Bac Maths S2 1er groupe 2015
Exercice 1 (03.5 points)
Le 1), 2) et 3) de cet exercice sont faits chacun de quatre affirmations. Dire pour chacune de ces affirmations si elle et vraie ou fausse.
1) L'évènement contraire de " A sachant B " est : (0.5pt)
a) ¯A sachant B b) A sachant ¯B
c) ¯A sachant ¯B d) ¯A∩B.
2) Soient E et F deux événements indépendants d'un même espace probabilisé, on a : (0.5pt)
a) p(E/F)=0 b) p(E∪F)=p(E)×p(¯F)+p(F)
c) p(E∩F)=0 d) p(E/F)=1.
3) Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p où n=4 et p∈]0, 1[
a) si p=12 alors p(X=2)=2p(X=1),
b) si p=14 alors p(X=3)>14
c) si p=12 alors p(X>1)=1,
d) si p(X=1)=8p(X=0) alors p=23(0.75pt)
4) Le plan (P) est rapporté au repère orthonormé direct (O; →u, →v).
A et B sont deux points du plan (P) d'affixes respectives zA et zB.
Considérons M et M′ deux points du plan (P) distincts de A et B.
Notons z et z′ les affixes respectives de M et M′.
Interpréter géométriquement les résultats ci-dessous :
a) |z−zA|=1(0.25pt) b) |z−zA|=|z−zB|(0.5pt)
c) |z′|=|z−zA|(0.5pt) d) arg(z−zAz−zB)=arg(z′−zAz′−zB) [π](0.5pt)
Exercice 2 (05 points)
1) Soit p(z)=z3+3z2−3z−5−20i, z∈C.
a) Démontrer que 2+i est une racine de p(z).(0.25pt)
b) En déduire les solutions de l'équation p(z)=0 dans C.(01pt)
2) Dans le plan (P) rapporté au repère orthonormé direct (O; →u, →v) d'unité 1cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives 2+i, −1−2i, et −4+i.
a) Placer les points A, B et C puis calculer les distances AB et BC.(0.75pt)
b) Démontrer que arg(zC−zBzA−zB)=(→BA, →BC) [2π].(0.25pt)
c) En déduire une mesure en radian de l'angle (→BA, →BC).(0.25pt)
d) Déduire de tout ce qui précède la nature du triangle ABC.(0.25pt)
3) Soit r la rotation qui laisse invariant le point B et qui transforme A en C.
a) Montrer que l'application f associée à r est définie par : f(z)=iz−3−i.(0.5pt)
b) Préciser les éléments géométriques caractéristiques de r.(0.25pt)
4) Soit T : M(z)↦M′(z′) telle que z′=iα2z+α, α∈C.
a) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles T est une homothétie de rapport 2.(0.5pt)
b) Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de T pour le nombre complexe α vérifiant |α|=√2 et argα=−π4.(0.25pt)
5) On considère la transformation g=r∘T. On suppose dans ce qui suit que α=1−i.
a) Montrer que l'application h associée à g est définie par : h(z)=2iz−2.(0.25pt)
b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de g.(0.5pt)
Exercice 3 (02.5 points)
Au Sénégal une entreprise veut vérifier l'efficacité de son service de publicité. Elle a relevé chaque mois durant une période de 6mois les sommes X consacrées à la publicité et le chiffre d'affaire constaté Y (X et Y sont en milliards de FCFA).
On donne le tableau ci-dessous :
Rang du mois123456X1.20.5111.51.8Y1949100125148181
Les résultats seront donnés au centième près.
Le détail des calculs n'est pas indispensable. On précisera les formules utilisées.
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et Y.(01pt)
2) a) Déterminer l'équation de la droite de régression de Y en X.(01pt)
b) Déterminer la somme qu'il faut investir en publicité si l'on désire avoir un chiffre d'affaire de 300 milliards si cette tendance se poursuit. (0.5pt)
Exercice 4 (09 points)
A) 1) En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout réel α :
I(α)=∫α0et(t+2)dt.
En déduire I(x).(0.25pt)
2) Soit k une fonction dérivable sur R. Considérons la fonction h telle que h(x)=k(x)e−x, ∀x∈R
On se propose de déterminer la fonction h de façon à ce qu'elle vérifie les conditions suivantes, ∀x∈R : {h′(x)+h(x)=x+2h(0)=2
a) Vérifier que k′(x)=(x+2)ex.(0.5pt)
b) En déduire k puis h.(0.25+025pt)
B) I) 1) Étudier les variations sur R de la fonction g définie par :
g(x)=x+1+e−x.(01.5pt)
2) En déduire que g(x) est strictement positif. (0.25pt)
II) Soit la fonction f définie sur R par :
f(x)=ln(x+1+e−x)
(Cf) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé
(O; →i, →j).
1) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. (02.5pts)
2) Pour tout x strictement positif, on note M, le point de la courbe de la fonction
logarithme népérien d'abscisse x et N le point de (Cf) de même abscisse.
a) Démontrer que 0<¯MN<ln(x+2x).(0.25pt)
b) Quelle est la limite de ¯MN quand x tend vers ∞.(0.25pt)
3) a) Démontrer que :
f(x)=−x+ln(xex+ex+1), ∀x∈R.(0.5pt)
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique (Δ) au voisinage de −∞ et
déterminer la position de (Cf) par rapport à (Δ) pour x<−1.(0.25+0.25pt)
4) Construire (Cf) et (Δ) dans le repère (O; →i, →j).(01.5pt)
Correction Bac Maths S2 1er groupe 2015
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zlorgoncho@gmail.com (non vérifié)
mer, 05/27/2020 - 18:27
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