Corrigé devoir n° 4 maths - 3e

 

Sur la figure  codée ci-dessous, $ABCD$ est un rectangle tel que : $AB=12\ $ et $\ BC=7.$

 

$E$ est un point du segment $[AD]$ tel que $AE=5.$ La droite $(BE)$ coupe $(DC)$ en $F.$

1) Calculons $ED\ $ et $\ EB.$

 

Comme $E\in[AD]$ alors, on a : $AE+ED=AD$

 

Par suite, $ED=AD-AE$

 

Or, $ABCD$ rectangle donc, $AD=BC=7$

 

Ainsi, $ED=7-5=2$

 

D'où, $\boxed{ED=2}$

 

Par ailleurs, le triangle $ABE$ étant rectangle en $A$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$EB^{2}=AE^{2}+AB^{2}$$

Ainsi, 

 

$\begin{array}{rcl} EB&=&\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}\\\\&=&\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\\\&=&\sqrt{25+144}\\\\&=&\sqrt{169}\\\\&=&13\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EB=13}$

 

2) Calculons $EF$  en utilisant la conséquence de THALÈS

 

Les triangles $EFD\ $ et $\ AEB$ étant en position de Thalès alors, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

$$\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{ED}{AE}$$

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} EF&=&\dfrac{ED\times EB}{AE}\\\\&=&\dfrac{2\times 13}{5}\\\\&=&\dfrac{26}{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EF=\dfrac{26}{5}=5.2}$

 

3) On prend $EB=13$

 

4) a) Calculons $\sin\widehat{ABE}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}\sin\widehat{ABE}&=&\dfrac{AE}{EB}\\\\&=&\dfrac{5}{13}\end{array}$

 

Alors, $\boxed{\sin\widehat{ABE}=\dfrac{5}{13}}$

 

b) Calculons  $\cos\widehat{AEB}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}\cos\widehat{AEB}&=&\dfrac{AE}{EB}\\\\&=&\dfrac{5}{13}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\cos\widehat{AEB}=\dfrac{5}{13}}$

1) $F=\dfrac{(3-2x)(x-1)}{x-1}$, pour $x=1$ alors, on ne peut pas conclure

 

2) La distance de $3\ $ et $\ \sqrt{2}$ est $|3-\sqrt{2}|$

 

3) $A(-12\;;\ 3)\ $ et $\ B(-5\;;\ 4).$ Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(7\;;\ 1)$

 

4) $\cos 0^{\circ}$ est égal à $1$

 

5) La réunion des intervalles $]-\infty\;;\ 0]\ $ et $\ [2\;;\ 12]$ est $]-\infty\;;\ 0]\cup[2\;;\ 12]$

On donne :

 

$A=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+3\right)\;;\ B=(3-\sqrt{5})^{2}+2(25+\sqrt{45})\ $ et $\ C=\dfrac{-2.4\times 10^{2}\times 5\times 10^{-9}}{3\times 10^{-3}}$

 

1) Calculons $A$ et donnons le résultat sous forme de fraction irréductible

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+3\right)\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{15}{5}\right)\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\dfrac{17}{5}\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{17}{40}\\\\&=&\dfrac{160}{120}-\dfrac{51}{120}\\\\&=&\dfrac{109}{120}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=\dfrac{109}{120}}$

 

2) Calculons $B$ et donnons le résultat sous la forme la plus simple possible

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&(3-\sqrt{5})^{2}+2(25+\sqrt{45})\\\\&=&3^{2}-2\times 3\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}+2\times 25+2\times\sqrt{9\times 5}\\\\&=&9-6\sqrt{5}+5+50+2\times\sqrt{9}\times \sqrt{5}\\\\&=&64-6\sqrt{5}+2\times 3\times \sqrt{5}\\\\&=&64-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}\\\\&=&64\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=64}$

 

3) Calculons $C$ et donnons son écriture scientifique

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-2.4\times 10^{2}\times 5\times 10^{-9}}{3\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{-2.4\times 5\times 10^{2}\times 10^{-9}\times 10^{3}}{3}\\\\&=&\dfrac{-12\times 10^{2-9+3}}{3}\\\\&=&-4\times 10^{-4}\\\\&=&-0.0004\end{array}$

 

Donc, $\boxed{C=-0.0004}$ et sont écriture scientifique est : $\boxed{-4\cdot 10^{-4}}$

Exercice 4