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Bac Maths S2, S2A, S4, S5, 1er groupe 2009

Classe:

Terminale

Exercice 1 (03 Points)

$(X\;,\ Y)$ est une série statistique double.

Soit

$(D_{1})$ la droite de régression de

$Y$ en

$X.$

Soit

$(D_{2})$ la droite de régression de

$X$ en

$Y.$ On suppose que :

$(D_{1})\ :\ y=ax+b\quad\text{et}\quad (D_{2})\ :\ x=a'y+b'$

Soit

$r$ le coefficient de corrélation linéaire entre

$X\$ et

$\ Y.$

Établir que

$r^{2}=aa'\qquad(01\text{ point})$

2) Dans une entreprise une étude simultanée portant sur deux caractères

$X\$ et

$\ Y$ donnent les résultats suivants :

$-\$ la droite de régression de

$Y$ en

$X$ a pour équation :

$2.4x-y=0$

$-\$ la droite de régression de

$X$ en

$Y$ a pour équation :

$3.5y-9x+24=0.$

a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre

$X\$ et

$\ Y$ , sachant que leur covariance est positive.

$\qquad(0.5\text{ point})$

b) Calculer la moyenne de chacun des caractères

$X\$ et

$\ Y\qquad(0.75\text{ point}+0.75\text{ point})$

Exercice 2 (05 Points)

Une urne contient quatre jetons qui portent le nombre

$1$ , deux qui portent le nombre

$\mathrm{e}$ et six qui portent le nombre

$\dfrac{1}{\mathrm{e}}.$

On tire successivement avec remise deux jetons de l'urne et on note par

$x\$ et

$\ y$ les nombres lus, respectivement sur le premier et le deuxième jeton tirés.

A cette expérience, on associe le point

$M$ d'affixe

$z=\ln x+\ln y$

1) Le plan étant muni d'un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , déterminer la probabilité de chacun des événements suivant :

$A\ :\ "M$ appartient à l'axe des abscisses"

$\qquad(0.5\text{ point})$

$B\ :\ "M$ appartient à l'axe des ordonnées"

$\qquad(0.5\text{ point})$

$C\ :\ "M$ appartient aux des axes"

$\qquad(0.5\text{ point})$

$D\ :\ "M$ n'appartient à aucun des axes"

$\qquad(0.5\text{ point})$

$E\ :\$ "l'angle

$(\overrightarrow{OM}\;,\ \vec{i})$ est égal à

$-\dfrac{\pi}{4}"\qquad(0.5\text{ point})$

$F\ :\$ le point

$M$ appartient au cercle trigonométrique"

$\qquad(0.5\text{ point})$

2) Soit

$X$ la variable aléatoire réelle qui, à chaque tirage associe la distance

$OM.$

a) Déterminer la loi de probabilité de

$X.\qquad(01\text{ point})$

b) Déterminer la fonction de répartition de

$X.\qquad(01\text{ point})$

Exercice 3 (05 Points)

1) Résoudre l'équation différentielle :

$(E)\ :\ y''+2y'+y=0\qquad(0.5\text{ point})$

2) Soit

$(E')$ l'équation différentielle :

$(E')\ :\ y''+2y'+y=x+3$

Déterminer les réels

$a\$ et

$\ b$ tels que la fonction

$h$ définie par

$h(x)=ax+b$ soit solution de

$(E').\qquad(0.25\text{ point})$

3) a) Démontrer que

$g$ est solution de

$(E')$ si, et seulement si,

$(g-h)$ est solution de

$(E).\qquad(0.5\text{ point})$

3) b) Résoudre alors

$(E').\qquad(0.25\text{ point})$

3) c) Déterminer la solution

$f$ de

$(E)$ telle que :

$f(0)=2\quad\text{et}\quad f'(0)=-1\qquad(0.5\text{ point})$

4) Soit la fonction

$k$ définie par :

$k(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}$

4) a) Étudier les variations de

$k\qquad(01.5\text{ points})$

4) b) Déterminer l'équation de la tangente

$(T)$ à la courbe

$(\mathcal{C})$ de

$k$ au point d'abscisse

$0\qquad(0.25\text{ point})$

4) c) Démontrer que le point

$I(0\;;\ 2)$ est un point d'inflexion de la courbe

$(\mathcal{C}).\qquad(0.5\text{ point})$

4) d) Tracer

$(\mathcal{C})\$ et

$\ (T)$ dans le plan muni du repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).\qquad(0.75\text{ point})$

Exercice 4 (07 Points)

1) a) Étudier les variations de la fonction

$f$ définie sur

$]-1\;,\ +\infty[$ par :

$f(x)=2\ln(x+1)\qquad(01.5\text{ points})$

Tracer sa courbe représentative

$(\mathcal{C})\$ et

$\ (T)$ dans le repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , unité :

$2\;cm\qquad(01\text{ point})$

1) b) Démontrer que sur

$[2\;,\ +\infty[$ la fonction

$\ell$ , définie par :

$\ell(x)=f(x)-x$

est bijective et l'équation

$\ell(x)=0$ admet une solution unique

$\lambda.\qquad(01\text{ point})$

2) On considère la suite

$(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&5\\U_{n+1}&=&2\ln(1+U_{n})\end{array}\right.$

2) a) Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.

$\qquad(0.5\text{ point})$

2) b) Démontrer par récurrence que pour tout

$n\;,\ U_{n}\geq 2\qquad(0.5\text{ point})$

2) c) Montrer que pour tout

$x$ de l'intervalle

$[2\;,\ +\infty[$ ,

$|f'(x)|\leq\dfrac{2}{3}\qquad(0.5\text{ point})$

2) d) En déduire que pour tout

$n$ , on a :

$|U_{n+1}-\lambda|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}-\lambda|\qquad(0.5\text{ point})$

que

$|U_{n+1}-\lambda|\leq2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\qquad(0.5\text{ point})$

et que

$(U_{n})$ converge vers

$\lambda\qquad(0.25\text{ point})$

2) e) Déterminer le plus petit entier naturel

$p$ tel que

$|U_{p}-\lambda|\leq 10^{-2}.\qquad(0.25\text{ point})$

Que représente

$U_{p}$ pour

$\lambda\ ?\qquad(0.5\text{ point})$

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Mame Yacine dia... (non vérifié)

ven, 06/07/2024 - 04:39

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