Composition de Mathématiques du premier semestre

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’ inéquation $2 − x ≤\sqrt{x^{2} + 4x}$ (1pt)

2. Résoudre $\mathbb{R^{3}}$ le système suivant

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x + 2y − z &=& 8\\
−x + 3y + 4z &=& −7\\
2x − y + 2z &=& −6
\end{array}\right.$$
3. En déduire les solutions du système
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\sqrt{x − 1} +\dfrac{2}{y + 1}− |z| &=& 8\\
−\sqrt{x − 1} +\sqrt{3}{y + 1}+ 4|z| &=& −7\\
2\sqrt{x − 1} −\dfrac{1}{y + 1}+ 2|z| &=& −6
\end{array}\right.$$

4. Déterminer $P(x)$ le polynôme unitaire de degré $4$ tel que :

• $x^{2} + x + 1$ divise $P(x)$

• Le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2} − 1$ est −3x + 9$

Exercice 2 :

On pose pour tout réel $x : A(x) = 5 \sin(x) −\sqrt{3} \cos(x) − 8 \sin^{3}(x)$.

1. (a) Calculer $\sin(3x)$ en fonction de $\sin(x)$.

(b) En déduire que :$ A(x) = 2\left(\sin(3x) + \sin (x−\dfrac{2π}{3})\right)$(c) Résoudre dans $] − π; π]$ l’équation $A(x) = 0$

2. Calculer $A\left(\dfrac{pi}{4}\right)$, puis en déduire la valeur de $\sin\left(\dfrac{π}{12}\right)$.

3. (a) Montrer que $A(x) = 4 \cos \left(x +\dfrac{π}{3}\right)\sin\left(2x −\dfrac{π}{3}\right)$

(b) Résoudre dans $]−\dfrac{π}{3};\dfrac{2π}{3}[$l’inéquation $A(x) ≤ 0$

Exercice 3

Le plan est orienté dans le sens direct Soient $ABC$ un triangle tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \dfrac{π}{3}[2π]$ et $(\vec{BA}, \vec{BC}) = −\dfrac{π}{4}[2π]$ et on désigne C son cercle circonscrit

1. Montrer $(\vec{CA}, \vec{CB}) =\dfrac{5π}{12}[2π]$

2. Déterminer puis construire $Υ ={M ∈ (P) / \left(\vec{MC}, \vec{MB}\right) = \dfrac{5π}{12}[2π]}$

3. (a) Construire le point $E$ de $Υ$ tel que le triangle $BCE$ soit isocèle en $C$

(b) Montrer que $(\vec{BE}, \vec{BC}) = \dfrac{5π}{12}[2π]$

(c) En déduire que les droites $(BE)$ et $(AC)$ sont parallèles.

4. La droite $(BE)$ recoupe le cercle $C$ en $F$ Montrer que le quadrilatère $ACEF$ est un parallélogramme

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle isocèle et I milieu de $[AB]$ tel que $AB = AC = 5$ et $BC = 6$

1. Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$

2. (a) Construire le barycentre G des points pondérés $(A; 2), (B; 3)$ et $(C; 3)$.

(b) Montrer que $(AG)$ est la médiatrice de $[BC]$(c) Calculer $AG$

3. Soit $f$ l’application du plan dans lui même qui a tout point M associe le point $M0$ tels que :

$\vec{2MM'} = 2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 3\vec{MC}$

Montrer que $G$ appartient à la droite $(\vec{MM'})$

4. Soit $(E) = {M \in (P) / 2MA^{2}+ 3MB ^{2}+     3MC^{2}= 150a}$

(a) Montrer que pour tout point B du plan : $2MA^{2} + 3MB^{2} + 3MC^{2} = 8MG^{2} + 2GA^{2} + 3GB^{2} + 3GC^{2}$

(b) En utilisant le théorème de la médiane calculer $GB^{2} + GC^{2}$

(c) Déduire de 2.(c) et 3.(b) la nature $(E)$ puis construire

Exercice 5 :

On considère $f$ définie par : $f : [0; +∞[ → ] − 1; 1]$

                                              $x → f(x) =\dfrac{2 −\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$

1. Justifier que $f$ est une application.

2. Montrer que $f$ est bijective .

3. Donner l’expression de $f^{−1}(x)$ en déduire $f^{−1}(0)$