Étude de fonctions - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Ensemble de définition (domaine de définition)

$\bullet\ $Si $f$ est une fonction polynôme ; $D_{f}=\mathbb{R}$
 
$\bullet\ f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}\ ;\ f(x)\text{ exixte }\Leftrightarrow\;B(x)\neq 0$
 
$\bullet\ f(x)=\sqrt{A(x)}\ ;\ f(x)\text{ existe }\Leftrightarrow\;A(x)\geq 0$
 
$\bullet\ f(x)=\sqrt{\dfrac{A(x)}{B(x)}}\ ;\ f(x)=\text{ exixte }\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} B(x)&\neq&0\\\\ \dfrac{A(x)}{B(x)}&\geq&0 \end{array}\right.$

II. Éléments de symétrie

Soit $f$ une fonction sur un ensemble $\mathfrak{D}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\, \vec{j}\right)$

$\bullet\ \text{Centre de symétrie}$

le point $A(a\;,\ b)$ est centre de symétrie de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ si pour tout $x\in\mathfrak{D}$, alors $(2a-x)\in\mathfrak{D}$ et $f(2a-x)+f(x)=2b.$

$\bullet\ \text{Axe de symétrie}$

La droite $\mathfrak{(D)}$ d'équation $x=a$ est axe de symétrie de la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ si pour tout $x\in\mathfrak{D}$, alors $(a+x)\in\mathfrak{D}$, $(a-x)\in\mathfrak{D}$ et $f(a+x)=f(a-x).$

III. Limites

$\bullet\ \text{limtes de fonctions usuelles}$

$$\begin{array}{|l|c|c||c|} \hline \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}=+\infty&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{2}=+\infty&\lim\limits_{ \rightarrow +\infty}x^{3}=+\infty&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^{3}=-\infty\\ \hline \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0&\lim \limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0&\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}=+\infty&\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}=-\infty\\ \hline \end{array}$$

$\bullet\ \text{Limites de fonctions polynôme}$

$\boxed{\text{La limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.}}$

Exemple : 

$\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}x^{3}-2x^{2}-3x-5=\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}x^{3}=-\infty$
 
$\bullet\ \text{Limte d'une fraction rationnelle}$
 
$\boxed{\text{La limite en}\square\square\square\square\text{ d'une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes) est celle}\\\text{du quotient simplifié des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur}}$

Exemple : 

\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}+2x-7}{x^{3}-4x^{2}-1}&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5x^{2}}{x^{3}}\nonumber\\\\&=&\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{-5}{x}\nonumber\\\\&=&0 \end{eqnarray}

$\bullet\ \text{Formes indéterminées}$

Les quatre formes de limites suivantes sont dites indéterminées:
 
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline <<+\infty-\infty>>&<<0\times\infty>>&<<\dfrac{\infty}{\infty}>>&<<\dfrac{0}{0}>>\\ \hline \end{array}$
 
Face à ces formes indéterminées, il convient de transformer l'expression de la fonction pour lever l'indétermination.

IV. Asymptotes

$\bullet\ \text{Asymptote verticale}$

$\text{Si}\lim\limits_{x\longrightarrow\alpha}f(x)=\pm\infty\text{ alors la droite d'équation }x=\alpha\text{ est une asympote verticale à la courbe}\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty.$

$\bullet\ \text{Asympotes horizontale}$

$\text{si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=b\text{ est une asymptote horizontale à la courbe }\left(\mathcal{C_{f}}\right)\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty$

$\bullet\ \text{Asymptite oblique}$

$\text{Si }\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\text{ alors la droite d'équation }y=ax+b\text{ est une asymptote oblique à la courbe }\lef\mathcal{C_{f}}\text{ en }+\infty\text{ et en}-\infty$

V. Dérivées

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, $k$ une constante et $n$ un entier naturel
$$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Fonction}&\text{Dérivée}&\text{Condition d'existence}\\ \hline k&0&&\\ \hline x&1&&\\ \hline x^{n}&nx^{n-1}&x\neq 0\text{ si }n<0\\ \hline u+v&u^{\prime}+v^{\prime}&&\\ \hline ku&ku^{\prime}&&\\ \hline u\times v&u^{\prime}v+v^{\prime}u&&\\ \hline \dfrac{u}{v}&\dfrac{u^{\prime}v-v^{\prime}u}{v^{2}}&v\neq 0\\ u^{n}&nu^{\prime}u^{n-1}&u\neq 0\text{ si }<0\\ \hline \end{array}$$

$\bullet\ \text{Equation de la tangente}$

Si $f$ est une fonction dérivable en un point $x_{0}$, alors la courbe représentative de la fonction $f$ $\left(\text{notée }\mathcal{C}_{f}\right)$ admet au point d'abscisse $x_{0}$ une tangente.
 
L'équation de cette tangente est donnée par
$$\boxed{y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)}$$

 

Commentaires

Barro Ndiogou (non vérifié)

lun, 03/20/2023 - 22:45

Je souhaite obtenir le cours comme support… Merci et cordialement

Anonyme (non vérifié)

jeu, 02/13/2025 - 12:19

il y'a une erreur sur l'asymptote horizontale c'est pas ça

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