Corrigé Concours d'entrée lycée d'excellence de Diourbel - Épreuve de Mathématiques - 2022
1/x2−y2=(√m+√n2)2−(√m−√n2)2=m+2√mn+n−(m−2√mn+n)4=4√mn4=√mn
2/ La condition de colinéarité s'écrit :
|x−1|−4=0, soit x−1=4 ou x−1=−4
Cela donne x=5 ou x=−3
3. Le système n'admet pas une unique solution si et seulement si
α×2−β×(−1)=0, soit 2α+β=0
Cette condition est vérifiée par les réponses A et D
4/ 
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Une formule du cours dit que :
α=r×360∘g⟹120∘=r×360∘g⟹120g=r×360⟹g=3rPar ailleurs, on a : g2=h2+r2⟹h=√g2−r2=√9r2−r2=√8r2=2√2rD'où : V=πr2h3=2√2πr33
5/ La racine carrée de 3−2√2 est √2−1 car (√2−1)2=3−2√2 et √2−1 est positif puisque (√2)2=2 et 12=1 et 2>1
L'inverse de cette racine carrée est 1√2−1=√2+12−1=√2+1
Le carré de l'inverse de cette racine carrée est (√2+1)2=3+2√2. Ce nombre étant positif, sa valeur absolue est aussi 3+2√2
6/ 
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Rappelons que dans un triangle équilatéral, toute hauteur est en même temps médiane et médiatrice. En examinant la figure, on
voit que le rayon du cercle inscrit dans un triangle équilatéral est le tiers de la hauteur issue de A. Il est bien connu que que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté α est a√32. Le rayon cherché est donc a√36
7/
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cos60∘=ABBC⟹AB=BC×cos60∘=BC×12=10×12=5PAR THALES, xAB=EFBC⟹EF=BCABx=2x
8/ [(α−1)−2√6][(α−1)+2√6]=(α−1)2−24
Cette expression est égale à 1 si et seulement si :
(α−1)2=25, soit α−1=5 ou α−1=−5 ou encore α=6 ou α=−4
9./Les équations des deux droites s'écrivent, sous forme réduite :
y=(n−1)x−3 et y=−2x+n3
Elles sont perpendiculaires si et seulement si : −2(n−1)=−1, soit n=\dfrac{3}{2}=\boxed{1.5}$
10/ Le volume initial du pavé droit est : 15×12×8=1440cm3
Sa nouvelle longueur est
15(1+25100)=54×15=754cm
Sa nouvelle longueur est
12(1+20100)=65×12=725cm
Sa nouvelle hauteur est
8(1−15100)=65×12=345cm
Son nouveau volume est, par conséquent :
754×725×345=1836cm3
L'augmentation en pourcentage est le nombre t tel que :
1440(1+t100)=1836⟹1+t100=18361440⟹t=100×3961440=27.5%
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