Corrigé devoir n° 1 maths - 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

Écrivons les expressions suivantes sous la forme xa+ybxa+ybx  et  y sont des réels et a  et  b des entiers naturels :
 
A=12+(2)373+72+813=12+(2)2×(2)73+36×2+27=12+2×273+36×2+9×3=22×2+2273+6×2+9×3=22+22+6273+9×3=22+8273+3×3=2+162273+33=172243=172243
 
Ainsi, A=172243
 
B=2005752+325432=100×25×752+329×616×2=100×25×25×32+32×9×616×2=10×25×25×32+32×3×64×2=1025×5×3×22×2+92642=1024225×3×22+926=622526+926=621626=6286
 
D'où, B=6286
 
C=520+32952343+1028=54×5+32×95249×7+104×7=5×4×5+32×352×49×7+10×4×7=5×2×5+32×3×55×52×7×7+10×2×7=105+32×3×55147+207=105+9510+67=100510+9510+67=109510+67
 
Donc, C=109105+67

Exercice 2

Calculons les expressions suivantes tout en rendant rationnel le dénominateur :
 
X=32453223=3245336226=324533226=6×(3245)3322=6×(3245)×(33+22)(3322)(33+22)=6×[(32)×(33)+(32)×(22)(45)×(33)(45)×(22)](33)2(22)2=6×[(92×3)+(62×2)(125×3)(85×2)](9×3)(4×2)=6×(96+121215810)278=6×(96+121215810)19=54672154810+7219
 
Ainsi, X=54672154810+7219
 
Y=23+322332=23+32(23+32)=23+3223+32=1
 
D'où, Y=1
 
Z=7523=7523=(75)×32=(75)×3×22×2=(75)×62=6(75)2
 
D'où, Z=6(75)2
 
T=2531143+732=2531143+732=2531143+7×23=(25311)×2(43+7)×3=25×2311×243×3+7×3=21032212+21=(210322)(1221)(12+21)(1221)=24103622210×21+322×21(12)2(21)2=241036222210+346214421=241036222210+3462123
 
Ainsi, T=241036222210+3462123

Exercice 3

Soit un réel a  tel que : a=1+12 et soit b son expression conjuguée.
 
1) Déterminer b
 
Comme b est l'expression conjuguée de a alors, on a :
b=112=122
Calculons (a+b)2
 
On a :
 
(a+b)2=(1+12+112)2=(2)2=4
 
Ainsi, (a+b)2=4
 
2) Montrons que 2ab=1
 
En calculant a×b, on obtient :
 
a×b=(1+12)(112)=(1)2(12)2=112=12
 
Par suite 2ab=2×12=1
 
D'où, 2ab=1
 
Déduisons alors l'expression de a2+b2
 
On sait que : (a+b)2=a2+b2+2ab
 
Donc, a2+b2=(a+b)22ab
 
Ce qui donne : a2+b2=41=3
 
Ainsi, a2+b2=3

Exercice 4

On considère deux cercle C(O, 2.5)  et  C(O, 2) sécantes en B  et  C.
 
Soit (D) la droite passant par B et parallèle à (AO).
 
La droite passant par C et parallèle à la droite (OB) coupe (OA) en I, (AB) en J et (D) en K. On donne OI=1.6
 
 
1) Calculons AB; BK  et  BJ
 
  Calcul de AB
 
Le triangle ABO est inscrit sur le cercle (C) tel que [AO] est un diamètre de (C).
 
Alors, ABO est un triangle rectangle en B.
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
AO2=AB2+OB2
Par suite, AB2=AO2OB2 avec AO=2×2.5=5cm
 
Comme B(C) alors, OB=2cm
 
Ainsi,
 
AB=AO2OB2=5222=254=21
 
D'où, AB=21cm
 
  Calcul de BK
 
On a : (IK) parallèle à (OB)  et  (BK) parallèle à (OI) alors, IOBK est un parallélogramme.
 
D'où, BK=OI
 
Par conséquent, BK=1.6cm
 
  Calcul de BJ
 
Comme les droites (IJ)  et  (OB) sont parallèles alors, les triangles ABO  et  AIJ sont en position de Thalès.
 
Donc, en appliquant une conséquence du théorème de Thalès, on obtient :
BJAB=OIAO
Par suite,
 
BJ=OIAO×AB=1.65×21=1.6215
 
D'où, BJ=1.6215cm
 
2) Soit E[AO]  et  F[AJ] tels que :
AE=xetAF=x215
La droite passant par E  et  F coupe (D) en G 
 
Montrons que (EG) est parallèle à (OB)
 
D'une part, A; F; B sont trois points alignés dans cet ordre et d'autre part, A; E; O sont trois points alignés dans cet ordre.
 
Alors, on a :
 
AFAB=x21521=x215×121=x5
 
Donc, AFAB=x5
 
Aussi, on a : AEAO=x5
 
Ainsi, on constate que :
AFAB=AEAO=x5
Par suite, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF)  et  (OB) sont parallèles.
 
D'où, (EG) est parallèle à (OB)
 
3) En déduisons que (EG) est parallèle à (IJ)
 
On a : (IJ) parallèle à (OB)  et  (EG) parallèle à (OB)
 
Or, si deux droites sont parallèles alors, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Donc, (EG) est bien parallèle à (IJ).

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Merci beaucoup

je vous remercie merci beaucoup

Je peux réussir mes examens

Je peux réussir mes examens

Je veux réussir mes examens

Merci de votre fidélité et vous souhaite une bonne santé

Merci infiniment

J’ai pas compris car vos opérations sont trop longues alors qu’on peut avoir des opérations beaucoup plus courte que ceux-ci Mais aussi aider nous a faire correctement les exercices en nous fessants des démonstrations logiques

Je veux apprendre dans cette application les cours de maths PC et svt

Vos opérations son trop longues

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