Étude de fonctions - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Ensemble de définition (domaine de définition)

 Si f est une fonction polynôme ; Df=R
 
 f(x)=A(x)B(x) ; f(x) exixte B(x)0
 
 f(x)=A(x) ; f(x) existe A(x)0
 
 f(x)=A(x)B(x) ; f(x)= exixte {B(x)0A(x)B(x)0

II. Éléments de symétrie

Soit f une fonction sur un ensemble D et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, ij)

 Centre de symétrie

le point A(a, b) est centre de symétrie de la courbe (Cf) si pour tout xD, alors (2ax)D et f(2ax)+f(x)=2b.

 Axe de symétrie

La droite (D) d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe (Cf) si pour tout xD, alors (a+x)D, (ax)D et f(a+x)=f(ax).

III. Limites

 limtes de fonctions usuelles

lim

\bullet\ \text{Limites de fonctions polynôme}

\boxed{\text{La limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.}}

Exemple : 

\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}x^{3}-2x^{2}-3x-5=\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}x^{3}=-\infty
 
\bullet\ \text{Limte d'une fraction rationnelle}
 
\boxed{\text{La limite en}\square\square\square\square\text{ d'une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes) est celle}\\\text{du quotient simplifié des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur}}

Exemple : 

\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}+2x-7}{x^{3}-4x^{2}-1}&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}}{x^{3}}\nonumber\\\\&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5}{x}\nonumber\\\\&=&0 \end{eqnarray}

\bullet\ \text{Formes indéterminées}

Les quatre formes de limites suivantes sont dites indéterminées:
 
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline <<+\infty-\infty>>&<<0\times\infty>>&<<\dfrac{\infty}{\infty}>>&<<\dfrac{0}{0}>>\\ \hline \end{array}
 
Face à ces formes indéterminées, il convient de transformer l'expression de la fonction pour lever l'indétermination.

IV. Asymptotes

\bullet\ \text{Asymptote verticale}

\text{Si}\lim\limits_{x\longrightarrow\alpha}f(x)=\pm\infty\text{ alors la droite d'équation }x=\alpha\text{ est une asympote verticale à la courbe}\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty.

\bullet\ \text{Asympotes horizontale}

\text{si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=b\text{ est une asymptote horizontale à la courbe }\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty

\bullet\ \text{Asymptite oblique}

\text{Si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=ax+b\text{ est une asymptote oblique à la courbe }\lef\mathcal{C_{f}}\text{ en }+\infty\text{ et en}-\infty

V. Dérivées

u et v sont deux fonctions dérivables, k une constante et n un entier naturel
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Fonction}&\text{Dérivée}&\text{Condition d'existence}\\ \hline k&0&&\\ \hline x&1&&\\ \hline x^{n}&nx^{n-1}&x\neq 0\text{ si }n<0\\ \hline u+v&u^{\prime}+v^{\prime}&&\\ \hline ku&ku^{\prime}&&\\ \hline u\times v&u^{\prime}v+v^{\prime}u&&\\ \hline \dfrac{u}{v}&\dfrac{u^{\prime}v-v^{\prime}u}{v^{2}}&v\neq 0\\ u^{n}&nu^{\prime}u^{n-1}&u\neq 0\text{ si }<0\\ \hline \end{array}

\bullet\ \text{Equation de la tangente}

Si f est une fonction dérivable en un point x_{0}, alors la courbe représentative de la fonction f \left(\text{notée }\mathcal{C}_{f}\right) admet au point d'abscisse x_{0} une tangente.
 
L'équation de cette tangente est donnée par
\boxed{y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)}

 

Commentaires

Je souhaite obtenir le cours comme support… Merci et cordialement

il y'a une erreur sur l'asymptote horizontale c'est pas ça

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