Corrigé Concours d'entrée lycée d'excellence de Diourbel - Épreuve de Mathématiques - 2022

 
1/x2y2=(m+n2)2(mn2)2=m+2mn+n(m2mn+n)4=4mn4=mn
 
2/ La condition de colinéarité s'écrit :
 
|x1|4=0, soit x1=4 ou x1=4
 
Cela donne x=5 ou x=3
 
3. Le système n'admet pas une unique solution si et seulement si
 
α×2β×(1)=0, soit 2α+β=0
 
Cette condition est vérifiée par les réponses A et D
 
4/ 
 
 
Une formule du cours dit que :
 
α=r×360g120=r×360g120g=r×360g=3rPar ailleurs, on a : g2=h2+r2h=g2r2=9r2r2=8r2=22rD'où : V=πr2h3=22πr33
 
 
5/  La racine carrée de 322 est 21 car (21)2=322 et 21 est positif puisque (2)2=2 et 12=1 et 2>1
 
L'inverse de cette racine carrée est 121=2+121=2+1
 
Le carré de l'inverse de cette racine carrée est (2+1)2=3+22. Ce nombre étant positif, sa valeur absolue est aussi 3+22
 
6/ 
 
Rappelons que dans un triangle équilatéral, toute hauteur est en même temps médiane et médiatrice. En examinant la figure, on
voit que le rayon du cercle inscrit dans un triangle équilatéral est le tiers de la hauteur issue de A. Il est bien connu que que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté α est a32. Le rayon cherché est donc a36
 
7/
 
cos60=ABBCAB=BC×cos60=BC×12=10×12=5PAR THALES, xAB=EFBCEF=BCABx=2x
 
8/ [(α1)26][(α1)+26]=(α1)224
 
Cette expression est égale à 1 si et seulement si : 
 
(α1)2=25, soit α1=5 ou α1=5 ou encore α=6 ou α=4
 
9./Les équations des deux droites s'écrivent, sous forme réduite :
 
y=(n1)x3 et y=2x+n3
 
Elles sont perpendiculaires si et seulement si : 2(n1)=1, soit n=\dfrac{3}{2}=\boxed{1.5}$
 
10/ Le volume initial du pavé droit est : 15×12×8=1440cm3
 
Sa nouvelle longueur est
 
15(1+25100)=54×15=754cm
 
Sa nouvelle longueur est 
 
12(1+20100)=65×12=725cm
 
Sa nouvelle hauteur est 
 
8(115100)=65×12=345cm
 
Son nouveau volume est, par conséquent : 
 
754×725×345=1836cm3
 
L'augmentation en pourcentage est le nombre t tel que :
 
1440(1+t100)=18361+t100=18361440t=100×3961440=27.5%
 
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