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Calcul Algébrique - 4e

Classe:

Quatrième

I. Expression littérale

I.1. Définition

Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres.

Exemple

1) $A=2x+3$

2) Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$, l'expression littérale de son périmètre $p$ est donnée par :

$$p=2(L+\ell)$$

L'aire $\mathcal{A}$ de ce rectangle a pour expression littérale :

$$\mathcal{A}=L\times\ell$$

I.2. Valeur numérique d'une expression littérale

Dans une expression littérale, en remplaçant les lettres par des nombres, on obtient une valeur de l'expression.

Cette valeur est appelée valeur numérique de l'expression littérale.

Exemple

1) $A=2x+3$

$-\ $ pour $x=0$, on a : $A=2\times 0+3=3$

Donc, la valeur numérique de $A$ est $3$ lorsque $x=0$

$-\ $ pour $x=2$, on a : $A=2\times 2+3=7$

Ainsi, lorsque $x=2\;,\ A$ prend la valeur $7$

2) Pour un rectangle de longueur $L=3\;cm$ et de largeur $\ell=2\;cm$, la valeur numérique de son périmètre $p$ est donnée par :

$$p=2\times(3+2)=2\times 5=10\;cm$$

L'aire $\mathcal{A}$ de ce rectangle a pour valeur numérique :

$$\mathcal{A}=3\times 2=6\;cm^{2}$$

II. Réduction d'une expression littérale

Soit l'expression algébrique suivante :

$$A=3x+5x^{2}+2x-6x^{3}-7x^{2}+4x+25x^{3}-3$$

$A$ possède $8$ termes. Mais $A$ est aussi égale à :

$\begin{array}{rcl} A&=&3x+2x+4x+5x^{2}-7x^{2}-6x^{3}+25x^{3}-3\\ \\&=&9x-2x^{2}+19x^{3}-3\end{array}$

Et on a $4$ termes finalement.

On dit qu'on a réduit l'expression algébrique $A.$

Ainsi, réduire une expression algébrique, consiste à l'écrire avec le moins de termes possible.

Donc, réduire une expression revient tout simplement à regrouper les termes semblables.

$A=19x^{3}-2x^{2}+9x-3$ ; on dit qu'on a ordonné $A$ suivant l'ordre décroissant de la puissance de $x.$

Ainsi, ordonner une expression revient à ranger les termes suivants les puissances croissantes ou décroissantes.

III. Développement d'expressions littérales

III.1. Utilisation de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction

Soit $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ des nombres rationnels.

i) $a(b+c)=(b+c)a=ab+ac$

Exemple : développer $2(7+x)$

On a :

$\begin{array}{rcl} 2(7+x)&=&(7+x)2\\ \\&=&2\times 7+2\times x\\ \\&=&14+2x\end{array}$

ii) $a(b-c)=(b-c)a=ab-ac$

Exemple : développer $3x(4x-2)$

On a :

$\begin{array}{rcl} 3x(4x-2)&=&(4x-2)3x\\ \\&=&(3x\times 4x)-(3x\times 2)\\ \\&=&12x^{2}-6x\end{array}$

iii) $(a+b)(c+d)=(c+d)(a+b)=ac+ad+bc+bd$

$\begin{array}{rcl} (a-b)(c-d)&=&(c-d)(a-b)\\ \\&=&(a+(-b))(c+(-d))\\ \\&=&ac+a(-d)+(-b)c+(-b)(-d)\\ \\&=&ac-ad-bc+bd\end{array}$

Exemple

Développer $(x+1)(x-2)\ $ et $\ (2x-1)(5-3x)$

Soit :

$\begin{array}{rcl} (x+1)(x-2)&=&(x-2)(x+1)\\ \\&=&x\times x+x\times 2+1\times x+1\times 2\\ \\&=&x^{2}+2x+x+2\\ \\&=&x^{2}+3x+2\end{array}$

Donc, $\boxed{(x+1)(x-2)=x^{2}+3x+2}$

$\begin{array}{rcl} (2x-1)(5-3x)&=&(5-3x)(2x-1)\\ \\&=&[2x+(-1)][5+(-3x)]\\ \\&=&(2x\times 5)+(2x\times(-3x))+((-1)\times 5)+((-1)\times(-3x))\\ \\&=&10x+(-6x^{2})+(-5)+(3x)\\ \\&=&10x-6x^{2}-5+3x\\ \\&=&13x-6x^{2}-5\\ \\&=&-6x^{2}+13x-5\end{array}$

Ainsi, $\boxed{(2x-1)(5-3x)=-6x^{2}+13x-5}$

Règle : Pour multiplier un nombre par une somme algébrique (suite d'addition et de soustraction); on multiplie ce nombre par chaque terme de la somme par ce nombre.

Exemples : $5(3+x-a)=15+5x-5a$

Développer une expression revient à transformer les multiplications en une suite d'addition et de soustraction (somme algébrique).

Exemples

$x(a-b)=xa-xb\;;\ (x+y)(a-b)=xa-xb+ya-yb$

III.2. Utilisation des égalités usuelles ou identités remarquables

Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres rationnels alors, on a :

$$\begin{array}{rcl} (a+b)^{2}&=& a^{2}+2ab+b^{2} \\ \\(a-b)^{2}&=& a^{2}-2ab+b^{2}\\ \\(a+b)(a-b)&=& a^{2}-b^{2}\end{array}$$

Exercice d'application

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+3)^{2}$

$B=(4-3x)^{2}$

$C=(2x-3)(2x+3)$

Solution

$\begin{array}{rcl} A&=&(x+3)^{2}\\ \\&=&x^{2}+2\times x\times 3+3^{2}\\ \\&=&x^{2}+6x+9\end{array}$

Donc, $\boxed{A=x^{2}+6x+9}$

$\begin{array}{rcl} B&=&(4-3x)^{2}\\ \\&=&4^{2}-2\times 4\times(3x)+(3x)^{2}\\ \\&=&16-2\times 4\times(3x)+9x^{2}\\ \\&=&16-24x+9x^{2}\\ \\&=&9x^{2}-24x+16\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=9x^{2}-24x+16}$

$\begin{array}{rcl} C&=&(2x-3)(2x+3)\\ \\&=&(2x)^{2}-(3)^{2}\\ \\&=&4x^{2}-9\end{array}$

D'où, $\boxed{C=4x^{2}-9}$

III.3. Utilisation des égalités usuelles dans le calcul rapide

Exemple

Calculer $31^{2}\;,\ 29^{2}\;,\ 41\times 39\ $ et $\ 48^{2}-52^{2}$ en utilisant les identités remarquables.

Solution

$\begin{array}{rcl} 31^{2}&=&(30+1)^{2}\\ \\ &=&30^{2}+60+1\\ \\ &=&900+60+1\\ \\ &=&961\end{array}$

D'où, $\boxed{31^{2}=961}$

$\begin{array}{rcl} 29^{2}&=&(30-1)^{2}\\ \\ &=&30^{2}-60+1\\ \\ &=&900-60+1\\ \\ &=&641 \end{array}$

Ainsi, $\boxed{29^{2}=641}$

$\begin{array}{rcl} 41\times 39&=&(40+1)(40-1)\\ \\ &=&40^{2}-1^{2}\\ \\ &=&1600-1\\ \\ &=&1599\end{array}$

Donc, $\boxed{41\times 39=1599}$

$\begin{array}{rcl} 48^{2}-52^{2}&=&(48+52)(48-52)\\ \\ &=&100\times(-4)\\ \\ &=&-400\end{array}$

D'où, $\boxed{48^{2}-52^{2}=-400}$

IV. Factorisation d'expressions littérales

Règle : Factoriser ; c'est transformer les suites d'addition et de soustraction en un produit (multiplication) : c'est mettre en facteur une expression qui ne l'est pas.

IV.1. Mise en évidence d'un facteur commun

lorsque le facteur commun est apparent

Méthode : Pour factoriser, il faut trouver dans l'expression un facteur commun aux termes de la somme algébrique, factoriser puis réduire le $2^{e}$ facteur si possible

1) Le facteur commun est un nombre ou une lettre

Soient $a\;,\ b\;,\ $ et $\ c$ des nombres rationnels, alors on a :

i) $ab+ac=a(b+c)$

$a$ est appelé facteur commun

Exemple

Factoriser l'expression $3x+4xy$

Soit : $3x+4xy=x(3+4y)$

ii) $ab-ac=a(b-c)$

$a$ est le facteur commun

Exemple

Factoriser l'expression $x^{2}-64x$

On a : $x^{2}-64x=x\times x-64x=x(x-64)$

2) Le facteur commun est une somme algébrique

Exemple

Factoriser $A=(x+5)(2x-7)-4(x+5)\ $ et $\ B=(1-7x)(x+4)-(49x-7)(2x+4)$

Solution

Dans l'expression $A=(x+5)(2x-7)-4(x+5)$, on voit que la somme algébrique $(x+5)$ est le facteur commun, donc :

$\begin{array}{rcl} A&=&(x+5)(2x-7)-4(x+5)\\ \\&=&(x+5)[(2x-7)-4]\\ \\&=&(x+5)(2x-7-4)\\ \\&=&(x+5)(2x-11)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=(x+5)(2x-11)}$

Soit :

$\begin{array}{rcl} B&=&(1-7x)(x+4)-(49x-7)(2x+4)\\ \\&=&(1-7x)(x+4+(-49x+7)(2x+4)\\ \\&=&(1-7x)(x+4)+7(-7x+1)(2x+4)\\ \\&=&(1-7x)(x+4)+7(1-7x)(2x+4)\end{array}$

On remarque que l'expression $(1-7x)$ est le facteur commun, par suite :

$\begin{array}{rcl} B&=&(1-7x)[(x+4)+7(2x+4)]\\ \\&=&(1-7x)(x+4+7\times 2x+7\times 4)\\ \\&=&(1-7x)(x+4+14x+28)\\ \\&=&(1-7x)(15x+32)\end{array}$

D'où, $\boxed{B=(1-7x)(15x+32)}$

IV.2. Utilisation des égalités usuelles

Soient $a\ $ et $\ b$ alors, on a :

$$\begin{array}{rcl} a^{2}+2ab+b^{2}&=&(a+b)^{2}\\ \\a^{2}-2ab+b^{2}&=&(a-b)^{2}\\ \\a^{2}-b^{2}&=&(a+b)(a-b)\end{array}$$

Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

$A=x^{2}+10x+25$

$B=4x^{2}-16x+16$

$C=81-x^{2}$

Solution

$\begin{array}{rcl} A&=&x^{2}+10x+25\\ \\&=&x^{2}+10x+5^{2}\\ \\&=&x^{2}+2\times x\times 5+5^{2}\\ \\&=&(x+5)^{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=(x+5)^{2}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&4x^{2}-16x+16\\ \\&=&(2x)^{2}-16x+4^{2}\\ \\&=&(2x)^{2}-2\times(2x)\times 4+4^{2}\\ \\&=&(2x-4)^{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{B=(2x-4)^{2}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&81-x^{2}\\ \\&=&9^{2}-x^{2}\\ \\&=&(9+x)(9-x)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=(9+x)(9-x)}$

IV.3. Combinaison des deux méthodes

Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

$A=x^{2}+10x+25+(x+5)(2x-1)$

$B=x^{2}-4-(x+2)(x-1)$

Solution

$\begin{array}{rcl} A&=&x^{2}+10x+25+(x+5)(2x-1)\\ \\&=&x^{2}+10x+5^{2}+(x+5)(2x-1)\\ \\&=&x^{2}+2\times x\times 5+5^{2}+(x+5)(2x-1)\\ \\&=&(x+5)^{2}+(x+5)(2x-1)\\ \\&=&(x+5)(x+5)+(x+5)(2x-1)\\ \\&=&(x+5)[(x+5)+(2x-1)]\\ \\&=&(x+5)(x+5+2x-1)\\ \\&=&(x+5)(3x+4)\end{array}$

D'où, $\boxed{A=(x+5)(3x+4)}$

$\begin{array}{rcl} B&=&x^{2}-4-(x+2)(x-1)\\ \\&=&(x+2)(x-2)-(x+2)(x-1)\\ \\&=&(x+2)[(x-2)-(x-1)]\\ \\&=&(x+2)(x-2-x+1)\\ \\&=&(x+2)(-1)\\ \\&=&-(x+2)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=-(x+2)}$