d) Utiliser cette équation pour répondre à la question 1/c).$\qquad(0.25\text{ pt})$

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\vec{e}_{1}\;,\vec{e}_{2})\;,\ S$ est la similitude plane directe de centre $O$, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

 

Soit $M$ le point d'affixe $z\ $ et $\ M’$ le point d'affixe $z’$ avec $M'=S (M).$

 

1) Exprimez $z’$ en fonction de $z.\qquad(0.5\text{ pt})$

 

2) On définit la suite des points $(M_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de la façon suivante :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} M_{0}\ \text {d'affixe}\ z_{0}&=&1+\mathrm{i}\\M_{n}&=&S(M_{n-1})\ \text{ pour}\ n\geq 1\end{array}\right.$$

$z_{n}$ est l'affixe de $M_{n}$, pour tout entier naturel $n.$

 

a) Déterminer les affixes des points  $M_{1}\;,\ M_{2}\ $ et $\ M_{3}\qquad(1.5\text{ pt})$

 

b) Exprimer $z_{n}$ en fonction de $z_{n-1}$ pour $n\geq 1.\qquad(0.5\text{ pt})$

 

c) En déduire que $z_{n}=\left(\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}z_{0}\qquad(01\text{ pt})$

 

d) Soit $a_{n}=|z_{n}|$, montrer que $a_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.$\qquad(01\text{ pt})$

 

e) Étudier la convergence de la suite $(a_{n})\;,n\in \mathbb{N}.\qquad(0.5\text{ pt})$

 

Les résultats de la partie A seront utiles dans la partie B.

 

Partie A

 

1) Montrer que 

$$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-x-1}{x}=0\qquad(0.5\text{ pt})$$

2) Soit :

$$\begin{array}{rcl} k\ :\ ]0\;;\ +\infty[&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\longmapsto&x(1-\ln x)\end{array}$$

a) $k$ est-elle continue sur $\left]0\;;\ +\infty\right[\ ?$ 

 

Justifier la réponse.$\qquad(0.5\text{ pt})$

 

b) Soit :

$$\begin{array}{rcl} K\ :\ ]0\;;\ +\infty[&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\longmapsto&\dfrac{3}{4}x^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x\end{array}$$  

 

Vérifier que $K$ est une primitive de $k$, dans $\left]0\;;\ +\infty\right[\qquad(0.25\text{ pt})$

 

Partie B

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité graphique $2\;cm).$

 

Soit la fonction $f$ définie par : 

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcccl}\mathrm{e}^{x}-x-1&\text{si}&x&\leq&0\\x\ln x&\text{si}&x&>&0\end{array}\right.$$

1) Déterminer, le domaine de définition de $f.$ Puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}.\qquad(0.75\text{ pt})$

 

2) a) Étudier la continuité de $f$ en $0.\qquad(0.5\text{ pt})$

 

b) Étudier la dérivabilité de en $0.$

 

Interpréter géométriquement les résultats.$\qquad(01\text{ pt})$

 

3) Donner les domaines de continuité et de dérivabilité de $f.\qquad(02\times 0.25\text{ pt})$

 

4) Calculer la dérivée de $f$ sur son domaine d'existence et étudier son signe.$\qquad(01\text{ pt})$

 

5) Dresser le tableau de variations de $f.\qquad(0.5\text{ pt})$

 

6) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation : $y=-x-1$ est une asymptote de la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ de $f$ dans $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ quand $x$ tend vers $-\infty\qquad(0.25\text{ pt})$

 

7) Préciser la nature de la branche infinie de $(\mathcal{C}_{f})$ quand $x$ tend vers $+\infty\qquad(0.25\text{ pt})$

 

8) Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ 

 

Préciser l'allure de la courbe au point d'abscisse $0$ et tracer $(\Delta)\qquad(02\text{ pt})$

 

9) Soit $h$ la restriction de $f$ à $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;;\ +\infty\right[$

 

a) Montrer que $h$ réalise une bijection de $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;;\ +\infty\right[$ sur un intervalle $J$ à préciser.$\qquad(0.5\text{ pt})$

 

b) Représenter graphiquement $(\mathcal{C}_{h^{-1}})$ la courbe représentative de $h^{-1}$  dans $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$  à l'aide de $(\mathcal{C}_{f}).\qquad(0.5\text{ pt})$

 

10) Soit $\mathcal{A}_{1}$ l'aire du domaine du plan délimité par $x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ x=\mathrm{e}$ la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et la droite $(\mathcal{D})$ d'équation : $y=x.$

 

a) Calculer $\mathcal{A}_{1}\qquad(0.5\text{ pt})$

 

b) En déduire l'aire $\mathcal{A}_{2}$ du domaine du plan délimité par les droites d'équations respectives : $x=-\dfrac{1}{e}\;,\ y=\dfrac{1}{e}$, la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C}_{h^{-1}})\qquad(0.5\text{ pt})$