Corrigé devoir n° 1 maths - 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Écrivons les expressions suivantes sous la forme x√a+y√bx√a+y√b où x et y sont des réels et a et b des entiers naturels :
A=√12+(√2)3−7√3+√72+√813=√1√2+(√2)2×(√2)−7√3+√36×2+√27=1√2+2×√2−7√3+√36×√2+√9×3=√2√2×√2+2√2−7√3+6×√2+√9×√3=√22+2√2+6√2−7√3+√9×√3=√22+8√2−7√3+3×√3=√2+16√22−7√3+3√3=17√22−4√3=172√2−4√3
Ainsi, A=172√2−4√3
B=√200−5√752+32√54−√32=√100×2−5×√75√2+32√9×6−√16×2=√100×√2−5×√25×3√2+32×√9×√6−√16×√2=10×√2−5×√25×√3√2+32×3×√6−4×√2=10√2−5×5×√3×√2√2×√2+92√6−4√2=10√2−4√2−25×√3×22+92√6=6√2−252√6+92√6=6√2−162√6=6√2−8√6
D'où, B=6√2−8√6
C=5√20+32√95−2√343+10√28=5√4×5+32×√9√5−2√49×7+10√4×7=5×√4×√5+32×3√5−2×√49×√7+10×√4×√7=5×2×√5+32×3×√5√5×√5−2×7×√7+10×2×√7=10√5+32×3×√55−14√7+20√7=10√5+9√510+6√7=100√510+9√510+6√7=109√510+6√7
Donc, C=10910√5+6√7
Exercice 2
Calculons les expressions suivantes tout en rendant rationnel le dénominateur :
X=3√2−4√5√32−√23=3√2−4√53√36−2√26=3√2−4√53√3−2√26=6×(3√2−4√5)3√3−2√2=6×(3√2−4√5)×(3√3+2√2)(3√3−2√2)(3√3+2√2)=6×[(3√2)×(3√3)+(3√2)×(2√2)−(4√5)×(3√3)−(4√5)×(2√2)](3√3)2−(2√2)2=6×[(9√2×√3)+(6√2×√2)−(12√5×√3)−(8√5×√2)](9×3)−(4×2)=6×(9√6+12−12√15−8√10)27−8=6×(9√6+12−12√15−8√10)19=54√6−72√15−48√10+7219
Ainsi, X=54√6−72√15−48√10+7219
Y=2√3+3√2−2√3−3√2=2√3+3√2−(2√3+3√2)=−2√3+3√22√3+3√2=−1
D'où, Y=−1
Z=√7−√5√23=√7−√5√2√3=(√7−√5)×√3√2=(√7−√5)×√3×√2√2×√2=(√7−√5)×√62=√6(√7−√5)2
D'où, Z=√6(√7−√5)2
T=2√5−3√114√3+√7√32=2√5−3√114√3+√7√3√2=2√5−3√114√3+√7×√2√3=(2√5−3√11)×√2(4√3+√7)×√3=2√5×√2−3√11×√24√3×√3+√7×√3=2√10−3√2212+√21=(2√10−3√22)(12−√21)(12+√21)(12−√21)=24√10−36√22−2√10×√21+3√22×√21(12)2−(√21)2=24√10−36√22−2√210+3√462144−21=24√10−36√22−2√210+3√462123
Ainsi, T=24√10−36√22−2√210+3√462123
Exercice 3
Soit un réel a tel que : a=1+√12 et soit b son expression conjuguée.
1) Déterminer b
Comme b est l'expression conjuguée de a alors, on a :
b=1−√12=1−√22
Calculons (a+b)2
On a :
(a+b)2=(1+√12+1−√12)2=(2)2=4
Ainsi, (a+b)2=4
2) Montrons que 2ab=1
En calculant a×b, on obtient :
a×b=(1+√12)(1−√12)=(1)2−(√12)2=1−12=12
Par suite 2ab=2×12=1
D'où, 2ab=1
Déduisons alors l'expression de a2+b2
On sait que : (a+b)2=a2+b2+2ab
Donc, a2+b2=(a+b)2−2ab
Ce qui donne : a2+b2=4−1=3
Ainsi, a2+b2=3
Exercice 4
On considère deux cercle C(O, 2.5) et C′(O′, 2) sécantes en B et C.
Soit (D) la droite passant par B et parallèle à (AO).
La droite passant par C et parallèle à la droite (O′B) coupe (OA) en I, (AB) en J et (D) en K. On donne O′I=1.6
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1) Calculons AB; BK et BJ
− Calcul de AB
Le triangle ABO′ est inscrit sur le cercle (C) tel que [AO′] est un diamètre de (C).
Alors, ABO′ est un triangle rectangle en B.
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
AO′2=AB2+O′B2
Par suite, AB2=AO′2−O′B2 avec AO′=2×2.5=5cm
Comme B∈(C′) alors, O′B=2cm
Ainsi,
AB=√AO′2−O′B2=√52−22=√25−4=√21
D'où, AB=√21cm
− Calcul de BK
On a : (IK) parallèle à (O′B) et (BK) parallèle à (O′I) alors, IO′BK est un parallélogramme.
D'où, BK=O′I
Par conséquent, BK=1.6cm
− Calcul de BJ
Comme les droites (IJ) et (O′B) sont parallèles alors, les triangles ABO′ et AIJ sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant une conséquence du théorème de Thalès, on obtient :
BJAB=O′IAO′
Par suite,
BJ=O′IAO′×AB=1.65×√21=1.6√215
D'où, BJ=1.6√215cm
2) Soit E∈[AO] et F∈[AJ] tels que :
AE=xetAF=x√215
La droite passant par E et F coupe (D) en G
Montrons que (EG) est parallèle à (O′B)
D'une part, A; F; B sont trois points alignés dans cet ordre et d'autre part, A; E; O′ sont trois points alignés dans cet ordre.
Alors, on a :
AFAB=x√215√21=x√215×1√21=x5
Donc, AFAB=x5
Aussi, on a : AEAO′=x5
Ainsi, on constate que :
AFAB=AEAO′=x5
Par suite, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (O′B) sont parallèles.
D'où, (EG) est parallèle à (O′B)
3) En déduisons que (EG) est parallèle à (IJ)
On a : (IJ) parallèle à (O′B) et (EG) parallèle à (O′B)
Or, si deux droites sont parallèles alors, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
Donc, (EG) est bien parallèle à (IJ).
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 11/13/2021 - 17:34
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Merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
dim, 12/18/2022 - 23:30
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je vous remercie merci
Abdou salam Diane (non vérifié)
lun, 10/16/2023 - 23:11
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BFM
Abdou salam Diane (non vérifié)
lun, 10/16/2023 - 23:11
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BFM
Oumy Faye ❤ (non vérifié)
ven, 10/18/2024 - 18:41
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Je veux réussir mes examens
Anonyme (non vérifié)
mer, 10/18/2023 - 17:40
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Merci de votre fidélité et
Mame Adama dieng (non vérifié)
mar, 11/07/2023 - 22:05
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Merci infiniment
Dieynaba (non vérifié)
sam, 11/11/2023 - 01:40
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J’ai pas compris car vos
Oumy Faye ❤ (non vérifié)
ven, 10/18/2024 - 18:40
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Je veux apprendre dans cette
Mame Diarra Ndiaye (non vérifié)
dim, 11/03/2024 - 18:52
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Je vous remercie
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