Corrigé devoir n° 3 maths - 2nd s

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

Soit ABC un triangle quelconque.
 
1) Construisons les points M  et  N tels que :
 
AM=23AB  et  AN=23AC
 
2) Démontrons que (MN)  et  (BC) sont parallèles.
 
D'une part, M; A; B sont trois points alignés dans cet ordre et d'autre part, N; A; C sont trois points alignés dans cet ordre.
 
De plus, AMAB=23  et  ANAC=23
 
Par ailleurs, on a :
 
ANAM=MN=23AC+23AB=23(ACAB)=23(AC+BA)=23BC
 
Alors, MN=23BC
 
Par suite, MNBC=23
 
Ainsi,
AMAB=ANAC=MNBC
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)  et  (BC) sont parallèles.
 
3) Soient S  et  T les milieux respectifs de [BC]  et  [MN]. Démontrons que les points A, S  et  T sont alignés.
 
Pour cela, il suffit de montrer que les vecteurs AS et AT sont colinéaires.
 
On a : AM+AN=23AB23AC
 
Alors, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
AT+TM+AT+TN=23(AS+SB)23(AS+SC)
Ce qui donne : 2AT+TM+TN=43AS23(SB+SC)
 
Or, S  et  T milieux respectifs de [BC]  et  [MN] donc,
 
TM+TN=0  et  SB+SC=0
 
Par suite, 2AS=43AT
 
D'où, AS=23AT
 
Ce qui prouve que les points A, S  et  T sont alignés.
 
 

Exercice 2

On considère un parallélogramme ABCD. Les points M et N sont tels que :
 
AM=23AB  et  CN=23CD
 
1) Faisons une figure.
 
2) Montrons que BMDN est un parallélogramme.
 
On a :
 
AM+CN=23AB+23CD=23(AB+CD)
 
Or, ABCD parallélogramme donc, AB=CD  AB+CD=0
 
Par suite,
 
AM+CN=0AB+BM+CD+DN=0AB+CD=0+BM+DN=0BM+DN=0BM=ND
 
Ainsi, BM=ND
 
Ce qui montre que BMDN est un parallélogramme.
 
3) Soit E le point commun aux droites (DM)  et  (AC).
 
Soit F le point commun aux droites (BN)  et  (AC).
 
Déterminons les réels a  et  b tels que :
AE=aAC  et  AF=bAC
A; E; F; C sont quatre points alignés dans cet ordre.
 
D'après la relation de Chasles, on a :
AE+EF+FC=AC
Or, les triangles AFB  et  AEM étant en position de Thalès alors, d'après le théorème de Thalès, on a :
 
AFAE=ABAMAE+EFAE=321+EFAE=32EFAE=321EFAE=12EF=12AE
 
D'où, EF=12AE
 
De la même manière, en considérant les triangles CED  et  CFN qui sont en position de Thalès, on obtient :
 
ECFC=DCNCEF+FCFC=32EFFC+1=32EFFC=321EFFC=12EF=12FC
 
Donc, EF=12FC
{EF=12AEEF=12FC  AE=FC
Ainsi,
 
AE+EF+FC=ACAE+12AE+AE=AC(1+12+1)AE=AC52AE=ACAE=25AC
 
D'où, AE=25AC
 
Par ailleurs, d'après Thalès, on a : AE=23AF
 
Donc,
 
AF=32AE=32×25AC=35AC
 
D'où, AF=35AC
 
On peut aussi utiliser la relation de Chasles :
 
AF=AE+EF=AE+12AE=32AE=32×25AC=35AC
 
Ainsi, AF=35AC
 
 

Exercice 3

Soit ABC un triangle et un nombre x. A chaque valeur de x, on associe les points E et F tels que :
 
AE=13AB+xAC  et  AF=xAB+13AC
 
1) Faisons une figure lorsque x=12.
 
 
En effet, pour x=12, on a :
AE=13AB12AC  et  AF=12AB+13AC
Donc, en considérant le repère (A; AB; AC), on place les points E  et  F.
 
2) Démontrons que, quel que soit le nombre x, les vecteurs EF  et  BC sont colinéaires.
 
En effet, d'après la relation de Chasles, on a :
 
EF=EA+AF=13ABxAC+xAB+13AC=13(ACAB)+x(ABAC)=13(AC+BA)+x(AB+CA)=13BC+xCB=13BCxBC=(13x)BC
 
D'où, EF=(13x)BC
 
Ce qui prouve que, quel que soit le nombre x, les vecteurs EF  et  BC sont colinéaires.
 
3) Déterminons les valeurs de x pour que :
 
 E  et  F confondus
 
E  et  F  sont confondusEF=0(13x)BC=0or,  BC013x=0x=13
 
Donc, E  et  F sont confondus lorsque x=13
 
 BCFE un parallélogramme
 
BCFE  est un parallélogrammeEF=BC(13x)BC=BC(13x)BCBC=0(13x1)BC=0or,  BC013x1=0x=131x=23
 
D'où, BCFE est un parallélogramme lorsque x=23

Exercice 4

Résolvons dans R les équations et inéquations suivantes :
 
a) |75x|>3
 
|75x|>375x>3  ou  75x<35x>37  ou  5x<375x>4  ou  5x<10x<45  ou  x>105=2x]; 45[]2; +[
 
Ainsi, S=]; 45[]2; +[
 
b) |2x3|52
 
|2x3|52522x35252+32x52+3122x11212×12x112×1214x114x[14; 114]
 
D'où, S=[14; 114]
 
c) |3x2|=x3+6
 
|3x2|=x3+63x2=x3+6  ou  3x2=x36x2x3=63  ou  x2+x3=635x6=3  ou  x6=95x=18  ou  x=54x=185  ou  x=54x{185; 54}
 
Ainsi, S={185; 54}
 
d) |x3|2x+1
 
  si 2x+1<0 alors, l'inéquation n'admet pas de solutions et donc, S=
 
On a :
 
2x+1<02x<1x>12
 
Ainsi, lorsque x]12; +[, S=
 
  si 2x+1>0 alors, x]; 12[
 
On a :
 
|x3|2x+1{x32x+12x1x3{x+2x1+32xx3+1{3x4x2{x43x2
 
Donc, x]; 12[]; 43[]; 2[
 
D'où, S=]; 2[

Exercice 5(*)

1) a) Vérifions que pour tous réels strictement positifs a  et  x tels que : a>x, on a l'égalité :
 
xa+xax=a+x+ax2
 
En rendant rationnel le dénominateur du premier membre de cette égalité, on obtient :
 
xa+xax=x(a+x+ax)(a+xax)(a+x+ax)=x(a+x+ax)(a+x)2(ax)2=x(a+x+ax)a+xa+x=x(a+x+ax)2x=a+x+ax2
 
Ainsi, xa+xax=a+x+ax2
 
b) En déduisons que pour tous réels strictement positifs a, m  et  p tels que : a>m>p, on a :
 
ma+mam<pa+pap
 
En appliquant les résultats de la question a) à chaque membre de l'inégalité, on obtient :
 
ma+mam=a+m+am2
 
pa+pap=a+p+ap2
 
Donc,
 
ma+mam<pa+papa+m+am2<a+p+ap2(a+m+am2)2<(a+p+ap2)214(a+m+am)2<14(a+p+ap)2(a+m+am)2<(a+p+ap)2
 
On a :
 
(a+m+am)2=(a+m)2+(am)2+2a+mam=a+m+am+2(a+m)(am)=2a+2a2m2
 
Aussi,
 
(a+p+ap)2=(a+p)2+(ap)2+2a+pap=a+p+ap+2(a+p)(ap)=2a+2a2p2
 
Ainsi, en faisant la différence de ces deux termes, on obtient :
 
(a+m+am)2(a+p+ap)2=2a+2a2m22a2a2p2=2(a2m2a2p2)
 
Par ailleurs, on a :
 
(a2m2)2=a2m2
 
(a2p2)2=a2p2
 
Par suite, la différence de ces termes donne :
 
(a2m2)2(a2p2)2=a2m2a2+p2=m2+p2=(m2p2)=(mp)(m+p)<0
 
D'où, a2m2a2p2<0
 
Par conséquent,
 
ma+mam<pa+pap
 
2) Simplifions l'expression :
1(a+b)2(1a2+1b2)+2(a+b)3(1a+1b)
Soit :
 
1(a+b)2(1a2+1b2)+2(a+b)3(1a+1b)=a2+b2(a+b)2a2b2+2(a+b)ab(a+b)3=1ab(a+b)2(a2+b2ab+2(a+b)(a+b))=1ab(a+b)2(a2+b2ab+2)=1ab(a+b)2(a2+b2+2abab)=1ab(a+b)2((a+b)2ab)=(a+b)2a2b2(a+b)2=1a2b2
 
D'où, 1(a+b)2(1a2+1b2)+2(a+b)3(1a+1b)=1(ab)2

 

 
Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Démonstration très riche

trés intréssant

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