Bac Maths S2, S2A, S4, S5, 1er groupe 2009
Classe:
Terminale
Exercice 1 (03 Points)
1) (X, Y) est une série statistique double.
Soit (D1) la droite de régression de Y en X.
Soit (D2) la droite de régression de X en Y. On suppose que :
(D1) : y=ax+bet(D2) : x=a′y+b′
Soit r le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
Établir que r2=aa′(01 point)
2) Dans une entreprise une étude simultanée portant sur deux caractères X et Y donnent les résultats suivants :
− la droite de régression de Y en X a pour équation : 2.4x−y=0
− la droite de régression de X en Y a pour équation : 3.5y−9x+24=0.
a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y, sachant que leur covariance est positive.(0.5 point)
b) Calculer la moyenne de chacun des caractères X et Y(0.75 point+0.75 point)
Exercice 2 (05 Points)
Une urne contient quatre jetons qui portent le nombre 1, deux qui portent le nombre e et six qui portent le nombre 1e.
On tire successivement avec remise deux jetons de l'urne et on note par x et y les nombres lus, respectivement sur le premier et le deuxième jeton tirés.
A cette expérience, on associe le point M d'affixe
z=lnx+lny
1) Le plan étant muni d'un repère orthonormé (O, →i, →j), déterminer la probabilité de chacun des événements suivant :
A : "M appartient à l'axe des abscisses"(0.5 point)
B : "M appartient à l'axe des ordonnées"(0.5 point)
C : "M appartient aux des axes"(0.5 point)
D : "M n'appartient à aucun des axes"(0.5 point)
E : "l'angle (→OM, →i) est égal à −π4"(0.5 point)
F : le point M appartient au cercle trigonométrique"(0.5 point)
2) Soit X la variable aléatoire réelle qui, à chaque tirage associe la distance OM.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.(01 point)
b) Déterminer la fonction de répartition de X.(01 point)
Exercice 3 (05 Points)
1) Résoudre l'équation différentielle :
(E) : y″
2) Soit (E') l'équation différentielle :
(E')\ :\ y''+2y'+y=x+3
Déterminer les réels a\ et \ b tels que la fonction h définie par h(x)=ax+b soit solution de (E').\qquad(0.25\text{ point})
3) a) Démontrer que g est solution de (E') si, et seulement si, (g-h) est solution de (E).\qquad(0.5\text{ point})
3) b) Résoudre alors (E').\qquad(0.25\text{ point})
3) c) Déterminer la solution f de (E) telle que :
f(0)=2\quad\text{et}\quad f'(0)=-1\qquad(0.5\text{ point})
4) Soit la fonction k définie par :
k(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}
4) a) Étudier les variations de k\qquad(01.5\text{ points})
4) b) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (\mathcal{C}) de k au point d'abscisse 0\qquad(0.25\text{ point})
4) c) Démontrer que le point I(0\;;\ 2) est un point d'inflexion de la courbe (\mathcal{C}).\qquad(0.5\text{ point})
4) d) Tracer (\mathcal{C})\ et \ (T) dans le plan muni du repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).\qquad(0.75\text{ point})
Exercice 4 (07 Points)
1) a) Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-1\;,\ +\infty[ par :
f(x)=2\ln(x+1)\qquad(01.5\text{ points})
Tracer sa courbe représentative (\mathcal{C})\ et \ (T) dans le repère orthonormal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}), unité : 2\;cm\qquad(01\text{ point})
1) b) Démontrer que sur [2\;,\ +\infty[ la fonction \ell, définie par :
\ell(x)=f(x)-x
est bijective et l'équation \ell(x)=0 admet une solution unique \lambda.\qquad(01\text{ point})
2) On considère la suite (U_{n})_{n\in\mathbb{N}} définie par :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&5\\U_{n+1}&=&2\ln(1+U_{n})\end{array}\right.
2) a) Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.\qquad(0.5\text{ point})
2) b) Démontrer par récurrence que pour tout n\;,\ U_{n}\geq 2\qquad(0.5\text{ point})
2) c) Montrer que pour tout x de l'intervalle [2\;,\ +\infty[,
|f'(x)|\leq\dfrac{2}{3}\qquad(0.5\text{ point})
2) d) En déduire que pour tout n, on a :
|U_{n+1}-\lambda|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}-\lambda|\qquad(0.5\text{ point})
que
|U_{n+1}-\lambda|\leq2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\qquad(0.5\text{ point})
et que
(U_{n}) converge vers \lambda\qquad(0.25\text{ point})
2) e) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que |U_{p}-\lambda|\leq 10^{-2}.\qquad(0.25\text{ point})
Que représente U_{p} pour \lambda\ ?\qquad(0.5\text{ point})
Commentaires
Mame Yacine dia... (non vérifié)
ven, 06/07/2024 - 04:39
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