Corrigé devoir n° 2 maths - 2nd s

 

1) Simplifions les expressions suivantes lorsqu'elles sont définies :

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3x^{2}}{2x^{3}+3x^{2}y}-\dfrac{2y^{2}}{2xy^{2}-3y^{3}}+\dfrac{12xy^{2}}{4x^{3}y-9xy^{3}}\\\\&=&\dfrac{3x^{2}}{x^{2}(2x+3y)}-\dfrac{2y^{2}}{y^{2}(2x-3y)}+\dfrac{12xy^{2}}{xy(4x^{2}-9y^{2})}\\\\&=&\dfrac{3}{(2x+3y)}-\dfrac{2}{(2x-3y)}+\dfrac{12y}{(4x^{2}-9y^{2})}\\\\&=&\dfrac{3(2x-3y)}{(2x+3y)(2x-3y)}-\dfrac{2(2x+3y)}{(2x-3y)(2x+3y)}+\dfrac{12y}{(2x-3y)(2x+3y)}\\\\&=&\dfrac{6x-9y-4x-6y+12y}{(2x+3y)(2x-3y)}\\\\&=&\dfrac{(2x-3y)}{(2x-3y)(2x+3y)}\\\\&=&\dfrac{1}{2x+3y}\end{array}$

 

Alors, $\boxed{A=\dfrac{1}{2x+3y}}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{(-a)^{3}b}{c}\right)^{3}\div\dfrac{[(-a^{2})^{5}b^{-2}(-c^{-3})^{2}]^{-2}}{[a^{2}(-b)(-c^{-2})^{3}]^{-1}}\\\\&=&\left(\dfrac{(-a)^{3}b}{c}\right)^{3}\div\dfrac{[a^{2}(-b)(-c^{-2})^{3}]^{1}}{[(-a^{2})^{5}b^{-2}(-c^{-3})^{2}]^{2}}\\\\&=&\dfrac{-a^{9}b^{3}}{c^{3}}\times\dfrac{[(-a^{2})^{5}b^{-2}(-c^{-3})^{2}]^{2}}{[a^{2}(-b)(-c^{-2})^{3}]^{1}}\\\\&=&\dfrac{-a^{9}b^{3}\times[-a^{10}b^{-2}c^{-6}]^{2}}{c^{3}a^{2}(-b)(-c^{-6})}\\\\&=&\dfrac{-a^{9}b^{3}a^{20}b^{-4}c^{-12}}{c^{3}a^{2}bc^{-6}}\\\\&=&\dfrac{-a^{29}b^{-1}c^{-12}}{a^{2}bc^{-3}}\\\\&=&-a^{27}b^{-2}c^{-9}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-a^{27}b^{-2}c^{-9}}$

 

2) Calculons la valeur de l'expression : 

 

$C=(8^{n-1}+8^{n})^{2}\div(4^{n}-4^{n-1})^{3}$ pour $n=0\;,\ 1\;,\ 2.$

 

$-\ $ pour $n=0$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} C_{0}&=&(8^{0-1}+8^{0})^{2}\div(4^{0}-4^{0-1})^{3}\\\\&=&(8^{-1}+1)^{2}\div(1-4^{-1})^{3}\\\\&=&\left(\dfrac{1}{8}+1\right)^{2}\div\left(1-\dfrac{1}{4}\right)^{3}\\\\&=&\left(\dfrac{9}{8}\right)^{2}\div\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}\\\\&=&\dfrac{9^{2}}{8^{2}}\times\dfrac{4^{3}}{3^{3}}\\\\&=&\dfrac{81\times 64}{64\times 27}\\\\&=&\dfrac{81}{27}\\\\&=&3\end{array}$

 

Donc, $\boxed{C_{0}=3}$

 

$-\ $ pour $n=1$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} C_{1}&=&(8^{1-1}+8^{1})^{2}\div(4^{1}-4^{1-1})^{3}\\\\&=&(8^{0}+8)^{2}\div(4-4^{0})^{3}\\\\&=&(1+8)^{2}\div(4-1)^{3}\\\\&=&9^{2}\div 3^{3}\\\\&=&\dfrac{81}{27}\\\\&=&3\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C_{1}=3}$

 

$-\ $ pour $n=2$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} C_{2}&=&(8^{2-1}+8^{2})^{2}\div(4^{2}-4^{2-1})^{3}\\\\&=&(8+64)^{2}\div(16-4)^{3}\\\\&=&(72)^{2}\div(12)^{3}\\\\&=&\dfrac{5184}{1728}\\\\&=&3\end{array}$

 

Donc, $\boxed{C_{2}=3}$

 

Montrons que, lorsque $n$ est un entier relatif quelconque, $C$ a une valeur fixe.

 

On constate que pour $n=0\;,\ 1\;,\ 2\;,\ C$ a une valeur fixe égale à $3.$

 

Donc, la proposition est vraie pour $n=0\;,\ 1\;,\ 2$

 

Supposons qu'elle est vraie pour $n.$

 

Montrons alors, qu'elle est vraie à l'ordre $n+1.$

 

A l'ordre $n+1$, on a :

   

$\begin{array}{rcl} C&=&(8^{(n+1)-1}+8^{n+1})^{2}\div(4^{n+1}-4^{(n+1)-1})^{3}\\\\&=&(8^{n+1-1}+8^{n+1})^{2}\div(4^{n+1}-4^{n+1-1})^{3}\\\\&=&(8^{n}+8^{n+1})^{2}\div(4^{n+1}-4^{n})^{3}\\\\&=&(8\times 8^{n-1}+8\times 8^{n+1-1})^{2}\div(4\times 4^{n+1-1}-4\times 4^{n-1})^{3}\\\\&=&[8(8^{n-1}+8^{n})]^{2}\div[4(4^{n}-4^{n-1})]^{3}\\\\&=&\dfrac{8^{2}\times(8^{n-1}+8^{n})^{2}}{4^{3}\times(4^{n}-4^{n-1})^{3}}\\\\&=&\dfrac{64\times(8^{n-1}+8^{n})^{2}}{64\times(4^{n}-4^{n-1})^{3}}\\\\&=&\dfrac{(8^{n-1}+8^{n})^{2}}{(4^{n}-4^{n-1})^{3}}\end{array}$

 

Alors, $(8^{(n+1)-1}+8^{n+1})^{2}\div(4^{n+1}-4^{(n+1)-1})^{3}=\dfrac{(8^{n-1}+8^{n})^{2}}{(4^{n}-4^{n-1})^{3}}$

 

Or, par hypothèse, $\dfrac{(8^{n-1}+8^{n})^{2}}{(4^{n}-4^{n-1})^{3}}=3$

 

Donc, $(8^{(n+1)-1}+8^{n+1})^{2}\div(4^{n+1}-4^{(n+1)-1})^{3}=3$

 

Ainsi, lorsque $n$ est un entier relatif quelconque, $C$ a une valeur fixe.

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ a'\;,\ b'\;,\ c'\;$, sont des nombres réels tels que :

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=1$$

Montrons que les réels

$$x=(aa'+bb'+cc')^{2}\ \text{ et }\ y=1-(ab'-ba')^{2}-(bc'-cb')^{2}-(ca'-ac')^{2}$$ sont égaux.

 

Pour cela, il suffit de montrer que $x-y=0$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} x&=&(aa'+bb'+cc')^{2}\\\\&=&a^{2}a'^{2}+aa'bb'+aa'cc'+bb'aa'+b^{2}b'^{2}+bb'cc'+cc'aa'+cc'bb'+c^{2}c'^{2}\\\\&=&a^{2}a'^{2}+b^{2}b'^{2}+c^{2}c'^{2}+2aa'bb'+2aa'cc'+2bb'cc'\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x=a^{2}a'^{2}+b^{2}b'^{2}+c^{2}c'^{2}+2aa'bb'+2aa'cc'+2bb'cc'}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} y&=&1-(ab'-ba')^{2}-(bc'-cb')^{2}-(ca'-ac')^{2}\\\\&=&1-(a^{2}b'^{2}-2ab'ba'+b^{2}a'^{2})-(b^{2}c'^{2}-2bc'cb'+c^{2}b'^{2})-(c^{2}a'^{2}-2ca'ac'+a^{2}c'^{2})\\\\&=&1-a^{2}b'^{2}-b^{2}c'^{2}-c^{2}b'^{2}-b^{2}a'^{2}-c^{2}a'^{2}-a^{2}c'^{2}+2bb'cc'+2aa'bb'+2cc'aa'\end{array}$

 

Donc, $\boxed{y=1-a^{2}b'^{2}-b^{2}c'^{2}-c^{2}b'^{2}-b^{2}a'^{2}-c^{2}a'^{2}-a^{2}c'^{2}+2bb'cc'+2aa'bb'+2cc'aa'}$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} x-y&=&a^{2}a'^{2}+b^{2}b'^{2}+c^{2}c'^{2}-1+a^{2}b'^{2}+b^{2}c'^{2}+c^{2}b'^{2}+b^{2}a'^{2}+c^{2}a'^{2}+a^{2}c'^{2}\\\\&=&a^{2}(\underbrace{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}_{=1})+b^{2}(\underbrace{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}_{=1})+c^{2}(\underbrace{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}_{=1})-1\\\\&=&\underbrace{a^{2}+b^{2}+c^{2}}_{=1}-1\\\\&=&1-1\\\\&=&0\end{array}$

 

Par suite, $x-y=0$

 

D'où, $\boxed{x=y}$

$x\ $ et $\ y$ sont deux réels quelconques.

 

1) Factorisons (totalement) l'expression :

$$E=(x^{2}+3xy+y^{2})^{2}-y^{4}$$

$E$ peut se s'écrire sous la forme :

$$E=[(x^{2}+3xy+y^{2})]^{2}-[(y)^{2}]^{2}$$

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} E&=&[(x^{2}+3xy+y^{2})-y^{2}][(x^{2}+3xy+y^{2})+y^{2}]\\\\&=&(x^{2}+3xy+y^{2}-y^{2})(x^{2}+3xy+y^{2}+y^{2})\\\\&=&(x^{2}+3xy)(x^{2}+2xy+y^{2}+xy+y^{2})\\\\&=&[x(x+3y)][(x+y)^{2}+y(x+y)]\\\\&=&[x(x+3y)][(x+y)(x+y+y)]\\\\&=&x(x+3y)(x+y)(x+2y)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{E=x(x+y)(x+2y)(x+3y)}$

 

2) En déduisons une factorisation de 

$$\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)+1$$

En posant $x=\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\ $ et $\ y=1$, on constate que l'écriture $\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)$ est de la forme $x(x+y)(x+2y)(x+3y)$

 

Or, d'après le résultat de la question 1), on a :

$$x(x+y)(x+2y)(x+3y)=(x^{2}+3xy+y^{2})^{2}-y^{4}$$

Donc, en appliquant ce résultat, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)&=&\left[\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+3\left(a-\dfrac{3}{2}\right)+1\right]^{2}-(1)^{4}\\\\&=&\left[a^{2}-3a+\dfrac{9}{4}+3a-\dfrac{9}{2}+1\right]^{2}-1\\\\&=&\left(a^{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{18}{4}+\dfrac{4}{4}\right)^{2}-1\\\\&=&\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}-1\end{array}$

 

Ainsi, $\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)=\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}-1$

 

D'où, $\boxed{\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)+1=\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}}$

 

Calculons $a$ lorsque

$$\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)+1=25$$

Cela revient à résoudre l'équation :

$$\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=25$$

Soit alors,

 

$\begin{array}{rcl} \left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=25&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}-5^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}-5\right)\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}+5\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}-\dfrac{20}{4}\right)\left(a^{2}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{20}{4}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{25}{4}\right)\left(a^{2}+\dfrac{15}{4}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{25}{4}\right)=0\ \text{ ou }\ \left(a^{2}+\dfrac{15}{4}\right)=0\end{array}$

 

Or, pour tout réel $a\;;\ \left(a^{2}+\dfrac{15}{4}\right)>0$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} \left(a^{2}-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=25&\Leftrightarrow&\left(a^{2}-\dfrac{25}{4}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a-\dfrac{5}{2}\right)\left(a+\dfrac{5}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&\left(a-\dfrac{5}{2}\right)=0\ \text{ ou }\ \left(a+\dfrac{5}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{5}{2}\ \text{ ou }\ a=-\dfrac{5}{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{a=\dfrac{5}{2}\ \text{ ou }\ a=-\dfrac{5}{2}}$

1) Comparons les réels $\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a+b+\sqrt{ab}}$ et $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs.

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a+b+\sqrt{ab}}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})&=&\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a+b+\sqrt{ab}}-\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{a}+\sqrt{a}\sqrt{ab}-a\sqrt{b}-b\sqrt{b}-\sqrt{b}\sqrt{ab}}{a+b+\sqrt{ab}}\\\\&=&\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}-a\sqrt{a}-b\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}+b\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{a+b+\sqrt{ab}}\\\\&=&0\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a+b+\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

 

2) En déduisons l'égalité :

$$\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5+\sqrt{6}}+\dfrac{5\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{8+\sqrt{15}}=\dfrac{5\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{7+\sqrt{10}}$$

D'après l'égalité de la question 1), on a :

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5+\sqrt{6}}+\dfrac{5\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{8+\sqrt{15}}&=&\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\\\\&=&\sqrt{5}-\sqrt{2}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{5+2+\sqrt{5\times 2}}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{7+\sqrt{10}}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5+\sqrt{6}}+\dfrac{5\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{8+\sqrt{15}}=\dfrac{5\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{7+\sqrt{10}}}$