Composition de Mathématiques du premier semestre
Exercice 1
1. Résoudre dans R l’ inéquation 2−x≤√x2+4x (1pt)
2. Résoudre R3 le système suivant
{x+2y−z=8−x+3y+4z=−72x−y+2z=−6
3. En déduire les solutions du système
{√x−1+2y+1−|z|=8−√x−1+√3y+1+4|z|=−72√x−1−1y+1+2|z|=−6
4. Déterminer P(x) le polynôme unitaire de degré 4 tel que :
• x2+x+1 divise P(x)
• Le reste de la division euclidienne de P(x) par x2−1 est −3x + 9$
Exercice 2 :
On pose pour tout réel x:A(x)=5sin(x)−√3cos(x)−8sin3(x).
1. (a) Calculer sin(3x) en fonction de sin(x).
(b) En déduire que :A(x)=2(sin(3x)+sin(x−2π3))(c) Résoudre dans ]−π;π] l’équation A(x)=0
2. Calculer A(pi4), puis en déduire la valeur de sin(π12).
3. (a) Montrer que A(x)=4cos(x+π3)sin(2x−π3)
(b) Résoudre dans ]−π3;2π3[l’inéquation A(x)≤0
Exercice 3
Le plan est orienté dans le sens direct Soient ABC un triangle tels que (→AB,→AC)=π3[2π] et (→BA,→BC)=−π4[2π] et on désigne C son cercle circonscrit
1. Montrer (→CA,→CB)=5π12[2π]
2. Déterminer puis construire Υ=M∈(P)/(→MC,→MB)=5π12[2π]
3. (a) Construire le point E de Υ tel que le triangle BCE soit isocèle en C
(b) Montrer que (→BE,→BC)=5π12[2π]
(c) En déduire que les droites (BE) et (AC) sont parallèles.
4. La droite (BE) recoupe le cercle C en F Montrer que le quadrilatère ACEF est un parallélogramme
Exercice 4
Soit ABC un triangle isocèle et I milieu de [AB] tel que AB=AC=5 et BC=6
1. Calculer →AB.→AC
2. (a) Construire le barycentre G des points pondérés (A;2),(B;3) et (C;3).
(b) Montrer que (AG) est la médiatrice de [BC](c) Calculer AG
3. Soit f l’application du plan dans lui même qui a tout point M associe le point M0 tels que :
→2MM′=2→MA+3→MB+3→MC
Montrer que G appartient à la droite (→MM′)
4. Soit (E)=M∈(P)/2MA2+3MB2+3MC2=150a
(a) Montrer que pour tout point B du plan : 2MA2+3MB2+3MC2=8MG2+2GA2+3GB2+3GC2
(b) En utilisant le théorème de la médiane calculer GB2+GC2
(c) Déduire de 2.(c) et 3.(b) la nature (E) puis construire
Exercice 5 :
On considère f définie par : f:[0;+∞[→]−1;1]
x→f(x)=2−√x2+√x
1. Justifier que f est une application.
2. Montrer que f est bijective .
3. Donner l’expression de f−1(x) en déduire f−1(0)
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 12/07/2024 - 14:11
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