Bac Maths S2 1er groupe 2015

Le 1), 2) et 3) de cet exercice sont faits chacun de quatre affirmations. Dire pour chacune de ces affirmations si elle et vraie ou fausse.

 

1) L'évènement contraire de " $A$ sachant $B$ " est : $\qquad(0.5\;pt)$

 

a) $\overline{A}$ sachant $B\qquad$ b) $A$ sachant $\overline{B}$

 

c) $\overline{A}$ sachant $\overline{B}\qquad$ d) $\overline{A}\cap B$.

 

2) Soient $E$ et $F$ deux événements indépendants d'un même espace probabilisé, on a : $\qquad(0.5\;pt)$

 

a) $p(E/F)=0\qquad$ b) $p(E\cup F)=p(E)\times p(\overline{F})+p(F)$

 

c) $p(E\cap F)=0\qquad$ d) $p(E/F)=1$.

 

3) Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n=4$ et $p\in ]0,\ 1[$

 

a) si $p=\dfrac{1}{2}$ alors $p(X=2)=2p(X=1)\;,$

 

b) si $p=\dfrac{1}{4}$ alors $p(X=3)>\dfrac{1}{4}$

 

c) si $p=\dfrac{1}{2}$ alors $p(X>1)=1\;,$

 

d) si $p(X=1)=8\;p(X=0)$ alors $p=\dfrac{2}{3}\qquad(0.75\;pt)$

 

4) Le plan $(P)$ est rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$.
 

$A$ et $B$ sont deux points du plan $(P)$ d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
 

Considérons $M$ et $M'$ deux points du plan $(P)$ distincts de $A$ et $B$.
 

Notons $z$ et $z'$ les affixes respectives de $M$ et $M'$.
 

Interpréter géométriquement les résultats ci-dessous :

 

a) $|z-z_{A}|=1\quad(0.25\; pt)\quad$    b) $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|\quad(0.5\; pt)$

 

c) $|z'|=|z-z_{A}|\quad(0.5\; pt)\quad$ d)  $arg\left(\dfrac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right)=arg\left(\dfrac{z'-z_{A}}{z'-z_{B}}\right)\ [\pi]\quad(0.5\; pt)$

1) Soit $p(z)=z^{3}+3z^{2}-3z-5-20\mathrm{i}\;,\ z\in\mathbb{C}$.

 

a) Démontrer que $2+\mathrm{i}$ est une racine de $p(z).\qquad (0.25\; pt)$

 

b) En déduire les solutions de l'équation $p(z)=0$ dans $\mathbb{C}.\qquad (01\; pt)$

 

2) Dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$ d'unité $1\; cm\;,$ on considère les points $A,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $2+\mathrm{i}\;,\ -1-2\mathrm{i}\;,\ $ et $-4+\mathrm{i}$.

 

a) Placer les points $A,\ B$ et $C$ puis calculer les distances $AB$ et $BC.\qquad (0.75\; pt)$

 

b) Démontrer que $arg\left(\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}\right)=(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC})\ [2\pi].\qquad (0.25\; pt)$

 

c) En déduire une mesure en radian de l'angle $(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC}).\qquad (0.25\; pt)$

 

d) Déduire de tout ce qui précède la nature du triangle $ABC.\qquad (0.25\; pt)$

 

3) Soit $r$ la rotation qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme $A$ en $C$.

 

a) Montrer que l'application $f$ associée à $r$ est définie par : $$f(z)=\mathrm{i}z-3-\mathrm{i}.\qquad (0.5\; pt)$$

 

b) Préciser les éléments géométriques caractéristiques de $r.\qquad (0.25\; pt)$

 

4) Soit $T\ :\ M(z)\mapsto M'(z')$ telle que $z'=\mathrm{i}\alpha^{2}z+\alpha\;,\ \alpha\in\mathbb{C}$.

 

a) Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $T$ est une homothétie de rapport 2.$\qquad (0.5\; pt)$

 

b) Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de $T$ pour le nombre complexe $\alpha$ vérifiant $|\alpha|=\sqrt{2}$ et $arg\;\alpha=-\dfrac{\pi}{4}.\qquad (0.25\; pt)$

 

5) On considère la transformation $g=r\circ T$. On suppose dans ce qui suit que $\alpha=1-\mathrm{i}$.

 

a) Montrer que l'application $h$ associée à $g$ est définie par : $$h(z)=2\mathrm{i}z-2.\qquad (0.25\; pt)$$

 

b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de $g.\qquad (0.5\; pt)$

Au Sénégal une entreprise veut vérifier l'efficacité de son service de publicité. Elle a relevé chaque mois durant une période de $6\;mois$ les sommes $X$ consacrées à la publicité et le chiffre d'affaire constaté $Y$ ($X$ et $Y$ sont en milliards de $FCFA$).

On donne le tableau ci-dessous :

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Rang du mois} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline X & 1.2 & 0.5 & 1 & 1 & 1.5 & 1.8 \\ \hline Y & 19 & 49 & 100 & 125 & 148 & 181  \\ \hline\end{array}$$

 

Les résultats seront donnés au centième près.

Le détail des calculs n'est pas indispensable. On précisera les formules utilisées.

 

1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y.\qquad (01\; pt)$

 

2) a) Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X.\qquad(01\;pt)$

 

b) Déterminer la somme qu'il faut investir en publicité si l'on désire avoir un chiffre d'affaire de 300 milliards si cette tendance se poursuit. $\qquad(0.5\; pt)$

A) 1) En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout réel $\alpha$ :

$$I(\alpha)=\int_{0}^{\alpha}\mathrm{e}^{t}(t+2)\mathrm{d}t.$$

 

En déduire $I(x).\qquad (0.25\; pt)$

 

2) Soit $k$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Considérons la fonction $h$ telle que $$h(x)=k(x)\mathrm{e}^{-x}\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}$$

 

On se propose de déterminer la fonction h de façon à ce qu'elle vérifie les conditions suivantes, $$\forall\;x\in\mathbb{R}\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} h'(x)+h(x) &=& x+2\\ h(0) &=& 2 \end{array}\right.$$ 

 

a) Vérifier que $k'(x)=(x+2)\mathrm{e}^{x}.\qquad (0.5\; pt)$

 

b) En déduire $k$ puis $h.\qquad (0.25+025\; pt)$

 

B) I) 1) Étudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$ définie par :

$$g(x)=x+1+\mathrm{e}^{-x}.\qquad (01.5\; pt)$$

 

2) En déduire que $g(x)$ est strictement positif. $\qquad(0.25\; pt)$

 

II) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 

$$f(x)=\ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})$$

 

$(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

 

1) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. $\qquad(02.5\; pts)$

 

2) Pour tout $x$ strictement positif, on note $M$, le point de la courbe de la fonction

logarithme népérien d'abscisse $x$ et $N$ le point de $(\mathcal{C}_{f})$ de même abscisse.

 

a) Démontrer que $0<\overline{MN}<\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right).\qquad (0.25\; pt)$

 

b) Quelle est la limite de $\overline{MN}$ quand $x$ tend vers $\infty.\qquad (0.25\; pt)$

 

3) a) Démontrer que :

$$f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1)\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}.\qquad (0.5\; pt)$$

 

b) En déduire que $(\mathcal{C}_{f})$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ au voisinage de $-\infty$ et

déterminer la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $(\Delta)$ pour $x<-1.\qquad (0.25+0.25\; pt)$

 

4) Construire $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\Delta)$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).\qquad (01.5\; pt)$