Bac Maths S1 1er groupe 2015
Exercice 1 (4 points)
Soit Γ l'ensemble des triplets T=(p, q, r) d'entiers relatifs, avec r non nul, vérifiant :
(E) : p2+q2=r2
L'espace euclidien orienté est muni d'un repère orthonormé direct. On fait correspondre à tout (p, q, r) de Γ le point M de coordonnées (p, q, 0).
Un élément (p, q, r) de Γ est dit non trivial si p et q sont non nuls.
1. a. Montrer que T′=(3, 4, 5) et T″=(5, 12, 13) sont des éléments de Γ.2×0.5pt
b. Soit k un entier relatif non nul.
Montrer que T=(p, q, r) est un élément de Γ si et seulement si kT=(kp, kq, kr) est un élément de Γ.0.5pt
Un élément (p, q, r) non trivial de Γ est dit irréductible si p, q et r sont premiers entre eux.
2. Soit T1 et T2 deux éléments irréductibles de Γ, M1 et M2 leurs points correspondants respectifs.
a. Montrer alors que le triplet (|→OM1⋅→OM2|, ||→OM1∧→OM2||, ||→OM1||×||→OM2||) est un élément
de Γ.1pt
Dans la suite, ce triplet est noté T1∗T2.
b. Vérifier que le triplet T1∗T2 est trivial si et seulement si les droites (OM1) et (OM2) sont confondues ou perpendiculaires. 0.75pt
c. En utilisant T′ et T″, déduire de la question 2.a) trois autres solutions irréductibles de l'équation (E).0.75pt
Exercice 2 (4 points)
O et A sont deux points distincts du plan euclidien orienté. (C) est le cercle de centre O et de rayon OA. M est un point de (C). On pose θ=(→OA, →OB).
On note B et C les points de (C) tels que (→OA, →OB)=θ+π2 [2π] et (→OA, →OC)=2θ+π [2π].
1. On note A′ le symétrique de A par rapport `a la droite (OM). Montrer que A′ et C sont symétriques par rapport à O. En déduire une construction de C.
Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure. 2×0.25pt
On prend OA comme unité et on pose →u=→OA. Soit →v le vecteur tel que (O; →u, →v) soit un repère orthonormé direct. Dans la suite le plan est supposé rapporté à ce repère.
On note z, b et c les affixes respectives des points M, B et C.
2. a. Écrire z, b et c sous forme exponentielle puis vérifier que b=iz et c=−z2.0.75pt
Soit H le point d'affixe h=1+b+c.
b. Soit N le point d'affixe 1+b. Construire N puis déduire une construction de H.2×0.25pt
3. Désormais on suppose que θ≠π2 [π]
a. Justifier que les points A, B et C sont distincts deux à deux.
Montrer que z→AHz→CB=z→CHz→BA=1+iz1−iz. Vérifier que 1+iz1−iz est un imaginaire pur. En déduire que H est l'orthocentre du triangle ABC.1pt
b. Résoudre dans C l'équation z2−iz−1=0. On donnera les solutions sous forme exponentielle.
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle ABC en fonction de b et c.
En déduire les valeurs de θ pour que H soit le centre de gravité du triangle ABC. Quelle est alors la nature du triangle ABC ? 4×0.25pt
4. Vérifier que lorsque le point M décrit le cercle (C) privé des points d'affixes i et −i, le
point H appartient à la courbe (H) d'équations paramétriques : {x(t)=1−sint−cos2ty(t)=cost−sin2t0.25pt
Problème (12 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j) d'unité graphique 2cm.
Partie A (4 points)
Soit f la fonction définie sur [01[ par :
f(x)=1−x2+ln(1−x)
1. a. Étudier la fonction f et représenter graphiquement sa courbe Cf dans le repère (O; →i, →j).0.75pt
b. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α. Vérifier que α∈[12, β]
avec β=1−1e.0.75pt
2. a. Soient p et q les fonctions définies sur [12, β] respectivement par :
p(x)=|f′(x)| et q(x)=|f″(x)|.
Étudier les variations de p et q et dresser leurs tableaux de variations. 0.75pt
b. En déduire que : ∀x, y∈[12, β], |f″(x)||f′(y)|≤M avec M=e2+23.0.5pt
3. Soit t un élément de ]α, 1[.
a. Calculer ∫tαln(1−x)dx.0.5pt
b. Calculer ∫tαf(x)dx, et montrer que lim où P est un polynôme à déterminer. \qquad 0.75\; pt
Partie B (5 points)
Les questions 1. et 2. sont indépendantes.
1. Soient u et v deux réels tels que u<v.
Soit h une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant l'intervalle J=[u,\ v], dérivable jusqu'à l'ordre 2 et ayant u comme unique zéro dans J. On suppose que h est négative sur J
ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 et que \forall\;x\in J\;, h'(x)\neq 0.
On considère la fonction T définie sur J par T(x)=x-\dfrac{h(x)}{h'(x)}
a. Soit a un élément de J et A le point d'abscisse a de la courbe C_{h} représentative de h dans le repère (O;\ \vec{i},\ \vec{j}).
Vérifier que T(a) est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à C_{h} en A avec l'axe
des abscisses.
Montrer que T est dérivable dans J et monotone ; dresser son tableau de variation. En déduire que T(J)\subset J.\qquad 1.5\; pt
On pose x_{0}=v et pour tout entier naturel n\;,\ x_{n+1}=T(x_{n}).
b. Montrer que la suite (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} est bien définie et bornée.
Vérifier qu'elle est monotone, en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite. \qquad 1.5\; pt
2. Soient a et b deux réels tels que a<b.
Soit g une fonction définie sur l'intervalle [a,\ b] et deux fois dérivable.
Soit k un réel fixé. on considère la fonction G définie sur [a,\ b] par : \forall\;x\in[a,\ b]\;,\ G(x)=g(a)-g(x)-(a-x)g'(x)-\dfrac{1}{2}k(a-x)^{2}
a. Calculer G(a). Déterminer k pour que G(b) soit égal à 0. \qquad 1\; pt
Désormais k prend cette valeur.
b. En appliquant le théorème des
accroissements finis à G dans l'intervalle [a,\ b], montrer qu'il existe un réel c dans ]a,\ b[ tel que G'(c)=0.
En déduire que : g(a)=g(b)+(a-b)g'(b)+\dfrac{1}{2}(a-b)^{2}g''(c)\qquad 1\; pt
Partie C : Application à la fonction f. (3 points)
1. a. Démontrer que la fonction f satisfait dans l'intervalle [\alpha,\ \beta], aux hypothèses faites sur la fonction h de la partie B. \qquad 0.5\; pt
On considère la suite (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} définie par son premier terme x_{0}=\beta et pour tout entier naturel n\;, x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
b. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un réel c_{n} dans ]\alpha,\ x_{n}[ tel que f(\alpha)=f(x_{n})+(\alpha-x_{n})f'(x_{n})+\dfrac{1}{2}(\alpha-x_{n})^{2}f''(c_{n})\qquad 0.5\; pt
c. En déduire que (x_{n+1}-\alpha)=(x_{n}-\alpha)^{2}\dfrac{f''(c_{n})}{2f'(x_{n})}\text{ et }x_{n+1}-\alpha\leq\dfrac{M}{2}(x_{n}-\alpha)^{2}\qquad 0.5\; pt
2. Pour tout entier naturel n on pose : \delta_{n}=\dfrac{M}{2}(x_{n}-\alpha).
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : \delta_{n}\leq\delta_{0}^{2^{n}}\leq\left(\dfrac{M}{4}\right)^{2^{n}}
(Remarquer que \delta_{0}=\dfrac{M}{2}(\beta-\alpha)\leq\dfrac{M}{4}) \qquad 0.5\; pt
b. Déterminer un entier naturel n tel que x_{n}-\alpha soit inférieur à 10^{-5} et une valeur approchée de \alpha à 10^{-5} près par excès. \qquad 1\; pt
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zulay (non vérifié)
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zulay (non vérifié)
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