Étude de fonctions - 1er L
Classe:
Première
I. Ensemble de définition (domaine de définition)
∙ Si f est une fonction polynôme ; Df=R
∙ f(x)=A(x)B(x) ; f(x) exixte ⇔B(x)≠0
∙ f(x)=√A(x) ; f(x) existe ⇔A(x)≥0
∙ f(x)=√A(x)B(x) ; f(x)= exixte ⇔{B(x)≠0A(x)B(x)≥0
II. Éléments de symétrie
Soit f une fonction sur un ensemble D et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i→j)
∙ Centre de symétrie
le point A(a, b) est centre de symétrie de la courbe (Cf) si pour tout x∈D, alors (2a−x)∈D et f(2a−x)+f(x)=2b.
∙ Axe de symétrie
La droite (D) d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe (Cf) si pour tout x∈D, alors (a+x)∈D, (a−x)∈D et f(a+x)=f(a−x).
III. Limites
∙ limtes de fonctions usuelles
lim
\bullet\ \text{Limites de fonctions polynôme}
\boxed{\text{La limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.}}
Exemple :
\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}x^{3}-2x^{2}-3x-5=\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}x^{3}=-\infty
\bullet\ \text{Limte d'une fraction rationnelle}
\boxed{\text{La limite en}\square\square\square\square\text{ d'une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes) est celle}\\\text{du quotient simplifié des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur}}
Exemple :
\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}+2x-7}{x^{3}-4x^{2}-1}&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}}{x^{3}}\nonumber\\\\&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5}{x}\nonumber\\\\&=&0 \end{eqnarray}
\bullet\ \text{Formes indéterminées}
Les quatre formes de limites suivantes sont dites indéterminées:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline <<+\infty-\infty>>&<<0\times\infty>>&<<\dfrac{\infty}{\infty}>>&<<\dfrac{0}{0}>>\\ \hline \end{array}
Face à ces formes indéterminées, il convient de transformer l'expression de la fonction pour lever l'indétermination.
IV. Asymptotes
\bullet\ \text{Asymptote verticale}
\text{Si}\lim\limits_{x\longrightarrow\alpha}f(x)=\pm\infty\text{ alors la droite d'équation }x=\alpha\text{ est une asympote verticale à la courbe}\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty.
\bullet\ \text{Asympotes horizontale}
\text{si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=b\text{ est une asymptote horizontale à la courbe }\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty
\bullet\ \text{Asymptite oblique}
\text{Si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=ax+b\text{ est une asymptote oblique à la courbe }\lef\mathcal{C_{f}}\text{ en }+\infty\text{ et en}-\infty
V. Dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables, k une constante et n un entier naturel
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Fonction}&\text{Dérivée}&\text{Condition d'existence}\\ \hline k&0&&\\ \hline x&1&&\\ \hline x^{n}&nx^{n-1}&x\neq 0\text{ si }n<0\\ \hline u+v&u^{\prime}+v^{\prime}&&\\ \hline ku&ku^{\prime}&&\\ \hline u\times v&u^{\prime}v+v^{\prime}u&&\\ \hline \dfrac{u}{v}&\dfrac{u^{\prime}v-v^{\prime}u}{v^{2}}&v\neq 0\\ u^{n}&nu^{\prime}u^{n-1}&u\neq 0\text{ si }<0\\ \hline \end{array}
\bullet\ \text{Equation de la tangente}
Si f est une fonction dérivable en un point x_{0}, alors la courbe représentative de la fonction f \left(\text{notée }\mathcal{C}_{f}\right) admet au point d'abscisse x_{0} une tangente.
L'équation de cette tangente est donnée par
\boxed{y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)}
Commentaires
Barro Ndiogou (non vérifié)
lun, 03/20/2023 - 22:45
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Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/13/2025 - 12:19
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