2) En déduisons g l'application linéaire associée à g(x).
 
g(x)=4x+8 étant une application affine alors, g l'application linéaire associée à g(x) est donnée par :
g(x)=4x
3) Représentons g(x)  et  g(x) puis, déduisons-en la position relative des deux représentations.
 
Pour cela, on représente les droites :
 
(D) : y=4x+8
 
(D) : y=4x
 
Choisissons alors deux points A, B appartenant à (D) et un point C appartenant à (D).
 
Soit :
ABx12y40Cx1y4
Traçons alors la droite (D) passant par A, B  et la droite (D) passant par C et par le point O origine du repère.
 
 
Les droites (D)  et  (D) sont parallèles.

Exercice 8

On considère la fonction affine suivante :
f(x)=|x+1|2
1) Écrivons f(x) sans la valeur absolue.
 
Pour cela, déterminons d'abord le signe de (x+1).
 
On a : x+1=0 si, et seulement si, x=1
 
Donc, (x+1) est positif pour tout x>1 et négatif pour x<1.
 
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1+signe de (x+1)|+|x+1|x10x+1
Donc,
 
  dans l'intervalle ]; 1], en remplaçant |x+1| par x1, on obtient :
f(x)=x12=x3
  dans l'intervalle [1; +[, en remplaçant |x+1| par x+1, on obtient :
f(x)=x+12=x1
2) En déduisons que f est une application affine par intervalles et précisons ses intervalles de définition.
 
D'après le résultat de la question 1), on a :
 
f(x)=x3 si x appartient à l'intervalle ]; 1]
 
f(x)=x1 si x appartient à l'intervalle [1; +[
 
Par conséquent, f est une application affine par intervalle.
 
Ses intervalles de définition sont : ]; 1]  et  [1; +[
 
3) Représentons f dans un repère orthonormal.
 
Pour cela, nous allons représenter les droites :
 
(D) : y=x3 dans l'intervalle ]; 1]
 
(D) : y=x1 dans l'intervalle [1; +[
 
Choisissons d'abord deux points A, B appartenant à (D) et deux points C, D appartenant à (D).
 
Soit :
ABx23y10CDx01y10
Traçons ensuite la droite (D) passant par A, B  et la droite (D) passant par C, D.
 
C'est la représentation de f.
 
 

Exercice 9

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; i, j).
 
a) Trouvons l'application affine f dont la représentation graphique est la droite (D) passant par les points A(1; 2)  et  B(3; 0).
 
Comme f est une application affine définie dans R alors, f est de la forme :
f(x)=ax+b
avec a son coefficient directeur et b son ordonnée à l'origine.
 
Or, on sait que : la représentation graphique de f est la droite (D) passant par les points A(1; 2)  et  B(3; 0).
 
Ce qui signifie que : f(1)=2  et  f(3)=0.
 
Ainsi, le coefficient directeur a de f est donné par :
 
a=f(1)f(3)(1)(3)=2013=213
 
Donc, a=213
 
En rendant rationnel le dénominateur de a, on obtient :
 
213=2(1+3)(13)(1+3)=2+23(1)2(3)2=2+2313=2+232=13
 
Alors, a=13
 
Donc, f(x)=(13)x+b
 
Ensuite, on détermine b en calculant f(1)  ou  f(3) à partir de l'expression de f(x).
 
Soit : f(3)=(13)×(3)+b=33+b
 
Or, f(3)=0 donc, 33+b=0
 
Par suite, b=33
 
Ainsi, f(x)=(13)x+33
 
b) Déterminons le sens de variation de f.
 
En effet, f étant une application affine alors, f1 l'application linéaire associée à f est donnée par :
f1(x)=(13)x
Déterminons alors le signe de (13) ; coefficient linéaire de f1.
 
Pour cela, comparons 1  et  3.
 
On a : 1>0  et  3>0
 
Alors, 12=1  et  (3)2=3
 
Or, 1<3 donc, 1<3
 
D'où, (13)<0
 
Ainsi, le coefficient linéaire de f1 est négatif.
 
Par conséquent, f est décroissante.
 

Exercice 10

Soit P=(23)2(322)2
 
1) Calculons P.
 
En effet, on a :
 
(23)2=|23|
 
(322)2=|322|
 
Donc, P=|23||322|
 
Écrivons alors P sans les symboles de valeur absolue.
 
Pour cela, déterminons le signe de (23)  et  (322)
 
On a : 2>0  et  3>0
 
Alors, (2)2=2  et  32=9
 
Or, 2<9 donc, 2<3
 
D'où, (23)<0
 
Par suite, |23|=(23)=2+3
 
De la même manière, on a : 3>0  et  22>0
 
Alors, 32=9  et  (22)2=8
 
Or, 9>8 donc, 3>22
 
D'où, (322)>0
 
Par conséquent, |322|=322
 
Ainsi,
 
P=|23||322|=(2+3)(322)=2+33+22=2
 
D'où, P=2
 
2) Soit g(x)=|2x7|
 
a) Montrons que g est une application affine par intervalles.
 
Écrivons alors g(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
Pour cela, étudions le signe de (2x7).
 
On a : 2x7=0 si, et seulement si, 2x=7
 
Ce qui donne : x=72
 
Donc, (2x7) est positif pour tout x>72 et négatif pour x<72.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x7/2+signe de (2x7)|+g(x)(2x7)0(2x7)
Donc, 
 
  si x]; 72] alors, g(x)=2x+7
 
  si x[72; +[ alors, g(x)=2x7
 
Par conséquent, g est une application affine par intervalle.
 
b) Déterminons le sens  de variation de g(x) dans l'intervalle ]; 72].
 
Dans l'intervalle ]; 72], on a :
g(x)=2x+7
Par suite, l'application linéaire g1 associée à g, dans cet intervalle, est donnée par :
g1(x)=2x
On remarque alors que le coefficient linéaire de g1 est négatif.
 
Par conséquent, g est décroissante dans l'intervalle ]; 72].
 
c) Représentons graphiquement g(x) dans l'intervalle [72; +[.
 
Dans l'intervalle [72; +[, on a :
g(x)=2x7
Nous allons donc représenter la droite (D) d'équation y=2x7, dans l'intervalle [72; +[.
 
Choisissons d'abord deux points A, B appartenant à (D)
 
On a :
ABx722y047
Traçons ensuite la droite (D) passant par A, B ou tout simplement la demi-droite [AB).
 
C'est la représentation de g, dans l'intervalle [72; +[.
 
 

Exercice 11

Soit l'application f définie par f(x)=x2+bx+c avec f(0)=9  et  f(1)=16
 
1) Déterminons les réels b  et  c.
 
On a : f(0)=9
 
Ce qui signifie : 02+b×0+c=9
 
Ce qui donne : c=9
 
De même, on a : f(1)=16
 
C'est-à-dire ; (1)2+b×(1)+c=16
 
Or, c=9 donc, on trouve : 1b+9=16
 
Ce qui donne : b=1610=6
 
D'où, b=6
 
2) Montrons que f(x) est le carré d'un facteur.
 
En remplaçant b  et  c par leur valeur, dans l'expression de f(x), on obtient :
f(x)=x26x+9
Alors, en utilisant une forme factorisée des identités remarquable, on trouve :
x26x+9=(x3)2
D'où, f(x)=(x3)2
 
3) Soit h(x)=(x3)2
 
a) Montrons que h est une application affine par intervalles.
 
En effet, on sait que : (x3)2=|x3|
 
Donc, h(x)=|x3|
 
Écrivons alors h(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
Pour cela, étudions d'abord le signe de (x3).
 
On a : x3=0 si, et seulement si, x=3
 
Donc, (x3) est positif pour tout x>3 et négatif pour x<3.
 
Regroupons ensuite ces informations dans un tableau de signes.
 
On obtient :
x3+signe de (x3)|+h(x)(x3)0(x3)
Donc, 
 
  si x]; 3] alors, h(x)=x+3
 
  si x[3; +[ alors, h(x)=x3
 
Par conséquent, h est une application affine par intervalle.
 
b) Représentons graphiquement h(x).
 
Pour cela, nous allons représenter les droites :
 
(D) : y=x+3 dans l'intervalle ]; 3]
 
(D) : y=x3 dans l'intervalle [3; +[
 
Choisissons d'abord deux points A, B appartenant à (D) et deux points C, D appartenant à (D).
 
Soit :
ABx02y31CDx45y12
Traçons ensuite la droite (D) passant par A, B  et la droite (D) passant par C, D.
 
 

Exercice 12

Un gérant de cybercafé propose à ses clients deux types d'options :
 
Optons I : 150F par heure de connexion internet avec un abonnement de 3000F.
 
Option II : 350F par heure de connexion internet sans abonnement
 
1) Une personne a effectué une connexion mensuelle de x heures. 
 
On note : P1(x)  et  P2(x) les prix en francs correspondant respectivement aux options I  et  II.
 
Exprimons P1(x)  et  P2(x) en fonction de x.
 
  Pour l'option I, le client paye 150F pour chaque heure de connexion.
 
Donc, x heures de connexion vont lui coûter 150×x=150x.
 
De plus, il doit ajouter un abonnement de 3000F.
 
Par conséquent, le prix total p1(x) à payer pour cette option est donné par :
p1(x)=150x+3000
  Pour l'option II, le client paye 350F pour chaque heure de connexion.
 
Donc, pour x heures de connexion, il doit payer 350×x=350x.
 
D'où, le prix total p2(x) à payer pour l'option II est donné par :
p2(x)=350x
2) Dans un même repère (O; i, j), construisons les représentions graphiques des applications affines p1  et  p2.
 
Pour la représentation graphique de p1, nous allons tracer la droite d'équation :
y=150x+3000
Choisissons deux A  et  B dont les coordonnées vérifient cette équation.
 
On a :
ABx28y33004200
Donc, la droite passant par A  et  B est la représentation graphique de p1.
 
Pour la représentation graphique de p2, nous allons tracer la droite d'équation :
y=350x
Comme c'est une application linéaire alors, cette droite passe par l'origine O du repère.
 
Choisissons un point C dont les coordonnées vérifient cette équation.
 
On a :
Cx4y1400
Alors, la droite passant par le point C et par l'origine O du repère est la représentation graphique de p2.
 
Echelle : 1cm2h1cm1000F
3) a) Déterminons graphiquement dans quel intervalle de temps l'option I est plus avantageuse que l'option II.
 
En observant le graphique, nous constatons que les représentations de p1  et  p2 se croisent au point D d'abscisse 15.
 
Ainsi, lorsque x est supérieur à 15, la représentation graphique de p1 est en dessous de celle de p2.
 
Ce qui signifie que le prix p1(x) est inférieur au prix p2(x) pour tout x>15h.
 
Par conséquent, l'option I est plus avantageuse que l'option II, lorsque le temps de connexion est supérieur à 15h.
 
D'où, l'intervalle de temps dans lequel l'option I est plus avantageuse que l'option II est donné par :
]15; +[
b) Retrouvons cet intervalle par le calcul.
 
En effet, on sait que l'option I est plus avantageuse que l'option II, lorsque le prix p1(x) est inférieur au prix p2(x).
 
Or, p1(x)<p2(x) si, et seulement si, 150x+3000<350x
 
En résolvant cette inéquation, on obtient :
 
150x+3000<350x150x350x<3000200x<3000x>3000200x>15
 
Donc, p1(x)<p2(x) si, et seulement si, x]15; +[
 
Ce qui signifie que l'intervalle de temps dans lequel l'option I est plus avantageuse que l'option II est :
]15; +[
4) Déterminons le temps de connexion au bout duquel deux clients d'options différentes payeront le même prix.
 
En effet, deux clients d'options différentes payent le même prix si, et seulement si, p1(x)=p2(x).
 
On a : p1(x)=p2(x) si, et seulement si, 150x+3000=350x
 
En résolvant cette inéquation, on obtient :
 
150x+3000=350x150x350x=3000200x=3000x=3000200x=15
 
Donc, x=15
 
Ainsi, au bout de 15h de connexion, deux clients d'options différentes payeront le même prix.
 
Autre méthode :
 
En observant le graphique, nous remarquons que les représentations de p1  et  p2 se coupent au point D d'abscisse 15.
 
Ainsi, lorsque x=15, les prix p1(x)  et  p2(x) sont les mêmes.
 
Ce qui signifie deux clients d'options différentes payeront le même prix, au bout de 15h de connexion.
 
5) Déterminons l'option la plus avantageuse pour 5h de connexion.
 
Pour cela, nous calculons, pour chaque option, le prix à payer, pour 5h de connexion.
 
On a :
 
p1(5)=150×5+3000=750+3000=3750
 
p2(5)=350×5=1750
 
On constate alors que p2(5)<p1(5).
 
D'où, l'option II est plus avantageuse que l'option I, pour 5h de connexion.

Exercice 13 BFEM 2009

Soit l'application affine f définie par f(1)=1  et  f(2)=3
 
1) Montrons que f(x)=2x+1
 
Comme f est une application affine alors, f est de la forme :
f(x)=ax+b
avec a son coefficient et b son ordonnée à l'origine.
 
On a : f(1)=1  et  f(2)=3
 
Alors, le coefficient a est donné par :
 
a=f(2)f(1)21=3(1)1=3+1=2
 
Donc, a=2
 
Ainsi, f(x)=2x+b
 
Pour déterminer b, on calcule f(1).
 
On a : f(1)=2×1+b=2+b
 
Or, f(1)=1 donc, 2+b=1
 
C'est-à-dire ; b=1+2=1
 
Donc, b=1
 
Par suite,
f(x)=2x+1
2) a) Soit a  et  b deux nombres réels distincts. Montrer que f(a)f(b)  et  ab sont de signes contraires.
 
En effet, comme f est une application affine de coefficient 2 alors, pour tout nombres réels a  et  b distincts :
f(a)f(b)ab=2
Or, 2<0 donc, le rapport f(a)f(b)ab<0
 
Par conséquent, f(a)f(b)  et  ab sont de signes contraires.
 
b) En déduisons que f(2)<f(0)  et  f(0)<f(1)
 
En appliquant le résultat de la question 2)a), on a :
 
f(2)f(0)  et  20 sont de signes contraires.
 
Or, 20=2 est positif.
 
Par suite, f(2)f(0) est négatif.
 
Ce qui s'écrit : f(2)f(0)<0
 
D'où, f(2)<f(0)
 
De la même manière, on a :

f(0)f(1)  et  0(1) sont de signes contraires.

Or, 0(1)=0+1=1 est positif. Donc, f(0)f(1) est négatif.
 
Ce qui s'écrit : f(0)f(1)<0
 
Par conséquent, f(0)<f(1)
 
3) Le plan est muni d'un repère orthonormal.
 
(D) est la droite d'équation y=2x+1  et  (D) est la droite d'équation y+x=0.
 
a) Montrons que (D)  et  (D) sont sécantes.
 
En effet, l'équation de droite (D) peut encore s'écrire : y=x.
 
Ainsi :
 
(D) a pour coefficient directeur 2
 
(D) a pour coefficient directeur 1
 
On remarque alors que les droites (D)  et  (D) n'ont pas le même coefficient directeur.
 
Ce qui signifie qu'elles ne sont pas parallèles.
 
Par conséquent, (D)  et  (D) sont sécantes.
 
Par contre, ces deux droites ne sont pas perpendiculaires car, le produit de leur coefficient directeur n'est pas égal à 1.
 
b) Traçons les droites (D)  et  (D)
 
On remarque d'abord que (D) est une représentation d'une application linéaire donc, elle passe par l'origine du repère.
 
Choisissons alors deux points A, B appartenant à (D) et un point C appartenant à (D).
 
Soit :
ABx20y31Cx2y2
Traçons ensuite la droite (D) passant par A, B  et la droite (D) passant par C et par O ; origine du repère.
 
c) Déterminons le point d'intersection de (D)  et  (D).
 
En observant le graphique, nous constatons que les (D)  et  (D) se coupent au point E.
 
Alors, en projetant orthogonalement ce point sur les axes du repère, on trouve les coordonnées de E données par :
E(1; 1)
Autre méthode :
 
On peut aussi trouver les coordonnées du point d'intersection de (D)  et  (D) en résolvant le système d'équations formé des équations de (D)  et  (D).
 
Soit : {y+2x1=0y+x=0
 
Ce qui est équivalent à : {y+2x1=0(1)y=x(2)
 
Alors, dans l'équation (1), en remplaçant y par x, on obtient :
 
y+2x1=0x+2x1=0x1=0x=1
 
Dans l'équation (2), en remplaçant cette valeur de x, on trouve : y=1
 
Ainsi, E(1; 1)
 
d) Résolvons graphiquement le système :
{y+2x1>0y+x<0
Sur le graphique, on constate que le point C(2; 2) n'est pas sur la droite (D) d'équation y+2x1=0.
 
Alors, en remplaçant les coordonnées de C dans l'inéquation y+2x1>0, obtient :
 
2+2×21>0 si, et seulement si, 1>0. Ce qui est toujours vrai.
 
Donc, les coordonnées du point C vérifient l'inéquation : y+2x1>0
 
Ce qui signifie que le point C appartient à la solution de cette inéquation représentée par la partie coloriée en rouge.
 
En observant encore le graphique, nous remarquons que le point B(0; 1) n'est pas sur la droite (D) d'équation y+x=0.
 
En remplaçant alors ses coordonnées dans l'inéquation y+x<0, on a :
 
1+0<0 si, et seulement si, 1<0. Ce qui est impossible.
 
Alors, les coordonnées du point B ne vérifient pas l'inéquation : y+x<0
 
Ce qui signifie que le point B n'appartient pas à la solution de cette inéquation représentée par la partie coloriée en bleu.
 
Par conséquent, la solution du système {y+2x1>0y+x<0 est la partie coloriée à la fois en bleu et en rouge.
 
Elle est donc représentée par le secteur angulaire colorié en violet.
 
Remarque : les demi-droites [EC)  et  [EA) n'appartiennent pas à cette solution.
 
 

Exercice 14 BFEM 2000

u  et  v  sont deux applications définies dans R telles que :
u(x)=|x+2|  et  v(x)=|12x|
1) Montrons que u  et  v sont deux applications affines par intervalle.
 
On a : x+2=0 si, et seulement si, x=2
 
Donc, (x+2) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x2+signe de (x+2)|+u(x)(x+2)0(x+2)
Donc, 
 
  si x]; 2] alors, u(x)=x2
 
  si x[2; +[ alors, u(x)=x+2
 
Ce qui montre que u est une application affine par intervalle.
 
De la même manière, on a : 12x=0 si, et seulement si, 2x=1
 
C'est-à-dire ; x=12=12
 
Dans l'expression (12x), on remarque que le coefficient associé à x est négatif.
 
Donc, (12x) est positif pour tout x<12 et négatif pour x>12.
 
Regroupons ensuite ces informations dans un tableau de signes.
 
On obtient :
x1/2+signe de (12x)+|v(x)(12x)0(12x)
Donc, 
 
  si x]; 12] alors, v(x)=12x
 
  si x[12; +[ alors, v(x)=1+2x
 
Par conséquent, v est une application affine par intervalle.
 
2) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles on a : u(x)=v(x)
 
On a : u(x)=v(x) si, et seulement si, |x+2|=|12x|
 
Alors,
 
|x+2|=|12x|x+2=12x  ou  x+2=(12x)x+2=12x  ou  x+2=1+2xx+2x=12  ou  x2x=123x=1  ou  x=3x=13  ou  x=3
 
Ainsi, |x+2|=|12x| si, et seulement si, x=13  ou  x=3.
 
D'où, les valeurs de x pour lesquelles u(x)=v(x) sont :
13;3
3) Construisons les représentations graphiques de u  et  v dans l'intervalle [2; 12]
 
On remarque que :
[2; 12][2; +[
Donc, dans l'intervalle [2; 12], u(x)=x+2
 
De la même manière, on constate que :
[2; 12]]; 12]
Donc, dans l'intervalle [2; 12], v(x)=12x
 
Nous allons alors représenter les droites :
 
(D) : y=x+2  et  (D) : y=12x dans l'intervalle [2; 12].
 
Choisissons d'abord deux points A, B appartenant à (D) et deux points C, D appartenant à (D).
 
Soit :
ABx20y02CDx120y01
Traçons ensuite la droite (D) passant par A, B  et la droite (D) passant par C, D tout en restant dans l'intervalle [2; 12].
 
 

Exercice 15 BFEM 1992

On considère l'expression littérale
h(x)=(2x3)2+2(2x3)(1+3)+(1+3)2 
1) Montrons que h(x) est le carré d'une expression littérale
 
On constate que h(x) est de la forme :
a2+2ab+b2=(a+b)2
avec a=(2x3)  et  b=(1+3)
 
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
 
h(x)=(2x3)2+2(2x3)(1+3)+(1+3)2=[(2x3)+(1+3)]2=(2x3+1+3)2=(2x+1)2
 
D'où, h(x)=(2x+1)2
 
2) Résolvons dans R l'équation h(x)7=0
 
On a : h(x)7=0 si, et seulement si, (2x+1)27=0
 
Or, on sait que : (2x+1)2=|2x+1|
 
Donc, (2x+1)27=0 si, et seulement si, |2x+1|7=0
 
Alors, en résolvant cette équation, on obtient :
 
|2x+1|7=0|2x+1|=72x+1=7  ou  2x+1=72x=71  ou  2x=712x=6  ou  2x=8x=62  ou  x=82x=3  ou  x=4
 
Ainsi, |2x+1|7=0 si, et seulement si, x=3  ou  x=4
 
Par conséquent, l'équation h(x)7=0 a pour solution dans R :
S={4; 3}
3) Soit l'expression définie par k(x)=h(x)1
 
On a :
 
k(x)=h(x)1=(2x+1)21=|2x+1|1
 
Donc, k(x)=|2x+1|1
 
Écrivons alors k(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
On a : 2x+1=0 si, et seulement si, 2x=1
 
Ce qui donne : x=12
 
Donc, (2x+1) est positif pour tout x>12 et négatif pour x<12.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/2+signe de (2x+1)|+|2x+1|(2x+1)0(2x+1)
Donc,
 
  si x]; 12] alors, k(x)=2x11=2x2
 
  si x[12; +[ alors, k(x)=2x+11=2x
 
a) Déterminons la partie de R sur laquelle k est une application linéaire.
 
On a : k(x)=2x est une application linéaire sur [12; +[.
 
Donc, la partie de R sur laquelle k est une application linéaire est l'intervalle :
[12; +[
b) Déterminons la partie de R sur laquelle k est une application affine.
 
On constate que k(x)=2x2 est une application affine sur ]; 12].
 
Donc, la partie de R sur laquelle k est une application affine est l'intervalle :
]; 12]
c) Représentons graphiquement k dans un repère orthonormal (O; i, j)
 
Pour cela, nous allons représenter les droites :
 
(D) : y=2x2 dans l'intervalle ]; 12]
 
(D) : y=2x dans l'intervalle [12; +[
 
Choisissons deux points A, B appartenant à (D) et un point C(D).
 
Soit :
ABx12y02Cx1y2
Traçons la droite (D) passant par A, B et la droite (D) passant par C et par l'origine O du repère.
 
 

Exercice 16

Soit l'application affine f définie par f(x)=5x+3
 
1) Calculons l'image par f de chacun des nombres suivants : 
3; 12; 9; 0
En effet, pour calculer l'image d'un nombre par l'application affine f, on remplace x par ce nombre, dans l'expression de f(x).
 
On a alors :
 
f(3)=5×(3)+3=15+3=18
 
Ainsi, l'image de 3 par f est égale à 18.
 
f(12)=5×(12)+3=52+3=52+62=12
 
Donc, 12 est l'image de 12 par l'application affine f.
 
f(9)=5×9+3=45+3=42
 
Ainsi, 42 est l'image de 9 par l'application affine f.
 
f(0)=5×0+3=0+3=3
 
D'où, l'image de 0 par l'application affine f est égale à 3.
 
2) Calculons l'antécédent par f de chacun des nombres suivants : 
2; 43; 0; 3
En effet, calculer l'antécédent d'un nombre b revient à trouver un nombre a vérifiant f(a)=b.
 
Pour cela, on doit résoudre l'équation :
f(x)=b
On a alors :
 
f(x)=25x+3=25x=235x=5x=55x=1
 
Donc, l'antécédent par f de 2 est égal à 1.
 
f(x)=435x+3=433×(5x+3)=415x+9=415x=4915x=13x=1315x=1315
 
Ainsi, 1315 est l'antécédent de 43 par l'application affine f.
 
f(x)=05x+3=05x=3x=35x=35
 
Donc, l'antécédent par f de 0 est égal à 35.
 
f(x)=35x+3=35x=33x=335x=335
 
D'où, 335 est l'antécédent de 3 par l'application affine f.

Exercice 17

1) Déterminons l'application affine f de coefficient 2 telle que f(3)=4
 
Comme f est une application affine alors, elle est de la forme :
f(x)=ax+b
Or, son coefficient est égal à 2.
 
Ce qui signifie que : a=2.
 
Donc, f(x)=2x+b
 
Pour déterminer b, on calcule f(3) à partir de cette expression de f(x).
 
On a alors : f(3)=2×3+b=6+b
 
Or, on sait que : f(3)=4
 
Donc, 6+b=4.
 
Ce qui donne : b=4+6=2
 
Par conséquent, f(x)=2x+2
 
2) Déterminons l'application affine g, telle que g(2)=1  et  g(1)=5.
 
Comme g est une application affine alors, g est de la forme :
g(x)=ax+b
avec, a son coefficient et b son ordonnée à l'origine.
 
On a : g(2)=1  et  g(1)=5.
 
Donc, le coefficient a est donné par :
 
a=g(2)g(1)21=151=6
 
Alors, a=6
 
Par suite, g(x)=6x+b
 
Pour déterminer b, on peut calculer g(1)  ou  g(2) à partir de l'expression de g(x).
 
On a : g(2)=6×2+b=12+b
 
Or, g(2)=1 donc, 12+b=1
 
Ce qui donne : b=1+12=11
 
D'où, g(x)=6x+11

Exercice 18

On donne les applications affines f  et  g définies par :
f(x)=2x5  et  g(x)=4x
1) Représentons graphiquement ces deux applications dans un même repère orthonormal.
 
On remarque que g est une application linéaire donc, sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
 
Pour représenter f  et  g, on représente donc les droites :
 
(D) : y=2x5
 
(D) : y=4x
 
Choisissons alors deux points B, C appartenant à (D) et un point E(D).
 
Soit :
BCx21y13Ex14y1
Traçons la droite (D) passant par B, C et la droite (D) passant par E et par l'origine O du repère.
 
 
2) Déterminons graphiquement puis par calcul, les coordonnées de leur point d'intersection A.
 
En effet, à partir du point A, en projetant orthogonalement sur les axes du repère, on trouve les coordonnées de A ; point d'intersection des droites (D)  et  (D).
 
Ainsi,
 
l'abscisse de A est égale à : 52
 
l'ordonnée de A est égale à : 10
 
D'où, A(52; 10)
 
Pour trouver, par le calcul, les coordonnées de A ; point d'intersection des droites (D)  et  (D), nous résolvons le système d'équations formées des équations de (D)  et  (D).
 
Soit : {y=2x5(1)y=4x(2)
 
En utilisant la méthode de comparaison, on a :
 
L'équation (1) est égale à l'équation (2) si, et seulement si, 2x5=4x
 
Alors, en résolvant cette équation, on obtient :
 
2x5=4x2x4x=52x=5x=52
 
Donc, x=52
 
En remplaçant cette valeur de x dans l'équation (2), on trouve :
 
y=4×(52)=202=10
 
Ainsi, y=10
 
D'où, A(52; 10)

Exercice 19

1) Déterminons l'application affine f, telle que sa représentation graphique (D) passe par les points A(1; 3)  et  B(1; 2).
 
Comme f est une application affine alors, elle est de la forme :
f(x)=ax+b
avec a son coefficient et b son ordonnée à l'origine.
 
Comme la représentation graphique de f passe par le point A(1; 3) alors, cela signifie que l'image de 1 par f est égale à 3.
 
Ce qui s'écrit : f(1)=3
 
Aussi, comme la représentation graphique de f passe par le point B(1; 2) alors, cela signifie que l'image de 1 par f est égale à 2.
 
Ce qui s'écrit : f(1)=2
 
Par suite, le coefficient a est donné par :
 
a=f(1)f(1)1(1)=3(2)1+1=3+22=52
 
Donc, a=52
 
Ainsi, f(x)=52x+b
 
Déterminons b en calculant f(1) avec l'expression de f(x).
 
On a : f(1)=52×1+b=52+b
 
Or, f(1)=3
 
Donc, 52+b=3
 
C'est-à-dire : b=352=6252
 
Ce qui donne : b=12
 
Par conséquent, l'application affine f est donnée par :
f(x)=52x+12
2) Déterminons l'équation de la droite (Δ) passant par le point C(2; 1) et parallèle à (D).
 
En effet, l'équation de (Δ) est application affine et est donc de la forme :
y=ax+b
Comme (Δ) est parallèle à (D) alors, les deux droites ont même coefficient directeur.
 
Donc, a=52
 
Ainsi, y=52+b
 
Par ailleurs, (Δ) passe par le point C(2; 1).
 
Ce qui signifie que les coordonnées de C vérifient l'équation de la droite (Δ).
 
Donc, en remplaçant les coordonnées de C dans l'équation de (Δ), on trouve b.
 
On a : 1=52×2+b
 
C'est-à-dire ; 1=5+b
 
Ce qui entraine : b=15=6
 
D'où, l'équation de la droite (Δ) est donnée par :
y=52x6
3) Déterminons l'équation de la droite (L) passant par le point E(0; 4) et perpendiculaire à (D).
 
En effet, l'équation de la droite (L) est application affine.
 
Donc, elle est de la forme :
y=ax+b
Comme les droites (L)  et  (D) sont perpendiculaires alors, le produit de leur coefficient directeur est égal à 1.
 
Ce qui signifie : a×52=1
 
Donc, 5a=2
 
Par suite, a=25
 
Ainsi, y=25x+b
 
Par ailleurs, (L) passe par le point E(0; 4).
 
Ce qui signifie que les coordonnées de E vérifient l'équation de la droite (L).
 
Donc, en remplaçant les coordonnées de E dans l'équation de (L), on trouve b.
 
On a : 4=25×0+b
 
Ce qui donne : b=4
 
Ainsi, l'équation de la droite (L) est donnée par :
y=25x+4
 

Exercice 20

On donne l'expression suivante : 
f(x)=x+1+(2x3)2
1) Calculons f(0)  et  f(1).
 
En remplaçant x par 0, dans l'expression de f(x), on a :
 
f(0)=0+1+(2×03)2=1+(03)2=1+(3)2=1+|3|=1+3=4
 
Donc, f(0)=4
 
En remplaçant x par 1, dans l'expression de f(x), on obtient :
 
f(1)=1+1+(2×(1)3)2=0+(23)2=(5)2=|5|=5
 
Ainsi, f(1)=5
 
2) Montrons que f est une application affine par intervalles.
 
En effet, on a : f(x)=x+1+(2x3)2
 
Or, on sait que : (2x3)2=|2x3|
 
Donc, f(x)=x+1+|2x3|
 
Écrivons alors f(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
On a : 2x3=0 si, et seulement si, 2x=3
 
Ce qui donne : x=32
 
Donc, (2x3) est positif pour tout x>32 et négatif pour x<32.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x3/2+signe de (2x3)|+|2x3|(2x3)0(2x3)
Donc, 
 
  si x]; 32] alors, |2x3|=2x+3
 
  si x[32; +[ alors, |2x3|=2x3
 
Par conséquent :
 
f(x)=x+12x+3=x+4 dans l'intervalle ]; 32]
 
f(x)=x+1+2x3=3x2 dans l'intervalle [32; +[
 
Ce qui montre que f est une application affine par intervalle.
 
3) Représentons graphiquement l'application f dans un repère orthonormal.
 
Pour cela, nous allons représenter les droites :
 
(D) : y=x+4 dans l'intervalle ]; 32]
 
(D) : y=3x2 dans l'intervalle [32; +[
 
Choisissons deux points A, B appartenant à (D) et deux points C, D appartenant à (D).
 
Soit :
ABx01y43CDx23y47
Traçons la droite (D) passant par A, B et la droite (D) passant par C, D.
 
 
4) Résolvons dans R chacune des équations suivantes : f(x)=x; f(x)=x+2.
 
Soit : f(x)=x+1+|2x3|
 
Alors, on a : f(x)=x si, et seulement si, x+1+|2x3|=x
 
C'est-à-dire ; x+x+|2x3|=1
 
Ce qui donne : |2x3|=1
 
Ce qui est impossible car, la valeur absolue d'un nombre n'est jamais négative.
 
Donc, il n'existe pas de nombre réel x vérifiant |2x3|=1.
 
Par conséquent, l'équation f(x)=x n'admet pas de solution dans R.
 
D'où,
S=
On a : f(x)=x+2 si, et seulement si, x+1+|2x3|=x+2
 
Donc, x+x+|2x3|=21
 
Ce qui donne : f(x)=x+2 si, et seulement si, |2x3|=1
 
Ainsi, en résolvant l'équation |2x3|=1, on obtient :
 
|2x3|=12x3=1  ou  2x3=12x=1+3  ou  2x=1+32x=4  ou  2x=2x=42  ou  x=22x=2  ou  x=1
 
Donc, x+1+|2x3|=x+2 si, et seulement si, x=2  ou  x=1.
 
D'où, l'équation f(x)=x+2 a pour solution, dans R :
S{1; 2}

Exercice 21 (BFEM Octobre 2012)

Pour financer une sortie pédagogique, une école décide de vendre les tomates de son jardin.
 
Le client paye en plus de la quantité de tomates achetée une somme forfaitaire fixe pour le transport.
 
Un commerçant qui a acheté 300kg a versé au gestionnaire une somme totale de 125000F.
 
Un membre de l'association des parents d'élèves a acheté 100kg et a payé 45000F.
 
Calculons le prix d'un kilogramme de tomates et la somme forfaitaire allouée au transport.
 
Appelons x le prix d'un kilogramme de tomates et y la somme forfaitaire allouée au transport.
 
Comme le commerçant a acheté 300kg alors, il doit payer : 300×x+y
 
Or, on sait que ce commerçant à versé au gestionnaire une somme totale de 125000F.
 
Ce qui signifie :
300x+y=125000(équation 1)
Par ailleurs, un membre de l'association des parents d'élèves a acheté 100kg.
 
Donc, il doit payer : 100×x+y
 
Comme ce membre de l'association a versé 45000F alors, cela signifie :
100x+y=45000(équation 2)
Considérons alors le système d'équations suivant, formé des équations (1)  et  (2) :
{300x+y=125000(1)100x+y=45000(2)
En multipliant l'équation (2) par 1, on obtient :
100xy=45000(équation 3)
En additionnant membre à membre les équations (1)  et  (3), on trouve :
 
300x+y100xy=12500045000200x=80000x=80000200x=400
 
Donc, x=400
 
Ensuite, en remplaçant cette valeur de x dans l'équation (1), on obtient :
 
300×400+y=125000120000+y=125000y=125000120000y=5000
 
Alors, y=5000
 
Ainsi, le prix d'un kilogramme de tomates est égal à 400F et la somme forfaitaire allouée au transport est de 5000F.

Exercice 22

Un fournisseur d'accès à Internet propose à ses clients 3 formules d'abonnement :
 
  Une formule A comportant un abonnement fixe de 12000F par mois auquel s'ajoute le prix des communications au tarif préférentiel de 100F de l'heure.
 
  Une formule B offrant un libre accès à Internet mais pour laquelle le prix des communications est de 250F pour une heure de connexion.
 
  Une formule C offrant un libre accès à Internet et comportant une carte d'abonnement annuel de 25000F.
 
Dans les deux premiers cas, les communications sont facturées proportionnellement au temps de connexion.
 
1) Reproduisons et complétons le tableau suivant :
Nombred'heures de6080connexionPrix à payerFormule A1800020000Prix à payerFormule B1500020000Prix à payerFormule C2500025000
2) Pierre se connecte 60 heures par mois et Fatou 80 heures par mois. 
 
Déterminons la formule la plus avantageuse pour chacune de ces personnes.
 
En observant le tableau ci-dessus, nous constatons que, pour 60 heures de connexion, le prix à payer pour la formule B est moins élevé par rapport au prix des formules A  et  C.
 
Par conséquent, la formule B est la plus avantageuse pour Pierre.
 
D'après le tableau ci-dessus, nous remarquons que, pour 60 heures de connexion, les prix à payer pour les formules A  et  B sont les mêmes et sont moins élevés que le prix associé à la formule C.
 
Donc, la formule A ou la formule B est la plus avantageuse pour Fatou.
 
3) On note x le temps de connexion d'un client, exprimé en heures.
 
On appelle PA le prix à payer en FCFA avec la formule A, PB le prix à payer en FCFA avec la formule B  et  PC le prix à payer en FCFA avec la formule C.
 
Exprimons PA, PB  et  PC en fonction de x.
 
On sait que :
 
pour la formule A, on doit payer un abonnement fixe de 12000F par mois et en plus 100F pour chaque heure de communication.
 
Donc, pour x heures de communication, le prix PA à payer est donné par :
PA=12000+100×x=12000+100x
la formule B consiste à payer 250F pour chaque heure de communication.
 
Ainsi, pour x heures de communication, le prix PB à payer est donné par :
PB=250×x=250x
pour la formule C, on doit payer uniquement une carte d'abonnement annuel de 25000F.
 
Donc, pour x heures de communication, le prix PC à payer est donné par :
PC=25000
4) Dans un repère orthogonal traçons :
 
a) la droite (D1), représentation graphique de la fonction
f : x100x+12000
Soit alors (D1) d'équation : y=100x+12000
 
Choisissons deux points E  et  F appartenant à (D1).
 
Soit :
EFx1020y1300014000
(D1) est donc la droite passant par E  et  F
 
b) la droite (D2), représentation graphique de la fonction
g : x250x
On remarque que g est une application linéaire.
 
Donc, (D2) d'équation : y=250x est une droite passant par l'origine O du repère.
 
Choisissons alors un point G et appartenant à (D2).
 
Soit :
Gx40y10000
(D2) est donc la droite passant par G et par l'origine du repère.
 
c) la droite (D3), représentation graphique de la fonction
h : x25000
Choisissons un point H et appartenant à (D3).
 
Soit :
Hx0y25000
(D3) est donc la droite passant par H et parallèle à l'axe des abscisses.
 
Echelle : 1cm10h1cm5000F
Remarque :
 
(D1) est la représentation graphique du prix à payer pour la formule A.
 
(D2) est la représentation graphique du prix à payer pour la formule B.
 
(D3) est la représentation graphique du prix à payer pour la formule C.
 
5) Moïse, qui a choisi la formule A a payé 20000F.
 
a) Déterminons graphiquement le temps pendant lequel il s'est connecté.
 
Pour cela, on marque la valeur 20000 sur l'axe des ordonnées puis, à partir de cette valeur on projette sur la droite (D1), parallèlement à l'axe des abscisses.
 
On obtient alors le point N d'abscisse 80.
 
Ce qui signifie que 20000F correspond à 80h de connexion avec la formule A.
 
Par conséquent, Moïse s'est connecté pendant 80 heures.
 
b) Vérifions le résultat par le calcul.
 
Dans l'expression de PA, en remplaçant PA par 20000, on trouve :
20000=12000+100x
En résolvant cette équation, on obtient :
 
20000=12000+100x100x=1200020000100x=8000x=8000100x=80
 
Donc, x=80h
 
D'où, le temps pendant lequel Moïse s'est connecté est égal à 80 heures.
 
6) a) Résolvons dans R l'inéquation :
250x100x+12000
On a :
 
250x100x+12000250x100x12000150x12000x12000150x80x]; 80]
 
Comme x représente le temps de connexion alors, x est positif.
 
Par conséquent, l'inéquation 250x100x+12000 a pour solution :
S=[0; 80]
b) Interprétons le résultat obtenu.
 
En effet, en observant l'inéquation 250x100x+12000, on constate que le membre de gauche représente le prix PB et le membre de droite le prix PA.
 
Ainsi, le résultat de la question 2)a) signifie que le prix PB est inférieur ou égal au prix PA lorsque le temps de connexion est inférieur ou égal à 80 heures.
 
Ce qui veut dire que :
 
pour un temps de connexion inférieur à 80h, la formule B est plus avantageuse que la formule A ;
 
pour un temps de connexion égal à 80h les prix à payer sont les même pour les formules A  et  B.
 
7) Déterminons graphiquement à partir de quelle durée de connexion par mois la formule C est plus avantageuse que les deux autres.
 
Sur le graphique, nous constatons que les représentations graphiques des prix PA  et  PC se coupent au point M d'abscisse 130.
 
Ainsi, lorsque x130, la représentation graphique du prix PC est en dessous de celles des deux autres.
 
Ce qui signifie qu'à partir de 130 heures de connexion par mois, la formule C est plus avantageuse que les deux autres.

Exercice de Synthèse

I. On pose q(x)=|3x2|.
 
1) Montrons que q est une application affine par intervalles.
 
Étudions alors le signe de (3x2).
 
On a : 3x2=0 si, et seulement si, 3x=2
 
Ce qui donne : x=23
 
Donc, (3x2) est positif pour tout x>23 et négatif pour x<23.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x2/3+signe de (3x2)|+q(x)(3x2)0(3x2)
Donc, 
 
  si x]; 23] alors, q(x)=3x+2
 
  si x[23; +[ alors, q(x)=3x2
 
Ce qui montre que q est une application affine par intervalle.
 
2) Représentons graphiquement q dans un repère orthonormal.
 
Cela revient donc à représenter les droites :
 
(D) : y=3x+2 dans l'intervalle ]; 23]
 
(D) : y=3x2 dans l'intervalle [23; +[
 
Choisissons deux points A, B appartenant à (D) et deux points C, D appartenant à (D).
 
Soit :
ABx01y25CDx12y14
Traçons la droite (D) passant par A, B et la droite (D) passant par C, D.
 
 

II. Un commerçant fixe le prix de vente de chacun de ses articles en prévoyant un bénéfice de 25 pour cent.
 
Soit x le prix d'achat d'un article et p son prix de vente.
 
1) Justifions que :
p=54x
En effet, le commerçant prévoit un bénéfice de 25 pour cent pour chaque article. Cela signifie que ce bénéfice représente 25100 du prix d'achat de l'article considéré.
 
Soit x le prix d'achat d'un article et B le bénéfice réalisé sur cet article.
 
Alors, on a : B=25100x
 
Par suite,
 
p=x+B=x+25100x=x+1×254×25x=x+14x=44x+14x=54x
 
D'où, p=54x
 
2) Calculons le prix de vente d'un article acheté à 400 F.
 
On a : p=54x avec, x=400 F.
 
Donc,
 
p=54×400=5×4004=500
 
Ainsi, p=500 F
 
3) Calculons le prix d'achat d'un article vendu à 1250 F.
 
Comme p=54x alors, 4p=5x
 
Ce qui donne : x=45p
 
Donc, si p=1250 F alors,
 
x=45×1200=4×12005=960
 
D'où, x=960 F
 
4) Représentons graphiquement dans un repère orthonormal (O, i, j), l'application qui à x associe p.
 
Soit p=54x
 
p est une application linéaire de coefficient linéaire 54.
 
Donc, représenter p revient à tracer droite passant par O origine du repère et par le point A(400; 500)
 
Échelle : 1cm  100 F
5) Déterminons graphiquement le prix d'achat d'un article vendu à 750 F.
 
Pour se faire, on projette cette valeur de p sur la courbe parallèlement à l'axe des abscisses et à partir de la courbe on procède à une deuxième projection sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées.
 
Cela correspond alors à 600.
 
Par conséquent, le prix d'achat d'un article vendu à 750 F est de 600 F.
 
III. Une fonction affine f définie, pour tout nombre x, par 
f(x)=ax+b
On donne : f(1)=4  et  f(3)=6.
 
1) Déterminons a  et  b
 
On a : f(1)=4  et  f(3)=6.
 
Donc, le coefficient a de f est donné par :
 
a=f(3)f(1)3(1)=643+1=24=12
 
Ainsi, f(x)=12x+b
 
Comme f(1)=4 alors, on a : 12×(1)+b=4
 
C'est-à-dire ; b=4+12=92
 
D'où, f(x)=12x+92
 
2) Soit g(x)=2x+9. 
 
Les représentations graphiques de f(x)  et  g(x) sont perpendiculaires.
 
Justifions.
 
En effet, les applications f  et  g ont pour coefficients respectifs : 12  et  2.
 
Alors, le produit de ces deux coefficient donne :
12×(2)=22=1
Par conséquent, les représentations graphiques de f  et  g sont perpendiculaires.
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Bonsoir pourais-je avoir les corrections des exercices 13 et 15

J'en né besoin pour faire quelques exercice

La suite des corrections vous êtes formidable vous nous aidez beaucoup

ttes mes félicitations, travail exceptionnel

Je pourrais avoir les corrections des exos de sythèse s'il vous plait. Merci!

Je pourrai avoir le correction du BFM 1992

Je pourrai avoir le correction du BFM MATHS 1992

Je pourrai avoir le correction du BFM 1992

Je pourrai avoir le correction du BFM 1992

Je pourrai avoir le correction du BFM 1992

Pourrai je avoir la correction de l exercice numéro 8

Correction des exo svp

Ce n'est pas svp c'est svt

Correction des autres exercices!

Pourrai je avoir la correction de l'exercice 24

Correction exercice 12

Slt je pourrais avoir le BFEM2004

Pourrais avoir le corrigé de 2012

Bonjour pourrais avoir la correction de l’exercice 5

Ajouter un commentaire