Bac Maths S1 1er groupe 2015

Soit $\Gamma$ l'ensemble des triplets $T=(p,\ q,\ r)$ d'entiers relatifs, avec $r$ non nul, vérifiant :

$$(E)\ :\ p^{2}+q^{2}=r^{2}$$

 

L'espace euclidien orienté est muni d'un repère orthonormé direct. On fait correspondre à tout $(p,\ q,\ r)$ de $\Gamma$ le point $M$ de coordonnées $(p,\ q,\ 0)$.

Un élément $(p,\ q,\ r)$ de $\Gamma$ est dit non trivial si $p$ et $q$ sont non nuls.

 

1. a. Montrer que $T'=(3,\ 4,\ 5)$ et $T''=(5,\ 12,\ 13)$ sont des éléments de $\Gamma.\qquad 2\times 0.5\; pt$

 

b. Soit $k$ un entier relatif non nul. 

 

Montrer que $T=(p,\ q,\ r)$ est un élément de $\Gamma$ si et seulement si $kT=(kp,\ kq,\ kr)$ est un élément de $\Gamma.\qquad 0.5\; pt$

Un élément $(p,\ q,\ r)$ non trivial de $\Gamma$ est dit irréductible si $p,\ q$ et $r$ sont premiers entre eux.

 

2. Soit $T_{1}$ et $T_{2}$ deux éléments irréductibles de $\Gamma$, $\ M_{1}$ et $M_{2}$ leurs points correspondants respectifs.

 

a. Montrer alors que le triplet $(|\overrightarrow{OM}_{1}\cdot\overrightarrow{OM}_{2}|,\ ||\overrightarrow{OM}_{1}\wedge\overrightarrow{OM}_{2}||,\ ||\overrightarrow{OM}_{1}||\times||\overrightarrow{OM}_{2}||)$ est un élément

de $\Gamma.\qquad 1\; pt$

Dans la suite, ce triplet est noté $T_{1}\ast T_{2}$.

 

b. Vérifier que le triplet $T_{1}\ast T_{2}$ est trivial si et seulement si les droites $(OM_{1})$ et $(OM_{2})$ sont confondues ou perpendiculaires. $\qquad 0.75\; pt$

 

c. En utilisant $T'$ et $T''$, déduire de la question 2.a) trois autres solutions irréductibles de l'équation $(E).\qquad 0.75\; pt$

 

$O$ et $A$ sont deux points distincts du plan euclidien orienté. $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$. $M$ est un point de $(\mathcal{C})$. On pose $\theta=(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})$.

On note $B$ et $C$ les points de $(\mathcal{C})$ tels que $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})=\theta+\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ et $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OC})=2\theta+\pi\ [2\pi]$.

 

1. On note $A'$ le symétrique de $A$ par rapport `a la droite $(OM)$. Montrer que $A'$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$. En déduire une construction de $C$.

Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure. $\qquad 2\times 0.25\; pt$

On prend $OA$ comme unité et on pose $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$. Soit $\vec{v}$ le vecteur tel que $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$ soit un repère orthonormé direct. Dans la suite le plan est supposé rapporté à ce repère.

On note $z,\ b$ et $c$ les affixes respectives des points $M,\ B$ et $C$.

 

2. a. Écrire $z,\ b$ et $c$ sous forme exponentielle puis vérifier que $b=\mathrm{i}z$ et $c=-z^{2}.\qquad 0.75\; pt$

Soit $H$ le point d'affixe $h=1+b+c$.

 

b. Soit $N$ le point d'affixe $1+b$. Construire $N$ puis déduire une construction de $H.\qquad 2\times 0.25\; pt$

 

3. Désormais on suppose que $\theta\neq\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ 

 

a. Justifier que les points $A,\ B$ et $C$ sont distincts deux à deux.

 

Montrer que $\dfrac{z_{\overrightarrow{AH}}}{z_{\overrightarrow{CB}}}=\dfrac{z_{\overrightarrow{CH}}}{z_{\overrightarrow{BA}}}=\dfrac{1+\mathrm{i}z}{1-\mathrm{i}z}$. Vérifier que $\dfrac{1+\mathrm{i}z}{1-\mathrm{i}z}$ est un imaginaire pur. En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC.\qquad 1\; pt$

 

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-\mathrm{i}z-1=0$. On donnera les solutions sous forme exponentielle.

Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle $ABC$ en fonction de $b$ et $c$.

 

En déduire les valeurs de $\theta$ pour que H soit le centre de gravité du triangle $ABC$. Quelle est alors la nature du triangle $ABC$ ? $\qquad 4\times 0.25\; pt$

 

4. Vérifier que lorsque le point $M$ décrit le cercle $(\mathcal{C})$ privé des points d'affixes $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$, le

point $H$ appartient à la courbe $(\mathcal{H})$ d'équations paramétriques : $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& 1-\sin t-\cos 2t \\ y(t) &=& \cos t-\sin 2t\end{array}\right.\qquad\qquad 0.25\; pt$$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ d'unité graphique $2\;cm$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\, 1[$ par :

$$f(x)=1-x^{2}+\ln(1-x)$$

 

1. a. Étudier la fonction $f$ et représenter graphiquement sa courbe $C_{f}$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).\qquad 0.75\; pt$

 

b. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$. Vérifier que $\alpha\in\left[\dfrac{1}{2},\ \beta\right]$

avec $\beta= 1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}.\qquad 0.75\; pt$

 

2. a. Soient $p$ et $q$ les fonctions définies sur $\left[\dfrac{1}{2},\ \beta\right]$ respectivement par :

$p(x)=|f'(x)|$ et $q(x)=|f''(x)|.$

Étudier les variations de $p$ et $q$ et dresser leurs tableaux de variations. $\qquad 0.75\; pt$

 

b. En déduire que : $\forall\; x,\ y \in\left[\dfrac{1}{2},\ \beta\right]\;,\ \dfrac{|f''(x)|}{|f'(y)|}\leq M$ avec $M=\dfrac{\mathrm{e}^{2}+2}{3}.\qquad 0.5\; pt$

 

3. Soit $t$ un élément de $]\alpha,\ 1[$.

 

a. Calculer $\int_{\alpha}^{t}\ln(1-x)\mathrm{d}x.\qquad 0.5\;pt$

 

b. Calculer $\int_{\alpha}^{t}f(x)\mathrm{d}x\;,$ et montrer que $\lim_{t\rightarrow 1^{-}}\int_{\alpha}^{t}f(x)\mathrm{d}x=P(\alpha)$ où $P$ est un polynôme à déterminer. $\qquad 0.75\; pt$

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

 

1. Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v$.

 

Soit $h$ une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant l'intervalle $J=[u,\ v]$, dérivable jusqu'à l'ordre 2 et ayant $u$ comme unique zéro dans $J$. On suppose que $h$ est négative sur $J$

ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 et que $\forall\;x\in J\;, h'(x)\neq 0$.

On considère la fonction $T$ définie sur $J$ par $$T(x)=x-\dfrac{h(x)}{h'(x)}$$

 

a. Soit $a$ un élément de $J$ et $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $C_{h}$ représentative de $h$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

Vérifier que $T(a)$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à $C_{h}$ en $A$ avec l'axe

des abscisses.

Montrer que $T$ est dérivable dans $J$ et monotone ; dresser son tableau de variation. En déduire que $T(J)\subset J.\qquad 1.5\; pt$

On pose $x_{0}=v$ et pour tout entier naturel $n\;,\  x_{n+1}=T(x_{n})$.

 

b. Montrer que la suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie et bornée.

Vérifier qu'elle est monotone, en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite. $\qquad 1.5\; pt$

 

2. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$.

Soit $g$ une fonction définie sur l'intervalle $[a,\ b]$ et deux fois dérivable.

Soit $k$ un réel fixé. on considère la fonction $G$ définie sur $[a,\ b]$ par : $$\forall\;x\in[a,\ b]\;,\ G(x)=g(a)-g(x)-(a-x)g'(x)-\dfrac{1}{2}k(a-x)^{2}$$

 

a. Calculer $G(a)$. Déterminer $k$ pour que $G(b)$ soit égal à 0. $\qquad 1\; pt$

Désormais k prend cette valeur.

 

b. En appliquant le théorème des 

accroissements finis à $G$ dans l'intervalle $[a,\ b]$, montrer qu'il existe un réel $c$ dans $]a,\ b[$ tel que $G'(c)=0$.

En déduire que : $$g(a)=g(b)+(a-b)g'(b)+\dfrac{1}{2}(a-b)^{2}g''(c)\qquad 1\; pt$$

1. a. Démontrer que la fonction $f$ satisfait dans l'intervalle $[\alpha,\ \beta]$, aux hypothèses faites sur la fonction $h$ de la partie B. $\qquad 0.5\; pt$

On considère la suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par son premier terme $x_{0}=\beta$ et pour tout entier naturel $n\;,$ $$x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

 

b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un réel $c_{n}$ dans $]\alpha,\ x_{n}[$ tel que $$f(\alpha)=f(x_{n})+(\alpha-x_{n})f'(x_{n})+\dfrac{1}{2}(\alpha-x_{n})^{2}f''(c_{n})\qquad 0.5\; pt$$

 

c. En déduire que $$(x_{n+1}-\alpha)=(x_{n}-\alpha)^{2}\dfrac{f''(c_{n})}{2f'(x_{n})}\text{ et }x_{n+1}-\alpha\leq\dfrac{M}{2}(x_{n}-\alpha)^{2}\qquad 0.5\; pt$$

 

2. Pour tout entier naturel $n$ on pose : $\delta_{n}=\dfrac{M}{2}(x_{n}-\alpha)$.

 

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$\delta_{n}\leq\delta_{0}^{2^{n}}\leq\left(\dfrac{M}{4}\right)^{2^{n}}$$

 

(Remarquer que $\delta_{0}=\dfrac{M}{2}(\beta-\alpha)\leq\dfrac{M}{4}$) $\qquad 0.5\; pt$

 

b. Déterminer un entier naturel $n$ tel que $x_{n}-\alpha$ soit inférieur à $10^{-5}$ et une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près par excès. $\qquad 1\; pt$