Équations - Inéquations - Systèmes - 1er s

Classe: 
Première
 

I Trinôme du second degré

I.1 Forme canonique d'un trinôme du second degré

Soit $$f(x)=ax^{2}+bx+c\;;\quad a,\ b\ \text{ et }c\ \in\mathbb{R}\;;\quad\text{avec }  a\not=0$$
On a :

$f(x)=a\left[x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]\ $ or $x^{2}+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} f(x) & = & a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{c}{a}\right]\\ \\ & = &  a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{4ac}{4a^{2}}\right] \\ \\ & = & a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right]\end{array}$

Ainsi, la forme canonique de $f(x)$ est donnée par $$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]$$

$\Delta=b^{2}-4ac$ est appelé le discriminant du trinôme $ax^{2}+bx+c.$

I.2 Théorème

Soit le trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$, de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$.

On a :
$$\begin{array}{|c|}\hline\\ \Delta<0 \\ \\ \text{Pas de racines }\\ \\S=\emptyset \\ \\ax^{2}+bx+c\text{ non factorisable } \\ \\ax^{2}+bx+c\text{ est toujours du signe de }a \\ \\ \hline\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|}\hline\\ \Delta=0 \\ \\ \text{ On a une racine double; }x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\\ \\ S=\{x_{0}\}\\ \\f(x)=a(x-x_{0})^{2}\\ \\ax^{2}+bx+c\text{ est du signe de }a\\ \\ \text{ sauf pour }x=x_{0}=-\dfrac{b}{2a} \\ \\ \hline\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|}\hline\\ \Delta>0 \\ \\ \text{ On a deux racines distinctes } \\ \\ x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et } x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \\ S=\{x_{1};\ x_{2}\} \\ \\ f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\ \\ax^{2}+bx+c\text{ est du signe de }a \\ \\ \text{ à l'extérieur des reacines, et du signe de }(-a)\\ \\ \text{ à l'intérieur des racines } \\ \\  \hline \end{array}$$

Remarques :

Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions distinctes de $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ alors on a :

$x_{1}$ et $x_{2}$ solutions de $ax^{2}-Sx+P=0$ avec $S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ et $P=x_{1}.x_{2}=\dfrac{c}{a}$

I.3 Équation bicarrée et équation symétrique

I.3.1  Équation bicarrée

Une équation bicarrée est une équation de la forme $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$ avec $a\neq 0.$

Pour résoudre une telle équation on fait un changement de variable en posant $X=x^{2}$ et on obtient $$aX^{2}+bX+c=0$$

T.P : Soit l'équation bicarrée suivante : $$f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c$$

Déterminer les conditions sur $a\;,\ b$ et $c$ pour que :

1) $f(x)=0$ admette 4 solutions distinctes

2) $f(x)=0$ admette 3 solutions distinctes

3) $f(x)=0$ admette 2 solutions distinctes

4) $f(x)=0$ admette 1 solution

5) $f(x)=0$ admette aucune solution

Résolution :

1) $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ admet 4 solutions distinctes si :
$$\begin{array}{rcl} a &\neq& 0 \\ \Delta &>& 0\\P &>& 0\\S &>& 0\end{array}\;\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcl} b^{2}-4ac &>& 0 \\ \\ \dfrac{c}{a} &>& 0\\ \\-\dfrac{b}{a} &>& 0\end{array}\right.$$

2) $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ admet 3 solutions distinctes si :
$$\begin{array}{rcl} a &\neq& 0 \\ \Delta &>& 0\\P &=& 0\\S &>& 0\end{array}\;\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcl} b^{2}-4ac &>& 0 \\ \\ \dfrac{c}{a} &=& 0\;\Rightarrow\;c=0\\ \\-\dfrac{b}{a} &>& 0\end{array}\right.$$

3) $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ admet 2 solutions distinctes si :
$$\begin{array}{rcl} a &\neq& 0 \\ \Delta &>& 0\\P &<& 0\end{array}\;\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcl} b^{2}-4ac &>& 0 \\ \\ \dfrac{c}{a} &<& 0\end{array}\right.$$
ou si :
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} a=0\\b\;\text{ et } c\;\text{ de signes contraires} \end{array}\right.$$
 
4) $f(x)$ admet une racine si :
$$a=0\;,\ b\neq 0\;\text{ et }c=0$$
 
5) $f(x)$ admet aucune racine si :
$$a=0\;\text{ et }\Delta<0$$

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}\ $

a) $3x^{4}-4x^{2}+1=0\quad$ (1)

Posons $X=x^{2}$, donc l'équation (1) devient $3X^{2}-4X+1=0\quad$ (2).
 
Résolvons l'équation (2). On a :
 
$\begin{array}{rcl} \Delta=16-12=4 & \Rightarrow & X_{1}=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{1}{3}\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{4+2}{6}=1 \\ \\ & \Rightarrow & X_{1}=\dfrac{1}{3}=x^{2}\quad \text{ et }\quad X_{2}=1=x^{2} \\ \\ & \Rightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\quad \text{ ou }\quad x_{1}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \\ x_{2}=1\quad \text{ ou }\quad x_{2}=-1\end{array}\right.\end{array}$
$$S=\left\lbrace-1;\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3};\ \dfrac{\sqrt{3}}{3};\ 1\right\rbrace$$

b) $x^{4}+4x^{2}-5=0\quad$ (3)

Soit $X=x^{2}$, donc l'équation (3) devient $X^{2}+4X-5=0\quad$ (4).
 
Résolvons l'équation (4). On a :
 
$\begin{array}{rcl}\Delta=16+20=36 & \Rightarrow & X_{1}=\dfrac{-4-6}{2}=-5\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{-4+6}{2}=1 \\ \\ & \Rightarrow & X_{1}=x^{2}=-5\;\text{ (impossible)}\quad \text{ et }\quad X_{2}=1=x^{2} \\ \\ & \Rightarrow &  x_{2}=1\quad \text{ ou }\quad x_{2}=-1\end{array}$
$$S=\left\lbrace-1\;;\ 1\right\rbrace$$

I.3.2  Équation symétrique

Une équation symétrique est une équation de la forme $$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$$. Pour résoudre une telle équation, on factorise par $x^{2}$ et on fait un changement de variable de la forme $X=x+\dfrac{1}{x}.$

Exemple :

soit $f(x)=6x^{4}-5x^{3}-38x^{2}-5x+6$

1) Montrer que 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

2) Déterminer $g(x)$ telle que $f(x)=x^{2}.g(x)$

3) Montrer que $f(x)=0$ si, et seulement si, $g(x)=0$

4) Résoudre dans $\mathbb{R}\ \ g(x)=0$. On pose $X=x+\dfrac{1}{x}$

Résolution :

1) Montrons que 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

On a $f(0)=6\neq 0$ donc 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

2) Déterminons $g(x)$ pour que $f(x)=x^{2}.g(x)$
 
Nous avons :
 
$\begin{array}{rcl} f(x) & = & 6x^{4}-5x^{3}-38x^{2}-5x+6 \\ \\ & = & x^{2}\left(6x^{2}-5x-38-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}\right) \\ \\ & = & x^{2}.g(x) \end{array}$
 
avec $g(x)=6x^{2}-5x-38-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}$

3) Montrons que $f(x)=0$ si, et seulement si, $g(x)=0$

$\centerdot\ \ $ si $g(x)=0$ alors $f(x)=x^{2}.0=0$.

$\centerdot\ \ $ si $f(x)=0$ montons que $g(x)=0$. Soit $f(x)=0$ alors $x^{2}.g(x)=0$. Et donc, $x^{2}=0\ $ ou $\ g(x)=0$

Ce qui revient à dire $x=0\ $ ou $\ g(x)=0\ \ $ or $x\neq 0\ $ car 0 n'est pas solution, donc $g(x)=0$

4) Résolvons dans $\mathbb{R}\ \ g(x)=0$.

On a $g(x)=6x^{2}-5x-38-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}$. Posons $X=x+\dfrac{1}{x}$

Alors, on a $\ x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=X^{2}-2$
 
Ainsi, 
 
$\begin{array}{rcl} g(x) & = & 6x^{2}-5x-38-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}} \\ \\ & = & 6\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-38 \\ \\ & = & 6(X^{2}-2)-5X-38 \\ \\ & = & 6X^{2}-12-5X-38 \\ \\ & = & 6X^{2}-5X-50 \end{array}$

Soit $\Delta=(-5)^{2}-4(6)(-50)=25+1200=1225$, et donc $\sqrt{\Delta}=35$

$\Rightarrow\ X_{1}=\dfrac{5-35}{12}\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{5+35}{12}$

$\Rightarrow\ X_{1}=-\dfrac{5}{2}\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{10}{3}$

En faisant un retour sur le changement de variable, on obtient :

$\centerdot\ \ -\dfrac{5}{2}=x+\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ -\dfrac{5}{2}=\dfrac{x^{2}+1}{x}$

Ce qui donne $-5x=2x^{2}+2\ \Rightarrow\ 2x^{2}+5x+2=0$

Soit $\Delta=25-16=9\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=3$

Ainsi, $x_{1}=\dfrac{-5-3}{4}\quad\text{ et }\quad x_{2}=\dfrac{-5+3}{4}$

$\Rightarrow\ x_{1}=-2\quad\text{ et }\quad x_{2}=-\dfrac{1}{2}$

$\centerdot\ \ \dfrac{10}{3}=x+\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ \dfrac{10}{3}=\dfrac{x^{2}+1}{x}$

Donc $10x=3x^{2}+3\ \Rightarrow\ 3x^{2}-10x+3=0$

$\Delta=100-36=64\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=8$

Ainsi, $x_{1}=\dfrac{10-8}{6}\quad\text{ et }\quad x_{2}=\dfrac{10+8}{6}$

$\Rightarrow\ x_{1}=\dfrac{1}{3}\quad\text{ et }\quad x_{2}=3$
 
$$S=\left\lbrace-2\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{1}{3}\;;\ 3\right\rbrace$$

I.3.3  Équation paramétrique

C'est une équation dans laquelle on a une inconnue $x$ et un paramètre réel $m.$

Exemple :

Soit $(E)\ :\ x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+3=0$
 
1) Étudier l'existence et le signe des solutions de $(E)$
 
2) Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ telles que $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$

Résolution :

Soit $x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+3=0$ alors $\Delta=4m-11$
 
$-\ $ Si $\Delta<0$ c'est à dire si $m<\dfrac{11}{4}$ alors $(E)$ n'admet pas de solutions
 
$-\ $ Si $\Delta=0\;;\ m=\dfrac{11}{4}$ alors $(E)$ admet une solution double $x_{0}=\dfrac{2m+1}{2}$
 
soit $x_{0}=\dfrac{13}{4}$
 
$-\ $ Si $\Delta>0\;;\ m>\dfrac{11}{4}$ on a deux solutions distinctes.

Rappel : signes des solutions de $ax^{2}+bx+c=0\quad(a\neq 0)$

$-\ $ Si $\Delta>0$ et $P>0$ alors les solutions sont de même signe.
 
$-\ $ Si $\Delta>0$ et $P<0$ alors les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ sont de signes contraires.
 
$-\ $ Si $\Delta>0\;,\ P>0\;,\ S>0$ alors les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ sont de signe positif.
 
$-\ $ Si $\Delta>0\;,\ P>0\;,\ S<0$ alors les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ sont de signe négatif.
 
1) Étudions le signe des solutions de l'équation $(E)$ 
 
Soit $\Delta=4m-11\;,\ S=2m+1\;,\ P=m^{2}+3$
 
Pour $m>\dfrac{11}{4}$ on a deux solutions distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$
 
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline m&-\infty& &-1/2& &11/4& &+\infty \\ \hline \Delta& &-&|&-&|&+& \\ \hline S& &-&|&+&|&+& \\ \hline P& &+&|&+&|&+& \\ \hline\end{array}$$
 
Sur $\left]\dfrac{11}{4}\;;\ +\infty\right[$ on a $\Delta>0\;,\ P>0\;,\ S>0$ donc $x_{1}$ et $x_{2}$ sont positifs.
 
2) Déterminons $m$ tel que $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &=& (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}^{2}.x_{2}^{2} \\ \\ &=& (2m+1)^{2}-2(m^{2}+3 \\ \\ &=& 4m^{2}+4m+1-2m^{2}-6 \\ \\ &=& 2m^{2}+4m-5 \end{array}$
 
donc $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\ \Leftrightarrow\ 2m^{2}+4m-5=1\ \Leftrightarrow\ 2m^{2}+4m-6=0$
 
Soit $\Delta'=4+12=16$
 
on trouve 
 
$m_{1}=\dfrac{-2+4}{2}=1\notin\;\left]\dfrac{11}{4}\;;\ +\infty\right[$
 
$m_{2}=\dfrac{-2-4}{2}=-3\notin\;\left]\dfrac{11}{4}\;;\ +\infty\right[$
 
Donc il n'existe pas de réel $m$ vérifiant $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.$

II Équation - Inéquation irrationnelle

Soient $f\;,\ g$ et $q$ trois fonctions d'une variable réelle $x.$

Les équations (ou inéquations) de la forme $a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{g(x)}+cq(x)=0\;(\text{ou}\;<0\;,\ \text{ou}\ >0)$ avec $a\;,\ b$ et $c$ des réels tels que $a\;\text{et/ou}\;b\;\neq 0$, sont appelées équations (ou inéquations) irrationnelles.

Nous distinguons les cas suivants :

$\centerdot\ \ \sqrt{f(x)}=k\;,\quad k\in\mathbb{R}_{+}$

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}\;;\quad\sqrt{-2x+1}=3$

Résolution :

Ensemble de validité 
 
Cette équation existe si, et seulement si, $-2x+1\geq 0$ c'est à dire $x\leq\dfrac{1}{2}$
 
donc, $D_{E}=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$
 
$\begin{array}{rcl} \text{Si }x\in\;D_{E}\;,\ (\sqrt{-2x+1})^{2}=3^{2} &\Leftrightarrow& -2x+1=9 \\ \\ &\Leftrightarrow& x=-4\in\;D_{E} \end{array}$
 
Donc $$S=\{-4\}$$
$\centerdot\ \ \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$

On a : $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{lll} g(x)\geq 0\\ f(x)=g(x)\end{array}\right.$

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}$

a) $\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+3}$

b) $\sqrt{x^{2}-6x}=\sqrt{x-6}$

Résolution :

a) On a :
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{2x+1}=\sqrt{x+3} & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3&\geq&0 \\ 2x+1&=&x+3\end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-3 \\ 2x-x&=&3-1\end{array}\right. \\ \\ & \Rightarrow & x=2 \end{array}$
$$S=\{2\}$$
b)
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2}-6x}=\sqrt{x-6} & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x-6&\geq&0 \\ (\sqrt{x^{2}-6x})^{2}&=&(\sqrt{x-6})^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&6 \\ x^{2}-6x&=&x-6 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&6 \\ x^{2}-6x-x+6&=&0\end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & x^{2}-7x+6=0\;\text{ et }x\geq 6 \end{array}$

Soit l'équation $x^{2}-7x+6=0$.

On a : $\Delta=25\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=5.$

Donc, les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ de cette équation sont telles que :

$x_{1}=\dfrac{7-5}{2}=1\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{7+5}{2}=6$

La condition $x\geq 6$ entraine que $x_{2}$ reste l'unique solution.
D'où, $$S=\{6\}$$

$\centerdot\ \ \sqrt{f(x)}=g(x)$

On a : $\sqrt{f(x)}=g(x)\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{lll} g(x)\geq 0\\ f(x)=(g(x))^{2} \end{array}\right.$

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}$

a) $\sqrt{x^{2}-6x}=2x+1$

b) $\sqrt{x+1}=x^{2}-1$

Résolution :

a) On a :
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2}-6x}=2x+1 & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+1&\geq&0 \\ (\sqrt{x^{2}-6x})^{2}&=&(2x+1)^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x&\geq&-1 \\ x^{2}-6x&=&4x^{2}+4x+1\end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-\dfrac{1}{2} \\ x^{2}-6x-4x^{2}-4x-1&=&0 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & -3x^{2}-10x-1=0\;\text{ et }x\geq -\dfrac{1}{2} \end{array}$

Soit l'équation $-3x^{2}-10x-1=0$.

On a : $\Delta=100-4(-3)(-1)=88\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=2\sqrt{22}.$

Donc les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ de cette équation sont telles que :

$x_{1}=\dfrac{10-2\sqrt{22}}{-6}=\dfrac{-5+\sqrt{22}}{3}\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{10+2\sqrt{22}}{-6}=-\dfrac{5+\sqrt{22}}{3}$

Comme $x\in\left[-\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$, alors $x_{1}$ reste l'unique solution du système.
D'où, $$S=\left\lbrace\dfrac{-5+\sqrt{22}}{3}\right\rbrace$$
b) 
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{x+1}=x^{2}-1 & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x^{2}-1\geq 0 \\(\sqrt{x+1})^{2}=(x^{2}-1)^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} (x-1)(x+1)\geq 0 \\(x+1)=[(x-1)(x+1)]^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[ \\((x-1)(x+1))^{2}-(x+1)=0 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[ \\ (x+1)[(x+1)(x-1)^{2}-1]=0\end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[ \\ (x+1)[(x+1)(x^{2}-2x+1)-1]=0 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[ \\ (x+1)(x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x+x+1-1)=0 \end{array}\right. \end{array}$
 
Donc on a :
 
$\begin{array}{rcl} (x+1)(x^{3}-x^{2}-x)=0 & \Leftrightarrow & x(x+1)(x^{2}-x-1)=0 \\ \\ & \Leftrightarrow & x=0\;\text{ ou }\;x+1=0\;\text{ ou }\;x^{2}-x-1=0 \\ \\ & \Leftrightarrow & x_{0}=0\;\text{ ou }\;x_{1}=-1\;\text{ ou }\;x^{2}-x-1=0 \end{array}$

Soit l'équation $x^{2}-x-1=0$.

On a : $\Delta=5\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}.$

Donc, les solutions $x_{2}$ et $x_{3}$ de cette équation sont telles que :

$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\ $ et $\ x_{3}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Comme $x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$, alors $x_{1}$ et $x_{3}$ constituent les seules solutions du problème.
D'où, $$S=\left\lbrace-1\;;\ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\rbrace$$

$\centerdot\ \ \sqrt{f(x)}\leq\sqrt{g(x)}$

On a $\sqrt{f(x)}\leq\sqrt{g(x)}\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{lll} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0\\ f(x)\leq g(x)\end{array}\right.$

Exemple : 

Résoudre dans $\mathbb{R}\;\sqrt{x^{2}-4x}\leq\sqrt{x+7}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2}-4x}\leq\sqrt{x+7} & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-4x&\geq&0 \\ x+7&\geq&0 \\ (\sqrt{x^{2}-4x})^{2}&\leq&(\sqrt{x+7})^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x(x-4)&\geq&0 \\ x&\geq&-7 \\ x^{2}-4x&\leq&x+7 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;(]-\infty\;;\ 0]\cup[4\;;\ +\infty[)\cap[-7\;;\ +\infty[ \\ x^{2}-5x-7\leq 0 \end{array}\right. \\ \\  & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;D_{E}=]-7\;;\ 0]\cup[4\;;\ +\infty[ \\ x^{2}-5x-7\leq 0 \end{array}\right. \end{array}$
 
Soit l'équation $x^{2}-5x-7=0$.

On a : $\Delta=25+28=53\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=\sqrt{53}.$

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ les solutions distinctes de $x^{2}-5x-7=0$.

Alors, $x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{53}}{2}\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{53}}{2}$

Ainsi, sans aucune contrainte, l'inéquation $x^{2}-5x-7\leq 0$ admettra comme solution $S_{1}=[x_{1}\;;\ x_{2}]$

Considérons le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lclclclclcr|} \hline x & -7 & & x_{1} &  & 0 &  & 4 & & x_{2} & & +\infty \\ \hline x^{2}-4x & & + & | & + & 0 & - & 0 & + &|& + & \\ \hline x^{2}-5x-7 &  & + & 0 & - & | & - & | & - & 0 & + & \\ \hline S &  & + & 0 & (-) & | & + & |& (-) & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$
 
Donc en tenant compte des conditions initiales, l'ensemble des solutions du problème sera donné par $$S=S_{1}\cap D_{E}=[x_{1}\;;\ 0]\cup[4\;;\ x_{2}]$$

$\centerdot\ \ \sqrt{f(x)}\geq g(x)$
 
On a : $\sqrt{f(x)}\geq g(x)\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{lll} g(x)\geq 0\\ f(x)\geq (g(x))^{2} \end{array}\right.\quad\text{ou}\quad\left\lbrace\begin{array}{lll} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0\end{array}\right.$
 
Donc, on obtient deux solutions $S_{1}$ et $S_{2}.$
 
Ainsi, la solution finale est donnée par $S=S_{1}\cup S_{2}.$

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}\;\sqrt{2x^{2}+1}>x+3$

On a :
 
$-$ 1er cas :
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{2x^{2}+1}>x+3 & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3&\geq&0 \\  (\sqrt{2x^{2}+1})^{2}&>&(x+3)^{2} \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-3 \\ 2x^{2}+1&>&x^{2}+6x+9 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-3 \\ x^{2}-6x-8&>&0 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{lll} x\in\;D_{E}=[-3\;;\ +\infty[ \\ x^{2}-6x-8>0 \end{array}\right. \end{array}$
 
Soit l'équation $x^{2}-6x-8=0$. 
 
On a : $\Delta=36+32=68\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=2\sqrt{17}.$
 
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ les solutions de cette équation.
 
Alors, $x_{1}=\dfrac{6-2\sqrt{17}}{2}=3-\sqrt{17}\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{6+2\sqrt{17}}{2}=3+\sqrt{17}$
 
donc, on a :
$$S_{1}=D_{E}\cap]-\infty\;;\ x_{1}[\cup]x_{2}\;;\ +\infty[=[-3\;;\ x_{1}[\cup]x_{2}\;;\ +\infty[$$
 
 
$-$ 2em cas :
 
$\begin{array}{rcl} \sqrt{2x^{2}+1}>x+3 & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}+1&\geq&0 \\ x+3&<&0 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}&\geq&-1 \\ x&<&-3 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}&>&-\dfrac{1}{2}\;\text{ toujours vraie }\; \forall\;x\in\mathbb{R}\\ x&<&-3 \end{array}\right. \\ \\ & \Leftrightarrow & \begin{array}{lll} x\in\;D_{E}=]-\infty\;;\ -3[  \end{array} \end{array}$
 
On obtient : $$S_{2}=D_{E}=]-\infty\;;\ -3[$$
 
Ainsi, l'inéquation $\sqrt{2x^{2}+1}>x+3$ admet pour solution $$S=S_{1}\cup S_{2}=]-\infty\;;\ x_{1}[\cup]x_{2}\;;\ +\infty[$$

III Système d'équations à plusieurs inconnues

III.1 Système de deux équations à trois inconnues

Un système de deux équations du $1^{e}$ degré à trois inconnues est un système de la forme $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} ax+by+cz &=& d\\a'x+b'y+c'z &=& d'\end{array}\right.\quad \text{où } \ a\;, \ b\;,\ c\;,\ d\;,\ a'\;,\ b'\;,\ c'\ \text{ et } d'\; \in\mathbb{R}$$

Résoudre ce système revient à appliquer les méthodes de résolution de système d'équations en fixant une des inconnues pour ensuite exprimer les autres inconnues comme combinaison linéaire de l'inconnue fixée.

Fixer une des inconnues nous permet de basculer vers un système de deux équations à deux inconnues que l'on sait résoudre.

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$

$\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 2x-y+z &=& 5 & (1)\\x+y+z+1 &=& 0 & (2)\end{array}\right.$

Nous avons choisi de fixer l'inconnue $z$. 

Et donc, en additionnant les équations (1) et (2) on obtient :

$3x+2z+1=5\;\Rightarrow\;x=-\dfrac{2}{3}z+\dfrac{4}{3}$

En remplaçant $x$ dans l'équation (2) on obtient :

$-\dfrac{2}{3}z+\dfrac{4}{3}+y+z+1=0\;\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{3}z-\dfrac{7}{3}$

d'où $$S=\left\lbrace(x\;,\ y\;,\ z)\;;\ x=-\dfrac{2}{3}z+\dfrac{4}{3}\;,\ y=-\dfrac{1}{3}z-\dfrac{7}{3}\;;\ z\in\mathbb{R}\right\rbrace$$

III.2 Système de trois équations à trois inconnues

Soit par exemple à résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système d'équations $(S_{1})$ suivant :

$(S_{1})\;\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 3x-y+2z &=& 13 & (1)\\2x-y+5z &=& 20 & (2)\\4x+2y-z &=& 3 & (3)\end{array}\right.$

Nous pouvons simplement exprimer, par exemple dans l'équation (1), l'inconnue $y$ en fonction des autres inconnues.

On obtient : $y=3x+2z-13$

Ensuite nous choisissons de remplacer cette expression de $y$ dans les équations (2) et (3).
 
Ce qui donne :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcr} 2x-(3x+2z-13)+5z &=& 20\\4x+2(3x+2z-13)-z &=& 3\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} 2x-3x-2z+13+5z &=& 20\\ 4x+6x+4z-26-z &=& 3\end{array}\right.$

Ce qui est équivalent à : $\left\lbrace\begin{array}{lcrr} -x+3z &=& 7 & (3)\\10x+3z &=& 29 & (4)\end{array}\right.$

En multipliant l'équation (3) par (-1) on obtient un système $(S_{2})\;\left\lbrace\begin{array}{lcrr} x-3z &=& -7 & (3')\\10x+3z &=& 29 & (4)\end{array}\right.$

L'addition des équations (3') et (4) donne $11x=22\;\Rightarrow\;x=\dfrac{22}{11}=2$

En remplaçant la valeur de $x$ dans l'équation (3) on obtient : $3z=9\;\Rightarrow\;z=\dfrac{9}{3}=3$

Enfin, dans l'expression de $y$ on remplace $x$ et $z$ par leur valeur.

Ce qui donne $y=6+6-13=-1$ d'où, $$S=\{(2\;,\ -1\;,\ 3)\}$$

III.3 Méthode du pivot

La méthode pivot permet de transformer un système linéaire afin d'obtenir un système équivalent facile à résoudre.

Pour cela on fixe d'abord une équation du système dans laquelle on choisit une inconnue.

Ensuite, on élimine l'inconnue choisie dans les autres équations du système, après une transformation de ces dernières.

On applique à nouveau la même démarche sur le système dérivé obtenu.

Et on continue jusqu'à obtenir une équation impossible ou un système que l'on sait résoudre facilement.

Enfin, on résout le système final qui donne facilement les solutions.

Exemple :

Soit à résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système d'équations $(S_{1})$ suivant :

$(S_{1})\;\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 3x-y+2z &=& 13 & (E_{1})\\2x-y+5z &=& 20 & (E_{2})\\ 4x+2y-z &=& 3 & (E_{3})\end{array}\right.$

On fixe l'équation $(E_{1})$ et on choisit l'inconnue $y.$

Pour éliminer $y$ dans les équations $(E_{2})$ et $(E_{3})$ on effectue les transformations suivantes :

$(E_{2}')=(E_{2})-(E_{1})$

$(E_{3}')=(E_{3})+2(E_{1})$

Le système $(S_{1})$ est donc équivalent au système $\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 3x-y+2z &=& 13 & (E_{1})\\-x+3z &=& 7 & (E_{2}')\\10x+3z &=& 29 & (E_{3}')\end{array}\right.$

On obtient un système dérivé $(S_{1}')\;\left\lbrace\begin{array}{lcrr} -x+3z &=& 7 & (E_{2}')\\10x+3z &=& 29 & (E_{3}')\end{array}\right.$ de deux équations à deux inconnues facile à résoudre.

Par ailleurs, on pouvait aussi appliquer la méthode sur ce dernier système en fixant $(E_{2}')$ et en choisissant l'inconnue $x.$

Pour éliminer $x$ dans $(E_{3}')$ on procède ainsi :

$(E_{3}'')=(E_{3}')+10(E_{2}')$

$(S_{1}')$ est donc équivalent à $\left\lbrace\begin{array}{rcrr} -x+3z &=& 7 & (E_{2}')\\33z &=& 99 & (E_{3}'')\end{array}\right.$

Et nous constatons que le système $(S_{1})$ est équivalent au système $(S_{2})\;\left\lbrace\begin{array}{rcrr} 3x-y+2z &=& 13 & (E_{1})\\-x+3z &=& 7 & (E_{2}')\\33z &=& 99 & (E_{3}'')\end{array}\right.$ triangulaire et donc facile à résoudre.

Ainsi, $(E_{3}'')\;:\;33z=99\;\Rightarrow\;z=3$

En remplaçant la valeur de $z$ dans $(E_{2}')$ on trouve $x=2.$

Enfin, en remplaçant les valeurs de $z$ et $x$ dans l'équation $(E_{1})$ on obtient $y=-1.$

D'où, $$S=\{(2\;,\ -1\;,\ 3)\}$$

Remarque :

Le choix de la première équation et de l'inconnue est arbitraire.

Cependant, on peut fixer prioritairement l'équation dans laquelle l'inconnue à choisir est affectée du coefficient 1 ou (-1).

III.4 Système d'équations à quatre inconnues

Soit par exemple à résoudre dans $\mathbb{R}^{4}$ le système d'équations $(S_{1})$ suivant :

$(S_{1})\;\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 2x-y+3z-2t &=& -14 & (1)\\ x+2y+3z-t &=& -6 & (2)\\ 4x-3y-z+2t &=& -4 & (3)\\3x-2y+z-3t &=& -18 & (4)\end{array}\right.$

Pour résoudre ce système nous considérons une méthode de résolution qui consiste à prendre, par exemple, le système dérivé composé des équations (1) et (2).

Nous résolvons ce système en fixant $x$ et $y.$ 

Et donc, nous exprimons $z$ et $t$ en fonction de $x$ et $y.$
 
On a $\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 2x-y+3z-2t &=& -14 & (1)\\ x+2y+3z-t &=& -6 & (2) \end{array}\right.$
 
et donc, $\left\lbrace\begin{array}{lcr} 3z-2t &=& -2x+y-14\\ 3z-t &=& -x-2y-6\end{array}\right.\;\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcrr} -3z+2t &=& 2x-y+14 & (1')\\ 3z-t &=& -x-2y-6 & (2')\end{array}\right.$

En additionnant les équations (1') et (2') on obtient : $t=x-3y+8.$

Remplaçons l'expression de $t$ dans l'équation (2').
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} 3z-t=-x-2y-6 &\Rightarrow& 3z-x+3y-8=-x-2y-6 \\ \\&\Rightarrow& 3z=x-3y+8-x-2y-6 \\ \\ &\Rightarrow& z=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}y \end{array}$

Prenons maintenant le système dérivé composé des équations (3) et (4) et remplaçons $z$ et $t$ par leur expression.

On a : $\left\lbrace\begin{array}{lcrr} 4x-3y-z+2t &=& -4 & (3)\\ 3x-2y+z-3t &=& -18 & (3) \end{array}\right.$

alors, $\left\lbrace\begin{array}{lcr} 4x-3y-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{3}y+2x-6y+16 &=& -4\\3x-2y+\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}y-3x+9y-24 &=& -18\end{array}\right.$
 
$\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcr} \dfrac{18x-22y}{3} &=& -16-4+\dfrac{2}{3}\\ \\ \dfrac{16y}{3} &=& -18+24-\dfrac{2}{3} \end{array}\right.$
 
$\Rightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcrr} 18x-22y &=& -58 & (3')\\16y &=&  16 & (4')\end{array}\right.$

L'équation (4') nous donne : $y=1.$

En remplaçant la valeur de $y$ dans l'équation (3') on obtient : $18x=-36\;\Rightarrow\;x=-2.$

Enfin, nous remplaçons les valeurs de $x$ et $y$ dans les expressions de $z$ et $t.$

Ce qui donne : $z=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}=-1$ et $t=-2-3+8=3$ d'où, $$S=\{(-2\;,\ 1\;,\ -1\;,\ 3)\}$$
Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

1

J'adore,c'est blametastique

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