Corrigé devoir n° 1 maths - 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

Écrivons les expressions suivantes sous la forme $x\sqrt{a}+y\sqrt{b}$ où $x\ $ et $\ y$ sont des réels et $a\ $ et $\ b$ des entiers naturels :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{\dfrac{1}{2}}+(\sqrt{2})^{3}-7\sqrt{3}+\sqrt{72}+\sqrt{\dfrac{81}{3}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+(\sqrt{2})^{2}\times(\sqrt{2})-7\sqrt{3}+\sqrt{36\times 2}+\sqrt{27}\\\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{2}}+2\times\sqrt{2}-7\sqrt{3}+\sqrt{36}\times\sqrt{2}+\sqrt{9\times 3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}+2\sqrt{2}-7\sqrt{3}+6\times\sqrt{2}+\sqrt{9}\times\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}+6\sqrt{2}-7\sqrt{3}+\sqrt{9}\times\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}+8\sqrt{2}-7\sqrt{3}+3\times\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}+16\sqrt{2}}{2}-7\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{17\sqrt{2}}{2}-4\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{17}{2}\sqrt{2}-4\sqrt{3}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{A=\dfrac{17}{2}\sqrt{2}-4\sqrt{3}}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\sqrt{200}-5\sqrt{\dfrac{75}{2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt{54}-\sqrt{32}\\\\&=&\sqrt{100\times 2}-5\times\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt{9\times 6}-\sqrt{16\times 2}\\\\&=&\sqrt{100}\times\sqrt{2}-5\times\dfrac{\sqrt{25\times 3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3}{2}\times\sqrt{9}\times\sqrt{6}-\sqrt{16}\times\sqrt{2}\\\\&=&10\times\sqrt{2}-5\times\dfrac{\sqrt{25}\times\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3}{2}\times 3\times\sqrt{6}-4\times\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}-5\times\dfrac{5\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}+\dfrac{9}{2}\sqrt{6}-4\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}-4\sqrt{2}-25\times\dfrac{\sqrt{3\times 2}}{2}+\dfrac{9}{2}\sqrt{6}\\\\&=&6\sqrt{2}-\dfrac{25}{2}\sqrt{6}+\dfrac{9}{2}\sqrt{6}\\\\&=&6\sqrt{2}-\dfrac{16}{2}\sqrt{6}\\\\&=&6\sqrt{2}-8\sqrt{6}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{B=6\sqrt{2}-8\sqrt{6}}$
 
$\begin{array}{rcl} C&=&5\sqrt{20}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{9}{5}}-2\sqrt{343}+10\sqrt{28}\\\\&=&5\sqrt{4\times 5}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}-2\sqrt{49\times 7}+10\sqrt{4\times 7}\\\\&=&5\times\sqrt{4}\times\sqrt{5}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{\sqrt{5}}-2\times\sqrt{49}\times\sqrt{7}+10\times\sqrt{4}\times\sqrt{7}\\\\&=&5\times 2\times\sqrt{5}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}-2\times 7\times\sqrt{7}+10\times 2\times\sqrt{7}\\\\&=&10\sqrt{5}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3\times\sqrt{5}}{5}-14\sqrt{7}+20\sqrt{7}\\\\&=&10\sqrt{5}+\dfrac{9\sqrt{5}}{10}+6\sqrt{7}\\\\&=&\dfrac{100\sqrt{5}}{10}+\dfrac{9\sqrt{5}}{10}+6\sqrt{7}\\\\&=&\dfrac{109\sqrt{5}}{10}+6\sqrt{7}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{C=\dfrac{109}{10}\sqrt{5}+6\sqrt{7}}$

Exercice 2

Calculons les expressions suivantes tout en rendant rationnel le dénominateur :
 
$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{3}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{6}-\dfrac{2\sqrt{2}}{6}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}}\\\\&=&\dfrac{6\times(3\sqrt{2}-4\sqrt{5})}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{6\times(3\sqrt{2}-4\sqrt{5})\times(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{6\times[(3\sqrt{2})\times(3\sqrt{3})+(3\sqrt{2})\times(2\sqrt{2})-(4\sqrt{5})\times(3\sqrt{3})-(4\sqrt{5})\times(2\sqrt{2})]}{(3\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{6\times[(9\sqrt{2}\times\sqrt{3})+(6\sqrt{2}\times\sqrt{2})-(12\sqrt{5}\times\sqrt{3})-(8\sqrt{5}\times\sqrt{2})]}{(9\times 3)-(4\times 2)}\\\\&=&\dfrac{6\times(9\sqrt{6}+12-12\sqrt{15}-8\sqrt{10})}{27-8}\\\\&=&\dfrac{6\times(9\sqrt{6}+12-12\sqrt{15}-8\sqrt{10})}{19}\\\\&=&\dfrac{54\sqrt{6}-72\sqrt{15}-48\sqrt{10}+72}{19}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{X=\dfrac{54\sqrt{6}-72\sqrt{15}-48\sqrt{10}+72}{19}}$
 
$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}\\\\&=&-1\end{array}$
 
D'où, $\boxed{Y=-1}$
 
$\begin{array}{rcl} Z&=&\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})\times\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})\times\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{Z=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}}$
 
$\begin{array}{rcl} T&=&\dfrac{\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{11}}{4\sqrt{3}+\sqrt{7}}}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{11}}{4\sqrt{3}+\sqrt{7}}}{\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{11}}{4\sqrt{3}+\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{11})\times\sqrt{2}}{(4\sqrt{3}+\sqrt{7})\times\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{5}\times\sqrt{2}-3\sqrt{11}\times\sqrt{2}}{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}+\sqrt{7}\times\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{10}-3\sqrt{22}}{12+\sqrt{21}}\\\\&=&\dfrac{(2\sqrt{10}-3\sqrt{22})(12-\sqrt{21})}{(12+\sqrt{21})(12-\sqrt{21})}\\\\&=&\dfrac{24\sqrt{10}-36\sqrt{22}-2\sqrt{10}\times\sqrt{21}+3\sqrt{22}\times\sqrt{21}}{(12)^{2}-(\sqrt{21})^{2}}\\\\&=&\dfrac{24\sqrt{10}-36\sqrt{22}-2\sqrt{210}+3\sqrt{462}}{144-21}\\\\&=&\dfrac{24\sqrt{10}-36\sqrt{22}-2\sqrt{210}+3\sqrt{462}}{123}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{T=\dfrac{24\sqrt{10}-36\sqrt{22}-2\sqrt{210}+3\sqrt{462}}{123}}$

Exercice 3

Soit un réel $a\ $ tel que : $a=1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ et soit $b$ son expression conjuguée.
 
1) Déterminer $b$
 
Comme $b$ est l'expression conjuguée de $a$ alors, on a :
$$b=1-\sqrt{\dfrac{1}{2}}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Calculons $(a+b)^{2}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} (a+b)^{2}&=&\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+1-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}\\\\&=&(2)^{2}\\\\&=&4\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{(a+b)^{2}=4}$
 
2) Montrons que $2ab=1$
 
En calculant $a\times b$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} a\times b&=&\left(1+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)\left(1-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)\\\\&=&(1)^{2}-\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}\\\\&=&1-\dfrac{1}{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
 
Par suite $2ab=2\times\dfrac{1}{2}=1$
 
D'où, $\boxed{2ab=1}$
 
Déduisons alors l'expression de $a^{2}+b^{2}$
 
On sait que : $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
 
Donc, $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
 
Ce qui donne : $a^{2}+b^{2}=4-1=3$
 
Ainsi, $\boxed{a^{2}+b^{2}=3}$

Exercice 4

On considère deux cercle $\mathcal{C}(O\;,\ 2.5)\ $ et $\ \mathcal{C}'(O'\;,\ 2)$ sécantes en $B\ $ et $\ C.$
 
Soit $\mathcal{(D)}$ la droite passant par $B$ et parallèle à $(AO).$
 
La droite passant par $C$ et parallèle à la droite $(O'B)$ coupe $(OA)$ en $I\;,\ (AB)$ en $J$ et $(\mathcal{D})$ en $K.$ On donne $O'I=1.6$
 
 
1) Calculons $AB\;;\ BK\ $ et $\ BJ$
 
$-\ $ Calcul de $AB$
 
Le triangle $ABO'$ est inscrit sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que $[AO']$ est un diamètre de $(\mathcal{C}).$
 
Alors, $ABO'$ est un triangle rectangle en $B.$
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
$$AO'^{2}=AB^{2}+O'B^{2}$$
Par suite, $AB^{2}=AO'^{2}-O'B^{2}$ avec $AO'=2\times 2.5=5\;cm$
 
Comme $B\in(\mathcal{C}')$ alors, $O'B=2\;cm$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} AB&=&\sqrt{AO'^{2}-O'B^{2}}\\\\&=&\sqrt{5^{2}-2^{2}}\\\\&=&\sqrt{25-4}\\\\&=&\sqrt{21}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AB=\sqrt{21}\;cm}$
 
$-\ $ Calcul de $BK$
 
On a : $(IK)$ parallèle à $(O'B)\ $ et $\ (BK)$ parallèle à $(O'I)$ alors, $IO'BK$ est un parallélogramme.
 
D'où, $BK=O'I$
 
Par conséquent, $\boxed{BK=1.6\;cm}$
 
$-\ $ Calcul de $BJ$
 
Comme les droites $(IJ)\ $ et $\ (O'B)$ sont parallèles alors, les triangles $ABO'\ $ et $\ AIJ$ sont en position de Thalès.
 
Donc, en appliquant une conséquence du théorème de Thalès, on obtient :
$$\dfrac{BJ}{AB}=\dfrac{O'I}{AO'}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} BJ&=&\dfrac{O'I}{AO'}\times AB\\\\&=&\dfrac{1.6}{5}\times\sqrt{21}\\\\&=&\dfrac{1.6\sqrt{21}}{5}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{BJ=\dfrac{1.6\sqrt{21}}{5}\;cm}$
 
2) Soit $E\in[AO]\ $ et $\ F\in[AJ]$ tels que :
$$AE=x\quad\text{et}\quad AF=\dfrac{x\sqrt{21}}{5}$$
La droite passant par $E\ $ et $\ F$ coupe $(\mathcal{D})$ en $G$ 
 
Montrons que $(EG)$ est parallèle à $(O'B)$
 
D'une part, $A\;;\ F\;;\ B$ sont trois points alignés dans cet ordre et d'autre part, $A\;;\ E\;;\ O'$ sont trois points alignés dans cet ordre.
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{AF}{AB}&=&\dfrac{\dfrac{x\sqrt{21}}{5}}{\sqrt{21}}\\\\&=&\dfrac{x\sqrt{21}}{5}\times\dfrac{1}{\sqrt{21}}\\\\&=&\dfrac{x}{5}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{x}{5}}$
 
Aussi, on a : $\boxed{\dfrac{AE}{AO'}=\dfrac{x}{5}}$
 
Ainsi, on constate que :
$$\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AO'}=\dfrac{x}{5}$$
Par suite, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(EF)\ $ et $\ (O'B)$ sont parallèles.
 
D'où, $(EG)$ est parallèle à $(O'B)$
 
3) En déduisons que $(EG)$ est parallèle à $(IJ)$
 
On a : $(IJ)$ parallèle à $(O'B)\ $ et $\ (EG)$ parallèle à $(O'B)$
 
Or, si deux droites sont parallèles alors, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Donc, $(EG)$ est bien parallèle à $(IJ).$

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Merci beaucoup

je vous remercie merci beaucoup

Je peux réussir mes examens

Je peux réussir mes examens

Merci de votre fidélité et vous souhaite une bonne santé

Merci infiniment

J’ai pas compris car vos opérations sont trop longues alors qu’on peut avoir des opérations beaucoup plus courte que ceux-ci Mais aussi aider nous a faire correctement les exercices en nous fessants des démonstrations logiques

Ajouter un commentaire