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Angles - Trigonométrie - 2nd

Classe:

Seconde

Activité :

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A.$

$H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$ et $I$ celui de la hauteur issue de $H$ dans $AHC.$

1) Déterminer les angles égaux à $\widehat{ABC}$

2) Déterminer les angles égaux à $\widehat{ACB}$

3) Déterminer $\cos\widehat{ABC}$ de différentes manières de même que $\sin\widehat{ACB}$

Résolution

1) Déterminons les angles égaux à $\widehat{ABC}$

$\widehat{ABC}=\widehat{IHC}$ car ils sont correspondants

$\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ car $\ \left\lbrace\begin{array}{ccc}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ} \\ \widehat{HAC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ}\end{array}\right.$

2) Déterminons les angles égaux à $\widehat{ACB}$

$\widehat{ACB}=\widehat{AHI}=\widehat{BAH}$

3) $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BA}{BC}\;,\quad\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}\;,\quad\sin\widehat{ACB}=\dfrac{HI}{HC}$

I. Secteurs angulaires

I.1 Définitions

Deux demi-droites de même origine $[Ox)$ et $[Oy)$ divisent le plan en deux parties : le secteur angulaire saillant noté $\widehat{xOy}$ et le secteur angulaire rentrant noté $\overset{\displaystyle\vee}{xOy}.$

I.2 Les unités de mesure

Les unités de mesure sont le radian, le degré et le grade. $$180^{o}=\pi\: rd=200\: grades$$

Exemple

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Degré}&\text{Radian}&\text{Grades} \\ \hline 30^{\circ}&\pi/6&100/3 \\ \hline 45^{\circ}&\pi/4&50 \\ \hline 60^{\circ}&\pi/3&200/3 \\ \hline 90^{\circ}&\pi/2&100 \\ \hline 135^{\circ}&3\pi/4&150 \\ \hline\end{array}$$

La longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est donnée par $\ell=\alpha .R$.

II. Angles géométriques

II.1 Définitions

Soient $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites, on appelle angle géométrique la mesure du secteur angulaire saillant $\widehat{xOy}.$

II.2 Angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet

Soient deux droites $(D)$ et $(D')$ parallèles et $(L)$ une droite sécante à $(D)$ et à $(D')$ en $A$ et $B$ respectivement.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{2}AB}$ et $\widehat{ABB_{1}}$ sont alternes internes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{1}AB}$ et $\widehat{B_{2}BA}$ sont alternes internes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{3}AA_{1}}$ et $\widehat{B_{2}BB_{3}}$ sont alternes externes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{1}AB}$ et $\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont correspondants, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{B_{2}BA}$ et $\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont opposés par le sommet, donc sont égaux.

II.3 Angles au centre et angles inscrits

$T$ la tangente à $(\mathcal{C})$ en $A$

$\widehat{TAB}=\widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$

$\centerdot\ \ \widehat{AMB}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ et $\widehat{AOB}$ est un angle au centre qui intercepte l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$.

$\widehat{AMB}=\alpha+\beta$

$\widehat{AOB}=2\alpha+2\beta=2(\alpha+\beta)=2\widehat{AMB}$

D'où, l'angle au centre est égal au double de l'angle inscrit s'ils interceptent le même arc.

$\centerdot\ \ \widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, sont donc égaux.

III. Angles orientés

III.1 Orientation du plan

Considérons un cercle $\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. $A$, $\ B$, $\ C$ des points de $\mathcal{C}.$

De $A$, on peut parcourir le cercle en se dirigeant vers $B$ ou vers $C.$

On appelle sens positif le sens qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre et le sens négatif, le sens des aiguilles d'une montre.

III.2 Angles orientés de vecteurs

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs, $O$ un point du plan, $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites telles que $\vec{u}$ soit un vecteur directeur de $[Ox)$ et $\vec{v}$ celui de $[Oy).$

L'angle orienté des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ noté $(\vec{u},\ \vec{v})$ est égal à l'angle orienté de demi-droites $\left([Ox),\ [Oy)\right)$ qui est orienté de $[Ox)$ vers $[Oy).$

On a : $(\vec{u},\ \vec{v})=\left(\widehat{[Ox),\ [Oy)}\right)$

III.3 Propriétés

$\centerdot\ \ (\vec{u},\ \vec{v})=-(\vec{v},\ \vec{u})$

$\centerdot\ \ (k\vec{u},\ k\vec{v})=(\vec{u},\ \vec{v}) \quad \forall \;k\neq 0$

$\centerdot\ \ (\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{w})=(\vec{u},\ \vec{w})$

$\centerdot\ \ (-\vec{u},\ \vec{v})=(\vec{u},\ -\vec{v})=\pi -(\vec{u},\ \vec{v})$

$\centerdot\ \ (-\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{u})=\pi$

IV. Trigonométrie

IV.1 Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon $1.$

Nous avons :

$\cos\alpha=\dfrac{OH}{OM}=OH$, $\qquad$ $\sin\alpha=\dfrac{ON}{OM}=ON$

$-1\leq\cos\alpha\leq 1$, $\qquad$ $-1\leq\sin\alpha\leq 1$

$OH^{2}+HM^{2}=\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =OM^{2}=1$

Donc, $$\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha=1$$

cosinus et sinus des angles remarquables

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\
\hline
\sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\hline
\cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline
\tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \\
\hline
\end{array}$$

IV.2 Mesure principale d'un angle

Pour un point donné du cercle, on a une infinité de mesures.

Si $\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha$ alors, $\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha + 2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$

$\centerdot\ \ $ De ces mesures, celle qui appartient à $]-\pi;\ \pi]$ est appelée la mesure principale de l'angle.

$\centerdot\ \ $ Si deux réels $\alpha$ et $\beta$ sont les mesures d'un même point alors, $\alpha$ et $\beta$ différent d'un multiple entier de $2\pi$ ; $\ \alpha -\beta=2k\pi.$

Exemple

Déterminer la mesure principale de $\dfrac{25\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}$

Résolution

Soit $\alpha$ la mesure principale alors, $-\pi<\alpha\leq\pi$ et soit $k\in\mathbb{Z}$

Posons $\dfrac{25\pi}{3}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{25\pi}{3}-2k\pi$ alors on a : $$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{25\pi}{3}-2k\pi &\leq &\pi \\ -\pi-\dfrac{25\pi}{3}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{25\pi}{3} \\ \dfrac{25\pi}{3}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{25\pi}{3}+\pi \\ 7.33&\leq &2k &<&9.33 \\ 3.66 &\leq& k& <& 4.66 \end{array}$$

On obtient : $k=4\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{3}$

Posons $\dfrac{77\pi}{4}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi$ alors on a : $$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{77\pi}{4}-2k\pi&\leq &\pi \\ -\pi-\dfrac{77\pi}{4}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{77\pi}{4} \\ \dfrac{77\pi}{4}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{77\pi}{4}+\pi \\ 18.25&\leq &2k &<&20.25 \\ 9.125 &\leq &k &< &10.125 \end{array}$$

On obtient : $k=10\;\Rightarrow\;\alpha=-\dfrac{3\pi}{4}$

IV.3 Angles associés et relations trigonométriques

Soit le cercle trigonométrique $\mathcal{C}(O,\ 1)$

IV.3.1 Expressions en fonction de $\cos\alpha$ ou $\sin\alpha$

$\cos(\alpha +2k\pi)=\cos\alpha$

$\sin(\alpha +2k\pi)=\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$

Exercice d'application

Donner les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}$

Résolution

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{2\pi}{3} &=& \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ \\ &=& -\cos\dfrac{\pi}{3} \\ \\ &=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{2\pi}{3} &=& \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{3} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{25\pi}{4} &=& \cos\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ \\ &=& \cos\dfrac{\pi}{4} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{25\pi}{4} &=& \sin\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{4} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$