Équations et inéquations du second degré - 2nd L

Une équation du second degré à une inconnue $x$ est une équation pouvant se ramener à la forme : 

 

$ax^{2}+bx+c=0$ où $a$ est un réel non nul $(a\neq 0)\;, b$ et $c$ des réels quelconques.

 

Exemples et Contres exemples :

 

remarque : L'expression $ax^{2}+bx+c$ avec $(a\neq 0)$ est appelée trinôme du second degré.

 

Exemples :

Équation du type $ax^{2}+bx=0$ où $a\neq 0$ et $b\neq 0 :$

 

Pour résoudre une équation du type $ax^{2}+bx=0$ où $a\neq 0$ et $b\neq 0$ ;  on peut procéder comme suit : 

 

$\begin{array}{rcl} ax^{2}+bx&=&0\\&\leftrightarrow&x(ax+b)&=&0\\&\leftrightarrow&x&=&0\\&\text{ ou }x&=&\dfrac{-b}{a} \end{array}$

 

$S=\left(0\ ;\ \dfrac{-b}{a}\right)(\text{Si}0<\dfrac{-b}{a})\text{ ou }S=\left(\dfrac{-b}{a}\ ;\ 0\right) (\text{Si }\dfrac{-b}{a}<0)$

 

Exemples :

 

b. Équation du types $ax^{2}+c=0$ où $a\neq$ et $c\neq 0:$

 

Pour résoudre une équation du type $ax^{2}+c=0$ où $a\neq 0$  et $c\neq 0$ ; on peut procéder comme suit : 

 

$\begin{array}{rcl} ax^{2}+c&=&0&\\&\longleftrightarrow&ax^{2}&=&-c\\&\longleftrightarrow& \end{array}$ deux cas se présentent :

 

$1^{ère}$ cas : Si $\dfrac{-c}{a}>0\left(\dfrac{-c}{a}\text{ est du sgne positif }\right)$ alors $x^{2}=\dfrac{-c}{a}\longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$ et donc l'ensemble solution $S$ est $S=\left(-\sqrt{\dfrac{-c}{a}\ ;\ \sqrt{\dfrac{-c}{a}}}\right)$

 

$2^{ème}$ cas : si $\dfrac{-c}{a}<0\left(\dfrac{-c}{a}\text{ est du signe négatif }\right)$ alors $x\x^{2}=\dfrac{-c}{a}$ est impossible car un carré n'est jamais négatif et donc l'ensemble solution $S$ est $S=\phi$

 

Exemples :

 

c. Cas général : équation du types $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ est :

 

$ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\delta}{2a}\right]$ où $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)$ est appelé discriminant du trinôme.

 

Exemples :

 

$\bullet\ $Forme factorisée d'un trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$ ; on calcule d'abord son discriminant $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)$

 

Pour cela l'un l'un des trois cas peut se présenter :

 

$1^{er}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)>0$ $(\Delta\text{ est du signe positif }« + ») :$

 

Si $\Delta>0$ alors la forme factorisée du trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$ est :

 

$a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$ où $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2(a)}$ et $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\delta}}{2(a)}$

 

Autrement dit : si $\Delta>0$ alors $ax^{2}bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$

 

Exemples : 

 

$2^{ème}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=0(\\Delta\text{ est nul, }\delta=0)$

 

Si $\delta=0$ alors la forme factorisée du trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ est : $a\left(x-x_{0}\right)$ où $x_{0}=x_{1}=x_{2}=\dfrac{-b}{2(a)}$

 

Autrement dit : si $\delta=0$ alors $ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{0}\right)^{2}$

 

Exemples :

 

$3^{ème}$ cas : $\Delta=(b)^{2}$ $(\Delta\text{ est du signe négatif } « − » ) :$

 

Si $\Delta<0$ alors le trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$ n'a pas de forme factorisée. 

 

Exemples :

 

3. Résolution de l'équation du type $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\ne 0$

 

Pour résoudre une équations du second degré du type $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\ne 0$ ; on calcule d'abord son discriminant $\delta=(b)^{2}$ du trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c=0$

 

Pour cela on distinguera trois cas.

 

$1^{ère}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)>0$ $(\Delta\text{ est du signe positif }« + ») :$

 

Si $\Delta>0$ alors l'équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ admet deux solutions (ou deux racines) distinctes (différentes) que sont : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2((a)}$ et $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2(a)}$ et donc l'ensemble solution $S$ est $S=\left(x_{1}\ ;\ x_{2}\right) \left(\text{si }x_{1}<x_{2}\right)$ ou $S=\left(x_{2}\ ;\ x_{1}\right) \left(\text{si }x_{2}<x_{1}\right)$

 

Exemples :

 

$2^{ème}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=0(\Delta\text{ est nul,}\Delta=0)$

 

Si $\Delta=0$ alors l'équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ admet une solution (ou racine) double $x_{0}=x_{1}=x_{2}=\dfrac{-b}{2(a)}$ et donc l'ensemble solution $S$ est $S=\left{x_{0}\right}$

 

Exemples :

 

$3_{ème}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)<0 (\Delta\text{ est du signe négatif } « −» ) :$

 

Si $\Delta<0$ alors l'équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ n'admet pas de solution (ou racine) et donc l'ensemble solution $S$ est $S=\phi$

 

Exemples :

a. Propriété $1$ :

 

Si l'équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\neq 0$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ alors leur somme $S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a}$ et leur produit $P=x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$

 

Exemples :

 

b. Propriété $2$ :
 

Si deux réels $x$ et $y$ ont pour somme $S=x+y$ et pour produit $P=xy$ ; alors $x$ et $y$ sont solution de l'équation du second degré : $X^{2}-SX+P=0$

 

Autrement dit, si on a : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&S\\ xy&=&P \end{array}\right.$ ou bien $\left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&P\\ x+y&=&S \end{array}\right.$ alors $x$ et $y$ sont solutions de l'équation du second degré : $X^{2}-SX+P=0$

 

Exemples :

Une inéquation du second degré à une inconnue $x$ est une inéquation pouvant se ramener à la forme

 

$ax^{2}+bx+c\ast 0$ où $\neq 0\;,b\text{ et }c$ des réels quelconques et $\ast$ désigne les inégalités : $\leq\ ;\ \geq\ ;\ <\ ;\ >.$

 

Exemples :

Le signe d'un trinôme du second degré $T(x)=ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$  dépend de son discriminant

 

$\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)$ et de $a\neq 0$

 

Pour cela on distinguera trois cas.

 

$1^{èr}$ cas : $\Delta>0$

 

Si $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)>0 (\Delta\text{ est du signe positif  « + »)\;, alors le trinôme du second degré }$

 

$T(x)=ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$, admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ avec $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2(a)}$ et $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2(a)}$

 

$\ast$ Supposons que $x_{1}<x_{2}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&&-\inftyx_{1}x_{2}+\infty&&\\ \hline ax^{2}bx+c&\text{ signe de }a&\text{signe contraire de }a&\text{signe de }a\\ \hline \end{array}$

 

$\ast$ Supposons que $x_{2}< x_{1}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&&-\infty x_{2}x_{1}+\infty&\\ \hline ax^{2}bx+c&\text{signe de }a&\text{signe contraire de }a&\text{signe de }a\\ \hline \end{array}$

 

Exemples :

 

$2^{ème}$cas : $\Delta=0$

 

Si $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=0$ $(\Delta\text{ est nul), alors le trinôme du second dégré }$

 

$T(x)=ax^{2}+bx+c$ où $a\ne 0$, admet une racine double $x_{0}$ avec $x_{0}=\dfrac{-b}{2(a)}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&&-\infty x_{0}+\infty&\\ \hline ax^{2}+bx+c&\text{signe de }a&\text{signe de }a \hline \end{array}$

 

Exemples :

 

$3^{ème}$ cas : $\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)<0 (\Delta\text{ est du signe ngatif }« − » ) :$

 

Si $\Delta<0$ alors le trinôme du second degré $T(x)=ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$  n'admet pas de solution (ou racine) et il est du signe de $\alpha$ sur tout $\mathbb{R}=]-\infty\ ;\ +\infty[$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&&-\infty+\infty&\\ \hline ax^{2}+bx+c&\text{signe de }\alpha&&&\\ \hline \end{array}$

 

Exemples :

 

3. Résolution d'une inéquation du second degré à une inconnue $x$ :

 

Pour résoudre une inéquation du second degré à une inconnue $x$, il faut :

 

$\ast\ $ d'abord déterminer le signe du trinôme du second degré $T(x)=ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$ à l'aide d'un tableau de signe ; 

 

$\ast$ en suite regarder le signe qui correspond à l'inégalité $(<\ ;\ >\ ;\ \leq\ ;\ \geq)$

 

$\ast\ $ en fin donner l'ensemble solution de l'inéquation sous forme d'intervalles.

 

Remarques :

 

$\ast\ $ Si l'inéquation est de la forme $ax^{2}+bx+c\geq 0$ ou $ax^{2}+bx+c>0$, alors dans le tableau de signe du trinôme $ax^{2}+bx+c>$ où $\alpha\neq 0$ ; c'est l'intervalle (ou les intervalles) qui a (ou ont) le signe $<<+>>$ qui est (ou sont) solution(s) de l'inéquation.

 

$\ast\ $Si l'inéquation est de la forme $ax^{2}+bx+c\geq 0$ ou $ax^{2}+bx+c>0$ , alors dans le tableau de signe du trinôme $ax^{2}+bx+c$ où $a\neq 0$ ; c'est l'intervalle (ou les intervalles) qui a (ou ont) le signe $<<->>$ qui est (ou sont) solution(s) de  l'inéquation.

 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations du second degré suivantes :

 

a. $5x^{2}-4x=0$ ;

 

b. $x^{2}-\dfrac{7}{2}=0$ ; 

 

c. $2x^{2}+3x-2=0$ ; 

 

d. $x^{2}-7x+12=0$ ; 

 

e. $3x^{2}-2x+1=0$ ; 

 

f. $3x^{2}+4x-1=0$ ; 

 

g. $-4x^{2}+7x-1=0$ ;

 

h. $4x^{2}-8x+4=0$ ; 

 

i. $9x^{2}+12x+4=0$ ; 

 

j. $25x^{2}-30x+9=0$ ;

 

k. $x^{2}+\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{6}=0$ ;

 

l. $x^{2}+\left(2\sqrt{2}\right)x-2=0$ ; 

 

m. $\left(\sqrt{3}\right)x^{2}+2x+2\sqrt{3}=0$ ; 

 

n. $x^{2}+\left(\sqrt{3}+2\right)x+\sqrt{3}$ ; 

 

o. $3x^{2}+6x-4=0$ ; 

 

p. $\dfrac{2}{3}x^{2}+4x-3=0$ ;

 

q. $5x^{2}+8=0$ ; 

 

r. $\dfrac{5}{3}x^{2}-\dfrac{3}{2}x=0$ ; 

 

s. $-\left(3\sqrt{2}\right)x^{2}+\left(\sqrt{3}\right)x=0$

Déterminer la forme canonique de chacun des trinômes du $2^{nde}$ degré suivants :

 

$f(x)=5x^{2}+8x$ ; 

 

$g(x)=4x^{2}-12x+9$ ; 

 

$h(x)=3x^{2}-5x+7$ ; 

 

$l(x)=-2x^{2}+4x+9$ ;

 

$m(x)=3x^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)x+1$ ; 

 

$n(x)=-5x^{2}+7$ ;

 

$p(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{6}$ ; 

 

$q(x)-\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{7}{5}.$

 

Déterminer la forme factorisée des trinômes du $2^{nde}$ degré suivants :

 

$T_{0}(x)=x^{2}-4x+3$ ; 

 

$T_{1}(x)=5x^{2}-7$ ;

 

$T_{2}=-2x^{2}+9x-4$ ; 

 

$T_{3}(x)=\dfrac{5}{4}x^{2}+\dfrac{3}{2}x$ ;

 

$T_{4}(x)=36x^{2}-24x+4$ ; 

 

$T_{5}(x)=3x^{2}-7x+9$ ;

 

$T_{6}(x)=-3x^{2}+8x-4$ ; 

 

$T_{7}(x)=\left(\sqrt{3}\right)x^{2}+\left(2+\sqrt{3}\right)x+1$ ; 

 

$T_{8}(x)=x^{2}-\left(2+\sqrt{5}\right)x+2\sqrt{5}.$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les systèmes suivants :

 

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&3\\ xy&=&-4 \end{array}\right.$ ; 

 

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&2\\ x+y&=&6 \end{array}\right.$ ; 

 

c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}&=&\dfrac{1}{6}\\ xy&=&10 \end{array}\right.$ ; 

 

d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&10\\ xy&=&3 \end{array}\right.$ ; 

 

e. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&-5\\ x^{2}+y^{2}&=&15 \end{array}\right.$ ; 

 

f. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&\\ xy&=&10 \end{array}\right.$

On considère le trinôme du $2^{nde}$ degré $T(x)=3x^{2}+6x-9$

 

Sans calculer ses racines $x_{1}$ et $x_{2}$ ; déterminer :

 

$A=x_{1}+x_{2}$ ; 

 

$B=x_{1}x_{2}$ ; 

 

$C=\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$$ ; 

 

$D=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ ; 

 

$E=x_{1}^{3}x_{2}^{3}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

 

a. $3x^{2}-4x<0$ ; 

 

b. $-5x^{2}+7x\geq 0$ ; 

 

c. $2x^{2}+3x+1>0$ ;

 

d. $2x^{2}-4x+1\leq 0$ ;

 

e. $x^{2}-4x+1<0$ ; 

 

f. $-x^{2}+3x-11\geq 0$ ;

 

g. $(x+1)^{2}+3(\left(x^{2}-1\right)<0$ ; 

 

h. $-x^{2}+6x-1\geq 0$ ; 

 

i. $\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+1<0$ ; 

 

j. $3x^{2}+2x-5\geq 0$