Composition de Mathématiques du premier semestre

Exercice 1

1. Résoudre dans R l’ inéquation 2xx2+4x (1pt)

2. Résoudre R3 le système suivant

{x+2yz=8x+3y+4z=72xy+2z=6
3. En déduire les solutions du système
{x1+2y+1|z|=8x1+3y+1+4|z|=72x11y+1+2|z|=6

4. Déterminer P(x) le polynôme unitaire de degré 4 tel que :

x2+x+1 divise P(x)

• Le reste de la division euclidienne de P(x) par x21 est −3x + 9$

Exercice 2 :

On pose pour tout réel x:A(x)=5sin(x)3cos(x)8sin3(x).

1. (a) Calculer sin(3x) en fonction de sin(x).

(b) En déduire que :A(x)=2(sin(3x)+sin(x2π3))(c) Résoudre dans ]π;π] l’équation A(x)=0

2. Calculer A(pi4), puis en déduire la valeur de sin(π12).

3. (a) Montrer que A(x)=4cos(x+π3)sin(2xπ3)

(b) Résoudre dans ]π3;2π3[l’inéquation A(x)0

Exercice 3

Le plan est orienté dans le sens direct Soient ABC un triangle tels que (AB,AC)=π3[2π] et (BA,BC)=π4[2π] et on désigne C son cercle circonscrit

1. Montrer (CA,CB)=5π12[2π]

2. Déterminer puis construire Υ=M(P)/(MC,MB)=5π12[2π]

3. (a) Construire le point E de Υ tel que le triangle BCE soit isocèle en C

(b) Montrer que (BE,BC)=5π12[2π]

(c) En déduire que les droites (BE) et (AC) sont parallèles.

4. La droite (BE) recoupe le cercle C en F Montrer que le quadrilatère ACEF est un parallélogramme

Exercice 4

Soit ABC un triangle isocèle et I milieu de [AB] tel que AB=AC=5 et BC=6

1. Calculer AB.AC

2. (a) Construire le barycentre G des points pondérés (A;2),(B;3) et (C;3).

(b) Montrer que (AG) est la médiatrice de [BC](c) Calculer AG

3. Soit f l’application du plan dans lui même qui a tout point M associe le point M0 tels que :

2MM=2MA+3MB+3MC

Montrer que G appartient à la droite (MM)

4. Soit (E)=M(P)/2MA2+3MB2+3MC2=150a

(a) Montrer que pour tout point B du plan : 2MA2+3MB2+3MC2=8MG2+2GA2+3GB2+3GC2

(b) En utilisant le théorème de la médiane calculer GB2+GC2

(c) Déduire de 2.(c) et 3.(b) la nature (E) puis construire

Exercice 5 :

On considère f définie par : f:[0;+[]1;1]

                                              xf(x)=2x2+x

1. Justifier que f est une application.

2. Montrer que f est bijective .

3. Donner l’expression de f1(x) en déduire f1(0)

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