Angle inscrit - Angle au centre - 3e
Classe:
Troisième
I. Rappels
⋅ Angles alternes internes
On appelle angles alternes-internes deux angles situés de part et d'autre d'une sécante à deux droites parallèles et à l'intérieur de la région délimitée par les deux parallèles.
^x′Mz′ et ^yNz sont deux angles alternes-internes.
Ainsi, ^x′Mz′=^yNz
⋅ Angles supplémentaires
Deux angles sont dits angles supplémentaires si la somme de leur mesure est égale à la mesure d'un angle plat.
Ainsi, ^xOz+^yOz est égale à 180∘.
Elles sont deux angles supplémentaires.
⋅ Quadrilatère convexe
On appelle quadrilatère convexe, un quadrilatère dont les diagonales sont totalement à l'intérieur de la surface délimitée par le quadrilatère.
ABCD est un quadrilatère convexe
⋅ Le cercle
On appelle cercle de centre O et de rayon r noté C(O; r), l'ensemble des points d'un plan équidistants du point O de ce plan.
⋅ Corde
C'est un segment qui a pour extrémité deux points d'un cercle. [AB] est une corde de C.
Si la corde contient le point centre du cercle alors elle est appelée diamètre.
⋅ Arc de cercle
La corde [AB] divise le cercle en deux parties appelées arcs de cercle : le petit arc noté ⌢AB est l'arc de cercle saillant et grand arc noté ⌣AB est l'arc de cercle rentrant.
II. Angles inscrits
On appelle angle inscrit dans un cercle, un angle dont :
− le sommet est un point du cercle
− ses côtés recoupent le cercle
^BAC, ^BMC et ^BNC sont des angles inscrits dans C
Remarque : angle inscrit limite
^BAx est un angle inscrit limite.
III. Angle au centre
On appelle angle au centre, un angle dont le sommet est le centre d'un cercle.
^BOC et BˇOC sont des angles au centre dans C
IV. Angle inscrit et angle au centre associé (correspondant)
IV.1 Arc intercepté
On appelle arc intercepté par un angle inscrit (ou un angle au centre) dans un cercle, l'arc de cercle contenu dans le secteur angulaire défini par l'angle.
⌢BC et ⌢MN sont les arcs interceptés respectivement par ^BAC et ^MON
IV.2 Définition
On appelle angle inscrit et angle au centre associé dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre du cercle interceptant le même arc.
^BAC et ^BOC sont dits angle inscrit et angle au centre associé.
IV.3 Relation entre un angle inscrit et un angle au centre associé
a) cas où un côté de l'angle inscrit est diamètre
On a OAC un triangle isocèle en O alors, ^BAC=^OCA
et comme ^BAC+^OCA+^AOC=180∘
^AOC+^BOC=180∘
donc, ^BAC+^BAC+^AOC=^AOC+^BOC
D'où, 2^BAC=^BOC
b) cas où le point O est à l'intérieur du secteur angulaire
Soit T∈C(O; r) tel que [AT] diamètre de C.
On aura : 2^BAT=^BOT et 2^TAC=^TOC
Donc, 2(^BAT+^TAC)=^BOT+^TOC
Or, ^BAT+^TAC=^BAC et ^BOT+^TOC=^BOC
D'où, 2^BAC=^BOC
c) cas où le point O est extérieur au secteur angulaire
Soit T∈C(O; r) tel que [TA] diamètre de C.
On aura : 2^BAT=^BOT et 2^CAT=^COT
Alors, 2^BAT−2^CAT=^BOT−^COT
Donc, 2(^BAT−^CAT)=^BOT−^COT
Or, ^BAT−^CAT=^BAC et ^BOT−^COT=^BOC
D'où, 2^BAC=^BOC
d) cas de l'angle inscrit limite
On a : OAB un triangle isocèle en O alors, ^OAB=^OBA
et comme ^AOB+^OAB+^OBA=180∘
donc, ^AOB+2^OAB=180∘
Ainsi, ^AOB=180∘−2^OAB
De plus on a : ^AOB=360∘−AˇOB
Aar suite, 180∘−2^OAB=360∘−AˇOB
AˇOB=180∘+2^OAB
AˇOB=2(90∘+^OAB)
Or, 90∘+^OAB=^BAx
D'où, AˇOB=2^BAx
⋅ Énoncé du théorème
Dans un cercle, le double de l'angle inscrit est égal à la mesure de son angle au centre associé. Si ^BAC un angle inscrit dans un cercle C et ^BOC son angle au centre associé, alors 2^BAC=^BOC
V. Angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle
Soient ^BAC, ^BMC et ^BNC trois angles inscrits dans un cercle C(O; r)
On a : ^BAC, ^BMC et ^BNC trois angles inscrits dans un cercle C ayant pour angle au centre associé ^BOC.
Alors, 2^BAC=^BOC, 2^BMC=^BOC et 2^BNC=^BOC
Donc, 2^BAC=2^BMC=2^BNC
D'où, ^BAC=^BMC=^BNC
⋅ Énoncé du théorème
Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure.
Si ^BAC et ^BMC deux angles inscrits dans C, alors ^BAC=^BMC
VI. Théorèmes complémentaires
VI.1 Triangle inscrit dans un cercle ayant un côté comme diamètre
Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle C(O; r) tel que [BC] diamètre de C.
On a ^BAC un angle inscrit dans C ayant pour angle au centre associé ^BOC.
Alors, 2^BAC=^BOC
et comme ^BOC=180∘
donc, 2^BAC=180∘
D'où, ^BAC=90∘
⋅ Énoncé du théorème
Si un triangle est inscrit dans un cercle et ayant un côté comme diamètre, alors c'est un triangle rectangle d'hypoténuse, le côté représentant le diamètre.
Si {ABC triangle C(O; r)=C(ABC)O est milieu de [BC]alors, ABC est rectangle en A
Réciproque :
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse.
Si {ABC triangle rectangle en AC(O; r)=C(ABC)alors, O est milieu de [BC]
VI.2 Quadrilatère convexe inscrit dans un cercle
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle C(O; r)
On a ^BAD et ^BOD respectivement angle inscrit et angle au centre associé ; alors 2^BAD=^BOD.
De même, on a ^BCD et BˇOD angle inscrit et angle au centre associé respectivement ; alors 2^BCD=BˇOD
et comme ^BOD+BˇOD=360∘
donc 2^BAD+2^BCD=360∘
D'où ^BAD+^BCD=180∘
⋅ Énoncé du théorème
Si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors les angles opposés sont supplémentaires.
Si {ABCD un quadrilatère convexe C(O; r)=C(ABCD)alors, {^BAD+^BCD=180∘^ABC+^ADC=180∘
Réciproque :
Si un quadrilatère convexe a deux angles opposés supplémentaires, alors il est inscriptible dans un cercle.
Si {ABCD un quadrilatère convexe ^BAD+^BCD=180∘alors, C(ABCD)
VII. Longueur d'un arc de cercle
Soient ^MON et ^ROS deux angles au centre de valeurs respectives α∘ et θ∘ d'un cercle ; ℓ et ℓ′ les longueurs des arcs de cercle interceptés respectivement par ^MON et ^ROS dans le cercle.
ℓ et ℓ′ sont respectivement proportionnelles à α∘ et θ∘.
On aura : ℓℓ′=α∘θ∘
en posant θo=360∘ ; c'est à dire ℓ′=2πr alors, ℓ2πr=α∘360∘
Donc, ℓ=2πr×α∘360∘ ou encore ℓ=πr×α∘180∘
Remarque : Angles inscrits interceptant les arcs de même longueur dans un cercle
On a ℓ=2πr×α∘360∘ et ℓ′=2πr×θ∘360∘
En posant ℓ=ℓ′ on obtient : 2πr×α∘360∘=2πr×θ∘360∘
Donc, α∘=θ∘
et comme 2x=α∘ et 2y=θ∘
alors, 2x=2y
D'où, x=y
⋅ Énoncé du théorème
Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant deux arcs de mêmes longueurs ont la même mesure.
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Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/27/2019 - 21:17
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C bien c cours et merci pour
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/27/2019 - 21:17
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Oui t a raison
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/16/2020 - 20:51
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qu est ce qui justifie ce que
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/16/2020 - 20:51
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qu est ce qui justifie ce que
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