Les angles - T S1

I Angles orientés de demi-droites

Soient [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) deux demi-droites de même origine OO. L'angle orienté de demi-droites (^[Ox), [Oy))(ˆ[Ox), [Oy)) est l'angle qui a pour sommet OO, pour origine [Ox)[Ox) et pour extrémité [Oy).[Oy).
 

 

 

II Angles orientés de vecteurs

   II.1 Définitions

Soient uu et vv deux vecteurs, OO un point du plan, [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) deux demi-droites tels que uu soit un vecteur directeur de [Ox)[Ox) et vv celui de [Oy)[Oy). L'angle orienté des vecteurs uu et vv est noté (u, v)=(^[Ox), [Oy))(u, v)=(ˆ[Ox), [Oy))

 

 

   II.2 Propriétés

   (u, v)=(v, u) (2π)
 
   (ku, kv)=(u, v)(2π)k0
 
   (ku, v)={(u, v) (2π) si k>0π+(u, v) (2π) si k<0
 
   (u, v)+(v, w)=(u, w) (2π)
 
   u1u2  et   v1v2  alors,  (u1, v1)=(u2, v2) (π)

 

 

III Angles orientés de droites

   III.1 Définitions

Soient deux droites D1  et  D2 de vecteurs directeurs respectifs u1  et  u2. L'angle orienté de droites  u1  et  u2 noté (^(D1), (D2))=(u1, u2) (π)

 

 

   III.2 Bissectrices

Soient D1  et  D2 telles que D1D2={I}.
 
Une bissectrice de (D1, D2) est l'ensemble des points équidistants de D1  et  D2. C'est aussi l'ensemble des points M tels que (D1, IM)=(IM, D2). On a deux bissectrices qui sont perpendiculaires.

 


 

IV Cocyclicité

Soit C un cercle de centre O, A  et  B deux points de C  et  T la tangente en A  à  C. On a :
 
(MA, MB) est un angle inscrit qui intercepte l'arc AB.
 
(OA, OB) est un angle au centre qui intercepte l'arc AB.
 
(MA, MB)=12(OA, OB) (2π)=(AT1, AB)T1T.

 

 
 

  Théorème

   si M  et  N C alors (MA, MB)=(NA, NB) (π)
   si (MA, MB)  et  (NA, NB) interceptent le même arc alors (MA, MB)=(NA, NB) (2π)
   Les points A, B; C  et  D sont cocycliques (appartiennent à un même cercle C) ou alignés si, et seulement si, (BC,BD)=(CA, CD) (π)
Auteur: 
Seyni Ndiaye & Diny Faye

Commentaires

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