Corrigé devoir n° 2 maths - 2nd L

 

1) La valeur absolue de $5-3\sqrt{5}$ est : $-5+3\sqrt{5}$

 

2) L'équation $|x-3|=-2$ admet zéro solution

 

3) Le nombre $-5$ est une racine du polynôme $-x^{2}-10x-25$

 

4) le degré de $x^{2}+5-x^{3}$ est $3$

 

5) $-3x^{5}$ est un monôme de degré $5$

1) Développons, réduisons et ordonnons

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(3x-2)^{2}-(4x+1)(3x-5)\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 2\times(3x)+(2)^{2}-[(4x)\times(3x)-(4x)\times 5+3x-5]\\\\&=&9x^{2}-12x+4-(12x^{2}-20x+3x-5)\\\\&=&9x^{2}-12x+4-12x^{2}+17x+5\\\\&=&-3x^{2}+5x+9\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=-3x^{2}+5x+9}$

 

2) Factorisons $B(x)=(6x-9)-(2x-3)(4x-1)+4x^{2}-9$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(6x-9)-(2x-3)(4x-1)+4x^{2}-9\\\\&=&3(2x-3)-(2x-3)(4x-1)+(2x-3)(2x+3)\\\\&=&(2x-3)[3-(4x-1)+(2x+3)]\\\\&=&(2x-3)(3-4x+1+2x+3)\\\\&=&(2x-3)(-2x+7)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=(2x-3)(-2x+7)}$

 

3) On donne la fraction rationnelle

$$C(x)=\dfrac{x^{2}-16}{2x-8}$$

a) Factorisons le numérateur et dénominateur de $C(x)$

 

Soit : $N=x^{2}-16\ $ et $\ D=2x-8$

 

Alors, $N=(x-4)(x+4)\ $ et $\ D=2(x-4)$

 

b) La condition d'existence d'une valeur numérique est : $D\neq 0$

 

Ce qui se traduit par :

 

$\begin{array}{rcl} D\neq 0&\Leftrightarrow&2(x-4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x-4\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 4\end{array}$

 

Donc, pour tout nombre réel $x\neq 4$, une valeur numérique de $C(x)$ existe.

 

c) Simplifions $C(x)$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} C(x)&=&\dfrac{x^{2}-16}{2x-8}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)}\\\\&=&\dfrac{x+4}{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C(x)=\dfrac{x+4}{2}}$

Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations 

 

1) $|x+3|=2$

 

$\begin{array}{rcl}|x+3|=2&\Leftrightarrow&x+3=2\  \text{ ou }\  x+3=-2\\\\&\Leftrightarrow&x=2-3\  \text{ ou }\  x=-2-3\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\  \text{ ou }\  x=-5\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;\{-5\;;\ -1\}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{S=\{-5\;;\ -1\}}$

 

2) $|x-2|=7$

 

$\begin{array}{rcl}|x-2|=7&\Leftrightarrow&x-2=7\  \text{ ou }\  x-2=-7\\\\&\Leftrightarrow&x=7+2\  \text{ ou }\ x=-7+2\\\\&\Leftrightarrow&x=9\  \text{ ou }\  x=-5\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;\{-5\;;\ 9\}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{S=\{-5\;;\ 9\}}$

 

3) $|x-2|\leq 3$

 

$\begin{array}{rcl}|x-2|\leq 3&\Leftrightarrow&-3\leq x-2\leq 3\\\\&\Leftrightarrow&-3+2\leq x-2+2\leq 3+2\\\\&\Leftrightarrow&-1\leq x\leq 5\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;[-1\;;\ 5]\end{array}$

 

D'où, $\boxed{S=[-1\;;\ 5]}$

 

4) $|x+2|<4$

 

$\begin{array}{rcl}|x+2|<4&\Leftrightarrow&-4<x+2<4\\\\&\Leftrightarrow&-4-2<x+2-2<4-2\\\\&\Leftrightarrow&-6<x<2\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;]-6\;;\ 2[\end{array}$

 

D'où, $\boxed{S=]-6\;;\ 2[}$

 

5) $|x-5|>5$

 

$\begin{array}{rcl}|x-5|>5&\Leftrightarrow&x-5>5\  \text{ ou }\  x-5<-5\\\\&\Leftrightarrow&x>5+5\  \text{ ou }\  x<-5+5\\\\&\Leftrightarrow&x>10\  \text{ ou }\  x<0\\\\&\Leftrightarrow&x\in\;]-\infty\;;\ 0[\cup]10\;;\ +\infty[ \end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{S=]-\infty\;;\ 0[\cup]10\;;\ +\infty[}$

1) Donnons les formes canoniques de 

 

a) $A=x^{2}-6x+1$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&x^{2}-6x+1\\\\&=&\left(x-\dfrac{6}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{36-4}{4}\right)\\\\&=&\left(x-3\right)^{2}-\dfrac{32}{4}\\\\&=&\left(x-3\right)^{2}-8\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=\left(x-3\right)^{2}-8}$

 

b) $B=x^{2}+5x-2$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&x^{2}+5x-2\\\\&=&\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{25+8}{4}\right)\\\\&=&\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{33}{4}\end{array}$

 

Alors, $\boxed{B=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{33}{4}}$

 

2) On a le polynôme $P(x)=2x^{2}-5x+3$

 

a) Vérifions que $1$ est une racine de $P(x)$

 

Soit alors,

 

$\begin{array}{rcl} P(1)&=&2\times(1)^{2}-5\times 1+3\\\\&=&2-5+3\\\\&=&0\end{array}$

 

$P(1)=0$ donc, $1$ est bien une racine de $P(x).$

 

b) Déterminons les réels $a\ $ et $\ b$ tels que $P(x)=(x-1)(ax+b)$ 

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-1)(ax+b)\\\\&=&ax^{2}+bx-ax-b\\\\&=&ax^{2}+(b-a)x-b\end{array}$

 

Donc, $P(x)=ax^{2}+(b-a)x-b$

 

Or, $P(x)=2x^{2}-5x+3$ donc, en procédant par identification des coefficients, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2\\\\b-a&=&-5\\\\-b&=&3\end{array}\right.\ \Rightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2\\\\b&=&-3\end{array}\right.$$

D'où, $\boxed{P(x)=(x-1)(2x-3)}$