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Équation et Inéquation à une seule inconnue 3e

Classe:

Troisième

I. Équation

I.1 Équation produit ou équation de la forme $(ax+b)(cx+d)=0$

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante : un produit de facteurs est nul si l'un de ses facteurs est nul.

On a : $$XY=0\;\text{ si, et seulement si, }X=0\text{ ou }Y=0$$

Exemple 1 :

Résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ (4x-5)(-3x+7)=0$

On aura : $4x-5=0\;\text{ ou }\;-3x+7=0$

Alors, $4x=5\;\text{ ou }\;-3x=-7$

Donc, $x=\dfrac{5}{4}\;\text{ ou }\;x=\dfrac{-7}{-3}=\dfrac{7}{3}$

D'où $$S=\left\lbrace\dfrac{5}{4}\;;\ \dfrac{7}{3}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ \left(\dfrac{2}{3}x-4\right)\left(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{4}\right)=0$

On aura : $\dfrac{2}{3}x-5=0\;\text{ ou }\;\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{4}=0$

Alors, $\dfrac{2}{3}x=4\;\text{ ou }\;\dfrac{3}{2}x=-\dfrac{5}{4}$

Donc, $x=4\times\dfrac{3}{2}=6\;\text{ ou }\;x=\dfrac{-5}{-4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{-5}{6}$

D'où $$S=\left\lbrace\dfrac{-5}{6}\;;\ 6\right\rbrace$$

Exemple 2 :

Certaines équations n'étant pas présentées initialement sous la forme d'équation produit peuvent l'être par la suite par une simple utilisation des techniques de la factorisation.

Résolvons les équations suivantes :

$\centerdot\ \ 4x^{2}=9$

On aura : $(2x-3)(2x+3)=0$

Alors, $2x-3=0$ ou $2x+3=0$

Donc, $2x=3$ ou $2x=-3$

Par suite, $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$

D'où $$S=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ (3x-2)^{2}=(-2x+3)^{2}$

On aura : $(3x-2)^{2}-(-2x+3)^{2}=0$

Alors, $[(3x-2)-(-2x+3)][(3x-2)+(-2x+3)]=0$

Donc, $(5x-5)(x+1)=0$

Par suite, $5x-5=0$ ou $x+1=0$

Ainsi, $x=\dfrac{5}{5}=1$ ou $x=-1$

D'où $$S=\left\lbrace -1\;;\ 1\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ (3x-2)^{2}+(3x-2)(x+3)+(3x-2)=0$

On aura : $(3x-2)[(3x-2)+(x+3)+1]=0$

Alors, $(3x-2)(4x+2)=0$

Donc, $3x-2=0$ ou $4x+2=0$

Ainsi, $x=\dfrac{2}{3}$ ou $x=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

D'où $$S=\left\lbrace -\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{2}{3}\right\rbrace$$

I.2 Équation du type $|ax+b|=c$ avec $c\geq 0$

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante :

$$|X|=Y\; \text{ avec }\;Y\geq 0\;\text{ si, et seulement si, }\;X=Y\;\text{ ou }\;X=-Y$$

Exemple 1 : résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ |3x-5|=7$

On aura : $3x-5=7$ ou $3x-5=-7$

Alors, $3x=12$ ou $3x=-2$

Donc, $x=\dfrac{12}{3}=4$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$

D'où $$S=\left\lbrace -\dfrac{2}{3}\;;\ 4\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ \left|-\dfrac{2}{3}x+5\right|=3$

On aura : $-\dfrac{2}{3}x+5=3$ ou $-\dfrac{2}{3}x+5=-3$

Alors, $-\dfrac{2}{3}x=-2$ ou $-\dfrac{2}{3}x=-8$

Donc, $x=(-2)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=3$ ou $x=(-8)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=12$

D'où $$S=\left\lbrace 3\;;\ 12\right\rbrace$$

Exemple 2 : certaines équations n'étant pas présentées sous la forme $|ax+b|=c$ peuvent l'être par la suite, par une utilisation double des deux propriétés suivantes :

$$\text{si }\;\left\lbrace\begin{array}{lll} a &\geq & 0\\ b &\geq & 0\\ a & = & b \end{array}\right.\; \text{alors }\;\sqrt{a}=\sqrt{b}\quad\text{ et }\quad\sqrt{X^{2}}=|X|$$

Résolvons les équations suivantes :

$\centerdot\ \ 4x^{2}-9=0$

On aura : $4x^{2}=9$

Alors, $x^{2}=\dfrac{9}{4}$

Donc, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}$

Par suite $|x|=\dfrac{3}{2}$

Ainsi, $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$

D'où $$S=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ 3(2x+6)^{2}=108$

On aura : $(2x+6)^{2}=\dfrac{108}{3}$

Alors, $\sqrt{(2x+6)^{2}}=\sqrt{36}$

Donc, $|2x+6|=6$

Par suite $2x+6=6$ ou $2x+6=-6$

Ainsi, $x=0$ ou $x=-6$

D'où $$S=\left\lbrace -6\;;\ 0\right\rbrace$$

Remarques :

Si $c<0$ l'équation $|ax+b|=c$ n'admet pas de solutions (car une valeur absolue n'est jamais négative).

On écrira $$S=\emptyset$$

I.3 Équation du type $|ax+b|=|cx+d|$

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante :

$$|X|=|Y|\;\text{ si, et seulement si, }\;X=Y\;\text{ ou }\;X=-Y$$

Exemple 1 : résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ |2x-3|=|-3x+7|$

On aura : $2x-3=-3x+7$ ou $2x-3=3x-7$

Alors, $5x=10$ ou $-x=-4$

Donc, $x=2$ ou $x=4$

D'où $$S=\left\lbrace 2\;;\ 4\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ 2\left|\dfrac{3}{2}x+5\right|=3\left|\dfrac{2}{3}x-4\right|$

On aura : $2\left(\dfrac{3}{2}x+5\right)=3\left(\dfrac{2}{3}x-4\right)$ ou $2\left(\dfrac{3}{2}x+5\right)=-3\left(\dfrac{2}{3}x-4\right)$

Alors, $3x+10=2x-12$ ou $3x+10=-2x+12$

Donc, $x=-22$ ou $5x=2$

Ainsi, $x=-22$ ou $x=\dfrac{2}{5}$

D'où $$S=\left\lbrace -22\;;\ \dfrac{2}{5}\right\rbrace$$

Exemple 2 : certaines équations n'étant pas présentées sous la forme $|ax+b|=|cx+d|$ peuvent l'être par la suite, par une simple utilisation des deux propriétés suivantes

$$\text{si }\;\left\lbrace\begin{array}{lll} a &\geq & 0\\ b &\geq & 0\\ a & = & b \end{array}\right.\; \text{alors }\;\sqrt{a}=\sqrt{b}\quad\text{ et }\quad\sqrt{X^{2}}=|X|$$

Résolvons les équations suivantes :

$\centerdot\ \ (3x-5)^{2}=(-2x+7)^{2}$

On aura : $\sqrt{(3x-5)^{2}}=\sqrt{(-2x+7)^{2}}$

Alors, $|3x-5|=|-2x+7|$

Donc $3x-5=-2x+7$ ou $3x-5=2x-7$

Par suite $5x=12$ ou $x=-2$

Ainsi, $x=\dfrac{12}{5}$ ou $x=-2$

D'où $$S=\left\lbrace -2\;;\ \dfrac{12}{5}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ 4(3x-2)^{2}=9(2x+3)^{2}$

On aura : $\sqrt{4(3x-2)^{2}}=\sqrt{9(2x+3)^{2}}$

Alors, $2|3x-2|=3|2x+3|$

Donc $2(3x-2)=3(2x+3)$ ou $2(3x-2)=3(-2x-3)$

Par suite $6x-4=6x+9$ ou $6x-4=-6x-9$

Ainsi, $0=13\;\text{ (impossible) }$ ou $12x=-5$

Ce qui donne $x=-\dfrac{5}{12}$

D'où $$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{12}\right\rbrace$$

I.4 Équation faisant intervenir des quotients

La résolution de ce type d'équation s'appuie tout d'abord sur une étude de la condition d'existence de l'équation et dans le cas où la condition d'existence est posée on procède tout simplement à une réduction au même dénominateur et par suite à une élimination des dénominateurs.

Sera solution toute valeur trouvée et différente des valeurs posées au niveau de la condition d'existence.

Exemple : résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ \dfrac{2x-3}{3x-2}=0$

L'équation existe si, et seulement si, $3x-2\neq 0$ c'est à dire $x\neq\dfrac{2}{3}.$

Pour $x\neq\dfrac{2}{3}$, l'équation devient $2x-3=0$ c'est à dire $x=\dfrac{3}{2}$

D'où $$S=\left\lbrace \dfrac{3}{2}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ \dfrac{3x-2}{2x-3}=\dfrac{1}{2}$

l'équation existe si, et seulement si, $2x-3\neq 0$ c'est à dire $x\neq\dfrac{3}{2}.$

Pour $x\neq\dfrac{3}{2}$, l'équation devient

$\begin{array}{rcl} 6x-4 & = & 2x-3 \\ \\ 4x & = & 1\\ \\ x & = & \dfrac{1}{4} \end{array}$

D'où $$S=\left\lbrace \dfrac{1}{4}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ \dfrac{3}{3x-2}+\dfrac{2}{2x-3}=0$

L'équation existe si, et seulement si, $3x-2\neq 0$ et $2x-3\neq 0$ c'est à dire $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq\dfrac{3}{2}$

Pour $x\neq\dfrac{2}{3}$ et $x\neq\dfrac{3}{2}$, l'équation devient

$\begin{array}{rcl} 3(2x-3)+2(3x-2) & = & 0 \\ \\ 6x-9+6x-4 & = & 0\\ \\ 12x & = & 13 \\ \\ x & = & \dfrac{13}{12} \end{array}$

D'où $$S=\left\lbrace \dfrac{13}{12}\right\rbrace$$

II Inéquation

II.1 Inéquation produit ou inéquation de la forme $(ax+b)(cx+d)\leq 0$

Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ (2x+6)(-3x+3)\leq 0$

On a : $(2x+6)(-3x+3)=0$ si, et seulement si, $2x+6=0$ ou $-3x+3=0$

c'est à dire $x=-3$ ou $x=1$

$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\ \hline 2x+6 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline -3x+3 & & + & | & + & 0 & - & \\ \hline (2x+6)(-3x+3) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ -3]\cup[1\;;\ +\infty[$$

$\centerdot\ \ -2x(3x+2)(x+)^{2}\geq 0$

On a : $-2x(3x+2)(x+)^{2}=0$ si, et seulement si, $-2x=0$ ou $3x+2=0$ ou $(x+1)^{2}=0$

Alors, $x=0$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$ ou $x=-1$

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x & -\infty & & -1 & & -2/3 & & 0 & & +\infty \\ \hline -2x & & + & | & + & | & + & 0 & - & \\ \hline 3x+2 & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline (x+1)^{2} & & + & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline -2x(3x+2)(x+)^{2} & & - & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline\end{array}$$

$$S=\left[-\dfrac{2}{3}\;;\ 0\right]$$

$\centerdot\ \ (3-x)(4+x)<0$

On a : $(3-x)(4+x)=0$ si, et seulement si, $3-x=0$ ou $4+x=0$

Alors, $x=3$ ou $x=-4$

$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty & & -4 & & 3 & & +\infty \\ \hline 3-x & & + & | & + & 0 & - & \\ \hline 4+x & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline (3-x)(4+x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ -4[\cup]3\;;\ +\infty[$$

Exemple 2 : résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ 4x^{2}-9<0$

On aura : $(2x-3)(2x+3)<0$

Alors, $(2x-3)(2x+3)=0$ si, et seulement si, $2x-3=0$ ou $2x+3=0$

Donc $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$

$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty & & -3/2 & & 3/2 & & +\infty \\ \hline 2x-3 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline 2x+3 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline (2x-3)(2x+3) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline\end{array}$$

$$S=\left]-\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\right[$$

$\centerdot\ \ (2x-7)^{2}-(2x-3)^{2}\geq 0$

On aura : $[(2x-7)-(2x-3)][(2x-7)+(2x-3)]\geq 0$

Alors, $(-4)(4x-10)=0$ si, et seulement si, $4x-10=0$ c'est à dire $x=\dfrac{5}{2}$

$$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty & & 5/2 & & +\infty \\ \hline -4 & & - & | & - & \\ \hline 4x-10 & & - & 0 & + & \\ \hline -4(4x-10) & & + & 0 & - & \\ \hline\end{array}$$

$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{5}{2}\right]$$

II.2 Inéquation du type $|ax+b|\leq c$ avec $c>0$

La résolution de ce type d'inéquation s'appuie sur la propriété suivante :

$$|X|\leq Y\; \text{ avec }\;Y\geq 0\;\text{ si, et seulement si, }\;X\leq Y\;\text{ et }\;X\geq -Y$$

Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ |-2x+3|\leq 5$

On aura : $-2x+3\leq 5$ et $-2x+3\geq -5$

Alors, $-2x\leq 2$ et $-2x\geq -8$

Donc, $x\geq -1$ et $x\leq 4$

D'où $$S=\left[-1\;;\ 4\right]$$

$\centerdot\ \ \left|\dfrac{2}{3}x-4\right|\leq 2$

On aura : $\dfrac{2}{3}x-4\leq 2$ et $\dfrac{2}{3}x-4\geq -2$

Alors, $\dfrac{2}{3}x\leq 6$ et $\dfrac{2}{3}x\geq 2$

Donc, $x\leq 6\times\dfrac{3}{2}$ et $x\geq 2\times\dfrac{3}{2}$

Ainsi, $x\leq 9$ et $x\geq 3$

D'où $$S=\left[3\;;\ 9\right]$$

Exemple 2 : certaines inéquations n'étant pas présentées sous la forme $|ax+b|\leq c$ peuvent l'être par la suite, par une utilisation successive des deux propriétés suivantes

$$\text{si }\;\left\lbrace\begin{array}{lll} a &\geq & 0\\ b &\geq & 0\\ a & \leq & b\end{array}\right.\; \text{alors }\;\sqrt{a}\leq\sqrt{b}\quad\text{ et }\quad\sqrt{X^{2}}=|X|$$

Résolvons les inéquations suivantes :

$\centerdot\ \ 4x^{2}-9<0$

On aura : $4x^{2}<9$

Alors, $x^{2}<\dfrac{9}{4}$

Donc, $\sqrt{x^{2}}<\sqrt{\dfrac{9}{4}}$

Par suite $|x|<\dfrac{3}{2}$

Ainsi, $x<\dfrac{3}{2}$ et $x>-\dfrac{3}{2}$

D'où $$S=\left]-\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\right[$$

$\centerdot\ \ -2(x+3)^{2}\geq -32$

On aura : $(x+3)^{2}\leq\dfrac{-32}{-2}$

Alors, $\sqrt{(x+3)^{2}}\leq\sqrt{16}$

Donc, $|x+3|\leq 4$

Par suite $x+3\leq 4$ et $x+3\geq -4$

Ainsi, $x\leq 1$ et $x\geq -7$

D'où $$S=[-7\;;\ 1]$$

Remarques :

Si $c<0$ l'inéquation $|ax+b|\leq c$ n'admettra pas de solutions.

On écrira $$S=\emptyset$$

II.3 Inéquation du type $|ax+b|\geq c$ avec $c\geq 0$

La résolution de ce type d'inéquation s'appuie sur la propriété suivante :

$$|X|\geq Y\; \text{ avec }\;Y\geq 0\;\text{ si, et seulement si, }\;X\geq Y\;\text{ ou }\;X\leq -Y$$

Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ |-2x+7|\geq 5$

On aura : $-2x+7\geq 5$ ou $-2x+7\leq -5$

Alors, $-2x\geq -2$ ou $-2x\leq -12$

Donc, $x\leq 1$ ou $x\geq 6$

D'où $$S=]-\infty\;;\ 1]\cup[6\;;\ +\infty[$$

$\centerdot\ \ \left|\dfrac{2}{3}x-3\right|>5$

On aura : $\dfrac{2}{3}x-3>5$ ou $\dfrac{2}{3}x-3<-5$

Alors, $\dfrac{2}{3}x>2$ ou $\dfrac{2}{3}x<-2$

Donc, $x> 8\times\dfrac{3}{2}$ ou $x< -2\times\dfrac{3}{2}$

Ainsi, $x>12$ ou $x<-3$

$$S=]-\infty\;;\ -3[\cup]12\;;\ +\infty[$$

Exemple 2 : certaines inéquations n'étant pas présentées sous la forme $|ax+b|\geq c$ peuvent l'être par la suite, par une utilisation successive des deux propriétés suivantes

$$\text{si }\;\left\lbrace\begin{array}{lll} a &\geq & 0\\ b &\geq & 0\\ a & \geq & b\end{array}\right.\; \text{alors }\;\sqrt{a}\geq\sqrt{b}\quad\text{ et }\quad\sqrt{X^{2}}=|X|$$

Résolvons les inéquations suivantes :

$\centerdot\ \ 25x^{2}-49\geq 0$

On aura : $25x^{2}\geq 49$

Alors, $x^{2}\geq\dfrac{49}{25}$

Donc, $\sqrt{x^{2}}\geq\sqrt{\dfrac{49}{25}}$

Par suite $|x|\geq\dfrac{7}{5}$

Ainsi, $x\geq\dfrac{7}{5}$ ou $x\leq-\dfrac{7}{5}$

D'où $$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{7}{5}\right]\cup\left[\dfrac{7}{5}\;;\ +\infty\right[$$

$\centerdot\ \ -2(x+3)^{2}< -50$

On aura : $(x+3)^{2}>\dfrac{-50}{-2}$

Alors, $\sqrt{(x+3)^{2}}>\sqrt{25}$

Donc, $|x+3|> 5$

Par suite $x+3>5$ ou $x+3<-5$

Ainsi, $x>2$ ou $x< -8$

D'où $$S=]-\infty\;;\ -8[\cup]2\;;\ +\infty[$$

Remarques :

Si $c<0$ l'inéquation $|ax+b|> c$ est toujours vraie, c'est à dire toute valeur de $x$ est solution.

On écrira $$S=\mathbb{R}\;\text{ ou }S=]-\infty\;;\ +\infty[$$

II.4 Inéquation faisant intervenir les quotients

Exemples : résolvons les inéquations suivantes :

$\centerdot\ \ \dfrac{2x-3}{-3x+2}\geq 0$

L'inéquation existe si, et seulement si, $-3x+2\neq 0$, c'est à dire $x\neq\dfrac{2}{3}.$

L'inéquation est nulle si, et seulement si, $2x-3=0$, c'est à dire $x=\dfrac{3}{2}.$

$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty & & 2/3 & & 3/2 & & +\infty \\ \hline 2x-3 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline -3x+2 & & + & 0 & - & | & - & \\ \hline\dfrac{2x-3}{-3x+2} & & - & || & + & 0 & - & \\ \hline\end{array}$$

$$S=\left]\dfrac{2}{3}\;;\ \dfrac{3}{2}\right]$$

$\centerdot\ \ \dfrac{-3(x+1)^{2}}{2x(-x+3)}\leq 0$

L'inéquation existe si, et seulement si, $2x(-x+3)\neq 0$, c'est à dire $2x\neq 0$ et $-x+3\neq 0$

Ce qui donne $x\neq 0$ et $x\neq 3$

L'inéquation est nulle si, et seulement si, $-3(x+1)^{2}=0$, c'est à dire $x+1=0.$

Ce qui donne $x=-1$

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x & -\infty & & -1 & & 0 & & 3 & & +\infty \\ \hline -3 & & - & | & - & | & - & | & - & \\ \hline (x+1)^{2} & & + & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline 2x & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline -x+3 & & + & | & + & | & + & 0 & - & \\ \hline\dfrac{-3(x+1)^{2}}{2x(-x+3)} & & + & 0 & + & || & - & || & + & \\ \hline\end{array}$$

$$S=]0\;;\ 3[\cup\{-1\}$$

Auteur:

Abdoulaye Ba

Lien cours vidéo:

Vidéo Equation à une inconnue