Les triangles - 5e

Classe: 
Cinquième
 

I. Définition et construction

Un triangle est une figure géométrique qui a trois côtés donc, trois sommets et trois angles.
 
Construisons un triangle quelconque $ABC$ tel que :
$$AB=6\;cm\;;\quad BC=3\;cm\;;\quad\text{et}\quad AC=5\;cm$$

 

 
$\centerdot\ \ [AB]\;,\ [BC]\;,\ [AC]$ sont les côtés du triangle.
 
$\centerdot\ \ A\;,\ B\;,\ C$ sont les sommets du triangle
 
$\centerdot\ \ \widehat{BAC}\;,\ \widehat{CBA}\;,\ \widehat{ACB}$ sont les angles

Application

Construis un triangle $MNS$ tel que :
$$MN=6\;cm\;;\quad \widehat{MNS}=63^{\circ}\;;\quad\text{et}\quad \widehat{SMN}=47^{\circ}$$
Déterminez $\ \widehat{MSN}$

Solution


 
On sait que la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à $180^{\circ}.$
 
Donc, $\widehat{MSN}+\widehat{MNS}+\widehat{SMN}=180^{\circ}$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl}\widehat{MSN}&=&180^{\circ}-(\widehat{MNS}+\widehat{SMN})\\\\&=&180^{\circ}-(63^{\circ}+47^{\circ})\\\\&=&180^{\circ}-110^{\circ}\\\\&=&70^{\circ}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\widehat{MSN}=70^{\circ}}$

$\centerdot\ \ $ Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle de $90^{\circ}.$
 
Exemple
 
Construisons un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que :
$$AB=3\;cm\ \text{ et }\ AC=4\;cm$$
 

$\centerdot\ \ $ Triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.
 
Exemple
 
Construisons un triangle $IJK$ isocèle en $I$ tel que :
$$IJ=IK=3\;cm\ \text{ et }\ \widehat{I}=80^{\circ}$$
 

$\centerdot\ \ $ Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.
 
Exemple
 
Construisons un triangle équilatéral $MNP$ tel que : $MN=3\;cm$
 

II. Propriétés

$-\ \ $ Pour tout triangle, la somme de ses angles fait $180^{\circ}.$
 
D'après l'application précédente, on a :
$$mes(\widehat{NMS})+mes(\widehat{SNM})+mes(\widehat{MSN})=180^{\circ}$$
c'est-à-dire ; $47^{\circ}+63^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}$
 
$-\ \ $ Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
 
$-\ \ $ Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont de même mesure.
 
$-\ \ $ Un triangle équilatéral a trois angles internes qui ont la même mesure de $60^{\circ}$

III. Les droites remarquables dans un triangle

III.1. La médiatrice

La médiatrice d'un côté d'un triangle, c'est la droite passant par le milieu de celui-ci et qui lui est perpendiculaire.
 
Remarque
 
Tout triangle possède trois médiatrices qui se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

 

 
$O$ est le centre du cercle circonscrit

III.2. La bissectrice

Dans un triangle, on appelle bissectrice d'un angle toute droite passant par le sommet de celui-ci et qui le partage en deux angles de même mesure.
 
Remarque
 
Tout triangle possède trois bissectrices qui sont concourantes en un même point appelé centre du cercle inscrit dans ce triangle.

Application

1) Construis un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=5\;cm\;;\quad BC=4\;cm\;;\quad\text{et}\quad AC=6\;cm$$
2) Tracez les bissectrices des angles $\widehat{A}\;,\ \widehat{B}\;,\ \widehat{C}$ se coupant en $I.$
 
3) Comment appelle-t-on le point $I.$

 

 
$I$ est le centre du cercle inscrit

III.3. La hauteur

Dans un triangle, on appelle hauteur la droite issue d'un sommet de ce triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé de ce sommet.
 
Remarque
 
Tout triangle possède trois hauteurs qui sont concourantes en un même point appelé orthocentre.
 
Exemple

 

 

Application

1) Construire un triangle $MNO$ tel que :
$$\widehat{MNO}=125^{\circ}\;;\quad \widehat{MON}=25^{\circ}\;;\quad\text{et}\quad \widehat{NMO}=30^{\circ}$$
2) Préciser l'orthocentre $I$

Solution


 

 
Remarque
 
$-\ \ $ L'orthocentre peut ne pas être à l'intérieur du triangle
 
$-\ \ $ Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ alors :
 
$\cdot\ $ l'orthocentre est le point $A$
 
$\cdot\ $ le côté le plus long, $BC$ est appelé hypoténuse
 
$\cdot\ $ le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse

III.4. La médiane

Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
 
Remarque
 
$-\ \ $ Tout triangle possède trois médianes qui sont concourantes en un même point appelé centre de gravité.
 
$-\ \ $ Le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

Application

1) Construire un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=5\;cm\;;\quad BC=3\;cm\;;\quad\text{et}\quad AC=4\;cm$$
2) Tracer les trois médianes puis placer le centre de gravité $G$ de ce triangle

Solution

 
 
 
Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

lun, 11/22/2021 - 13:12

Pdf

Bernadette Beya (non vérifié)

mer, 03/02/2022 - 18:04

C'est très bien ça

Anonyme (non vérifié)

lun, 11/22/2021 - 13:12

Pdf

Anonyme (non vérifié)

mer, 01/19/2022 - 07:45

c est tres bien fait!

Ndeye fatou ndiaye (non vérifié)

jeu, 04/28/2022 - 23:58

Merci beaucoup c intéressant

Seynabou kama (non vérifié)

lun, 05/16/2022 - 21:58

Genial

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