Corrigé Exercice 19 : Racine carrée 3e

 

On donne : $a=1-\sqrt{3}\ $ et $\ b=6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}.$

1) Calculons $a^{2}\ $ et $\ b^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(1-\sqrt{3})^{2}\\\\&=&(1)^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{3}+3\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Donc, $\boxed{a^{2}=4-2\sqrt{3}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&\left(6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}\\\\&=&(6)^{2}\times\left(\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}\\\\&=&36\times\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\&=&36\times 1-\dfrac{36\times\sqrt{3}}{2}\\\\&=&36-18\sqrt{3}\end{array}$

Alors, $\boxed{b^{2}=36-18\sqrt{3}}$

Montrons que $b=-3a.$

En observant l'expression de $b^{2}$, on peut encore écrire :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&36-18\sqrt{3}\\\\&=&9(4-2\sqrt{3})\\\\&=&9a^{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{b^{2}=9a^{2}}$

Par suite, $\sqrt{b^{2}}=\sqrt{9\times a^{2}}=\sqrt{9}\times\sqrt{a^{2}}$

Ce qui donne : $|b|=3\times |a|$

On sait que $b$ est positif donc, $|b|=b$

On obtient alors : $\boxed{b=3\times |a|}$

Cherchons le signe de $a.$

Pour cela, comparons $1\ $ et $\ \sqrt{3}$

On a : $1>0\ $ et $\ \sqrt{3}>0$

Alors, $1^{2}=1\ $ et $\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme $1$ est plus petit que $3$ alors, $1<\sqrt{3}$

Donc, $1-\sqrt{3}<0$

Ce qui signifie que $a$ est négatif.

D'où, $|a|=-a.$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} b&=&3\times|a|\\\\&=&3\times(-a)\\\\&=&-3a\end{array}$

Ce montre que $\boxed{b=-3a}$

2) On donne : $E=\dfrac{2-\sqrt{12}}{6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$ ; montrons que $E$ est un rationnel.

Pour cela, on va montrer que $E$ peut encore s'écrire sans le signe radical.

En observant l'expression de $E$, on constate que son dénominateur est égal à $b.$

Or, on vient de montrer que $b=-3a$ donc, en remplaçant successivement le dénominateur par $b$ et par $-3a$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{2-\sqrt{12}}{6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\\\\&=&\dfrac{2-\sqrt{4\times 3}}{b}\\\\&=&\dfrac{2-\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{-3a}\\\\&=&\dfrac{2-2\sqrt{3}}{-3(1-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2(1-\sqrt{3})}{-3(1-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2}{-3}\end{array}$

D'où, $\boxed{E=\dfrac{2}{-3}\quad\text{qui est bien un nombre rationnel}}$