Application et Polynôme - TL

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Terminale
 

1. Vocabulaire

Une fonction polynôme est une fonction P définie sur R par : P(x)=anxn+an1xn1++a1xa0an, an1, , a1, a0 sont des nombres réels et an est différent de 0.
 
Les nombres an;, an1, , a1, a0 sont les coefficients du polynôme.
 
Une expression algébrique de la forme anxn est appelée monôme de degré n.
 
Un polynôme est une somme de monômes.
 
Toute solution de l'équation P(x)=0 est appelée racine du polynôme P.
 
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes.

Exemple :

Soit le polynôme P(x)=4x3x2+8x+1. 
 
P(x) est une somme algébrique de quatre monômes : 4x3, x2, 8x et 1.
 
Ces monômes sont rangés du plus haut au plus bas degré.
 
On dit que P(x) est ordonné suivant les puissances décroissantes de x
 
Le monôme de plus haut degré de P(x) est  et il est de degré 3.
 
On dit P(x) est un polynôme de degré 3.
 
On note degP=3.

2. Développement, Réduction et ordination

Exemple : 

Développer, réduire et ordonner les polynômes, puis indiquer leurs degrés :
 
P(x)=(12x2+3x1)(4x3+6x10)
 
Q(x)=3(x2+2)2(x23)(2x).

Réponses : 

(x)=2x512x4+7x3+13x236x+10.degP=5
 
Q(x)=2x4+3x3+13x29x+18.degQ=4.

3. Égalité de deux polynômes

Propriété : 

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et si les coefficients des monômes de même degré sont égaux.

Exemple : 

P(x)=(x2)2+1 et Q(x)=(x1)2+6(x1)+10
 
Démontrer que P(x)=Q(x).

Réponse : 

Après développement et réduction, on trouve que :
 
P(x)=x2+4x+5 et Q(x)=x2+4x+5.

Exercice d'application

Soient a, b et c des réels.
 
On donne les deux polynômes :
 
P(x)=3x3x29x2 et Q(x)=ax3+(b2a)x2+(c2b)x2c.
 
Trouver a, b et c pour que les deux polynômes soient égaux.

Réponse : 

Les deux polynômes ont même degré, donc d'après la propriété, on doit avoir : 
 
=a ;b2a=1 ;c2b=9 ;2c=2.

4. Factorisation d'un polynôme par (xa)

Théorème : 

Si a est racine du polynôme P(x), alors il existe un polynôme Q(x) tel que pour tout x réel, P(x)=(xa)Q(x)
 
On dit alors que P(x) est factorisable ou divisible par (xa).

Remarque : 

Dans ce cas, degQ=deqP1. On dit que Q est le quotient de la division de P par xa.
 
Méthodes pratiques pour factoriser par (xa)
 
1. méthodes par identification ou méthode des coefficients indéterminés
 
Soit le polynôme P(x)=2x4+x35x+2.
 
On constate que le réel 1 est racine. 
 
En effet : 
 
P(1)=2(1)4+(1)35(1)+2=2+15+2=0.
 
D'après le théorème précédent, il est possible de factoriser P(x) par (x1) et d'après la remarque, le quotient Q(x) est le degré 3, donc de la forme Q(x)=ax3+bx2+cx+d.
 
Pour tout x réel, on a :
 
2x4+x35x+2=(x1)(ax3+bx2+cx+d)=ax4+(ba)x3+(cb)x2+(dc)xd.
 
Ces deux polynômes sont égaux si et seulement si : 
{a=2ba=1cb=0dc=5d=2
 
Soit a=2, b=2, c=3 et b=3
 
Ainsi Q(x)=2x3+3x2+3x3 et P(x)=(x1)(2x3+3x2+3x3)

2. Méthode par division

Reprenons le polynôme défini par : P(x)=2x4+x35x+2
 
Pour obtenir le polynôme Q(x), on utilise la disposition pratique suivante (division euclidienne) : 
2x4+x35x+2x1
 
2x4+2x30+3x35x+23x3+3x20+3x25+23x2+32x+22x202x3+3x2+3x3

3. Méthode de HÖrner

Reprenons toujours le polynôme P(x)=2x4+3x35x+2.
 
Pour montrer que (1)=0 et calculer les coefficients du quotient, on peut disposer les calculs comme dans le tableau qui suit, appelé tableau de Hörner :

4. Systèmes

Notions sur les systèmes d'équations
 
On appelle système de deux équations à deux inconnues x et y tout système de la forme :
{ax+by+c=0ax+by+c=0
 
Résoudre un tel système dans R2, c'est trouver l'ensemble des couples (x, y) de R2 qui vérifient simultanément les deux équations. 
 
Cela se ramène à chercher l'intersection des deux droites du plan d'équations : ax+by+c=0  et  ax+by+c=0. 
 
Celles-ci peuvent être soit sécantes (dans ce cas, le système admet un couple solution unique), soit strictement parallèles (dans ce cas, le système n'admet pas de solution), soit confondues (dans ce cas, le système admet une infinité de solutions).
 
On appelle système de trois  équations à trois inconnues x, y et z tout système de la forme :
{ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0 

Méthodes de résolution

 Pour les systèmes à deux inconnues :

1) Méthode de substitution

Cette méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation et à substituer dans l'autre équation.

Exemple : 

Soit le système :  {x+2y+3=0(1)2xy4=0(2)
 
On isole x dans (1) : x=2y3.
 
On remplace x par 2y3 dans (2) pour obtenir : 
 
2(2y3)y4=0, soit 5y10=0 et donc y=2.
 
Comme x=22y3, on a x=1.
 
Ainsi le couple solution du système est (1, 2).

2) Méthode d'addition ou de combinaisons linéaires

Exemple : 

Reprenons le système :  {x+2y+3=0(1)2xy4=0(2) 
 
 On multiplie l'équation (1) par 2 et l'équation (2) par (1). 
 
On obtient :  :  {2x+4y+6=02x+y+4=0   
 
On additionne, les x s'éliminent : 5y+10=0, soit y=2.
 
 On multiplie l'équation (2) par 2. 
 
On obtient :  {x+2y+3=04x2y8=0   
 
On additionne, les y s'éliminent : 5x5=0, soit x=1.
 
Après vérification (indispensable dans cette méthode !) on conclut que le couple solution du système est (1, 2). 

2) Méthode graphique

Pour résoudre le système, on trace les droites D1  et  D2 d'équations respectives : x+2y+3=0  et  2xy4=0. 
 
Rappelons que pour tracer une droite, il suffit de déterminer les coordonnées (x, y) de deux points de cette droite en donnant à x ou à y des valeurs arbitraires. 
 
Pour D1, on peut prendre les couples (0, 32) et (3, 3). 
 
Pour D2, on peut prendre (2, 0) et (3, 2).
 
On lit sur la figure les coordonnées du point d'intersection qui constituent le couple solution du système
 
 Pour les systèmes à trois  inconnues :
 
Comme pour les  systèmes à deux inconnues, on peut utiliser la méthode de substitution ou la méthode de combinaison, mais on utilise plus fréquemment la méthode du pivot de Gauss. 
 
Celle-ci permet de transformer tout système de trois équations à trois inconnues en un système plus facile à résoudre et qui a les mêmes solutions. 
 
On dit que les deux systèmes sont équivalents.
 
On admet que si l'on fait l'une des opérations suivantes dans un système, on obtient un système équivalent :
 
I. permuter deux lignes,
 
II. multiplier ou diviser une ligne par un réel non nul,
 
III. ajouter ou soustraire à une ligne un multiple d'une autre ligne.
 
Soit à résoudre dans R3 le système :  {3x+y2z=1L12xx3y+8z=16L2x2y+5z=10L3
Opération effectuéeNotationSystème équivalent obtenuOn permute les lignesL1L3{x2y+5z=10L12x3y+8z=16L23x+y2z=1L3L1etL3On soustrait deux foisL2L22×L1{x2y+5z=10L1y2z=4L23x+y2z=1L3la ligne L1 à la  ligne L2On ajoute trois foisL3L3+3×L1{x2y+5z=10L1y2z=4L25y+13z=29L3la ligne L1 à la  ligne L3On ajoute cinq foisL3L3+5×L2{x2y+5z=10L1y2z=4L23z=9L3la ligne L2 à la  ligne L3
 
On obtient alors un système dit triangulaire que l'on résout  facilement.
 
De la dernière équation, on tire z=3, et, en remontant on en déduit que y=2, puis x=1.
 
Conclusion : S={(1, 2, 3)}
 

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Merci le site est tellement bien

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