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Angles - Trigonométrie - 2nd

Classe:

Seconde

Activité :

Soit

$ABC$ un triangle rectangle en

$A.$

$H$ le pied de la hauteur issue de

$A$ dans

$ABC$ et

$I$ celui de la hauteur issue de

$H$ dans

$AHC.$

1) Déterminer les angles égaux à

$\widehat{ABC}$

2) Déterminer les angles égaux à

$\widehat{ACB}$

3) Déterminer

$\cos\widehat{ABC}$ de différentes manières de même que

$\sin\widehat{ACB}$

Résolution

1) Déterminons les angles égaux à

$\widehat{ABC}$

$\widehat{ABC}=\widehat{IHC}$ car ils sont correspondants

$\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ car

$\ \left\lbrace\begin{array}{ccc}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ} \\ \widehat{HAC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ}\end{array}\right.$

2) Déterminons les angles égaux à

$\widehat{ACB}$

$\widehat{ACB}=\widehat{AHI}=\widehat{BAH}$

$\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BA}{BC}\;,\quad\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}\;,\quad\sin\widehat{ACB}=\dfrac{HI}{HC}$

I. Secteurs angulaires

I.1 Définitions

Deux demi-droites de même origine

$[Ox)$ et

$[Oy)$ divisent le plan en deux parties : le secteur angulaire saillant noté

$\widehat{xOy}$ et le secteur angulaire rentrant noté

$\overset{\displaystyle\vee}{xOy}.$

I.2 Les unités de mesure

Les unités de mesure sont le radian, le degré et le grade.

$180^{o}=\pi\: rd=200\: grades$

Exemple

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Degré}&\text{Radian}&\text{Grades} \\ \hline 30^{\circ}&\pi/6&100/3 \\ \hline 45^{\circ}&\pi/4&50 \\ \hline 60^{\circ}&\pi/3&200/3 \\ \hline 90^{\circ}&\pi/2&100 \\ \hline 135^{\circ}&3\pi/4&150 \\ \hline\end{array}$

La longueur de l'arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est donnée par

$\ell=\alpha .R$ .

II. Angles géométriques

II.1 Définitions

Soient

$[Ox)$ et

$[Oy)$ deux demi-droites, on appelle angle géométrique la mesure du secteur angulaire saillant

$\widehat{xOy}.$

II.2 Angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet

Soient deux droites

$(D)$ et

$(D')$ parallèles et

$(L)$ une droite sécante à

$(D)$ et à

$(D')$ en

$A$ et

$B$ respectivement.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{2}AB}$ et

$\widehat{ABB_{1}}$ sont alternes internes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{1}AB}$ et

$\widehat{B_{2}BA}$ sont alternes internes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{3}AA_{1}}$ et

$\widehat{B_{2}BB_{3}}$ sont alternes externes, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{A_{1}AB}$ et

$\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont correspondants, donc sont égaux.

$\centerdot\ \ \widehat{B_{2}BA}$ et

$\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont opposés par le sommet, donc sont égaux.

II.3 Angles au centre et angles inscrits

$T$ la tangente à

$(\mathcal{C})$ en

$A$

$\widehat{TAB}=\widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$

$\centerdot\ \ \widehat{AMB}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ et

$\widehat{AOB}$ est un angle au centre qui intercepte l'arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ .

$\widehat{AMB}=\alpha+\beta$

$\widehat{AOB}=2\alpha+2\beta=2(\alpha+\beta)=2\widehat{AMB}$

D'où, l'angle au centre est égal au double de l'angle inscrit s'ils interceptent le même arc.

$\centerdot\ \ \widehat{AMB}$ et

$\widehat{ANB}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ , sont donc égaux.

III. Angles orientés

III.1 Orientation du plan

Considérons un cercle

$\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

$A$ ,

$\ B$ ,

$\ C$ des points de

$\mathcal{C}.$

$A$ , on peut parcourir le cercle en se dirigeant vers

$B$ ou vers

$C.$

On appelle sens positif le sens qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre et le sens négatif, le sens des aiguilles d'une montre.

III.2 Angles orientés de vecteurs

Soient

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ deux vecteurs,

$O$ un point du plan,

$[Ox)$ et

$[Oy)$ deux demi-droites telles que

$\vec{u}$ soit un vecteur directeur de

$[Ox)$ et

$\vec{v}$ celui de

$[Oy).$

L'angle orienté des vecteurs

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ noté

$(\vec{u},\ \vec{v})$ est égal à l'angle orienté de demi-droites

$\left([Ox),\ [Oy)\right)$ qui est orienté de

$[Ox)$ vers

$[Oy).$

On a :

$(\vec{u},\ \vec{v})=\left(\widehat{[Ox),\ [Oy)}\right)$

III.3 Propriétés

$\centerdot\ \ (\vec{u},\ \vec{v})=-(\vec{v},\ \vec{u})$

$\centerdot\ \ (k\vec{u},\ k\vec{v})=(\vec{u},\ \vec{v}) \quad \forall \;k\neq 0$

$\centerdot\ \ (\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{w})=(\vec{u},\ \vec{w})$

$\centerdot\ \ (-\vec{u},\ \vec{v})=(\vec{u},\ -\vec{v})=\pi +(\vec{u},\ \vec{v})$

$\centerdot\ \ (-\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{u})=\pi$

IV. Trigonométrie

IV.1 Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre

$O$ et de rayon

$1.$

Nous avons :

$\cos\alpha=\dfrac{OH}{OM}=OH$ ,

$\qquad$

$\sin\alpha=\dfrac{ON}{OM}=ON$

$-1\leq\cos\alpha\leq 1$ ,

$\qquad$

$-1\leq\sin\alpha\leq 1$

$OH^{2}+HM^{2}=\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =OM^{2}=1$

Donc,

$\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha=1$

cosinus et sinus des angles remarquables

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ \hline \sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline \tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \\ \hline \end{array}$

IV.2 Mesure principale d'un angle

Pour un point donné du cercle, on a une infinité de mesures.

$\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha$ alors,

$\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha + 2k\pi$ avec

$k\in\mathbb{Z}$

$\centerdot\ \$ De ces mesures, celle qui appartient à

$]-\pi;\ \pi]$ est appelée la mesure principale de l'angle.

$\centerdot\ \$ Si deux réels

$\alpha$ et

$\beta$ sont les mesures d'un même point alors,

$\alpha$ et

$\beta$ différent d'un multiple entier de

$2\pi$ ;

$\ \alpha -\beta=2k\pi.$

Exemple

Déterminer la mesure principale de

$\dfrac{25\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}$

Résolution

Soit

$\alpha$ la mesure principale alors,

$-\pi<\alpha\leq\pi$ et soit

$k\in\mathbb{Z}$

Posons

$\dfrac{25\pi}{3}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{25\pi}{3}-2k\pi$ alors on a :

$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{25\pi}{3}-2k\pi &\leq &\pi \\ -\pi-\dfrac{25\pi}{3}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{25\pi}{3} \\ \dfrac{25\pi}{3}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{25\pi}{3}+\pi \\ 7.33&\leq &2k &<&9.33 \\ 3.66 &\leq& k& <& 4.66 \end{array}$

On obtient :

$k=4\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{3}$

Posons

$\dfrac{77\pi}{4}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi$ alors on a :

$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{77\pi}{4}-2k\pi&\leq &\pi \\ -\pi-\dfrac{77\pi}{4}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{77\pi}{4} \\ \dfrac{77\pi}{4}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{77\pi}{4}+\pi \\ 18.25&\leq &2k &<&20.25 \\ 9.125 &\leq &k &< &10.125 \end{array}$

On obtient :

$k=10\;\Rightarrow\;\alpha=-\dfrac{3\pi}{4}$

IV.3 Angles associés et relations trigonométriques

Soit le cercle trigonométrique

$\mathcal{C}(O,\ 1)$

IV.3.1 Expressions en fonction de $\cos\alpha$ ou $\sin\alpha$

$\cos(\alpha +2k\pi)=\cos\alpha$

$\sin(\alpha +2k\pi)=\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$

Exercice d'application

Donner les valeurs exactes de

$\cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}$

Résolution

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{2\pi}{3} &=& \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ \\ &=& -\cos\dfrac{\pi}{3} \\ \\ &=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{2\pi}{3} &=& \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{3} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos\dfrac{25\pi}{4} &=& \cos\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ \\ &=& \cos\dfrac{\pi}{4} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sin\dfrac{25\pi}{4} &=& \sin\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{4} \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$