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Corrigé Exercice 2 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 2 Le PGCD et le PPMC

1) Calculons

$PGCD\;(504\;;\ 492)\$ et

$\ PGCD\;(888\;;\ 777)$

Calcul de

$PGCD\;(504\;;\ 492)$

Décomposons les nombres

$504\$ et

$\ 492$ en un produit de facteurs premiers.

On a :

$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad$ et

$\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$

Donc,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{2}\times 3\\\\&=&12\end{array}$

D'où,

$\boxed{PGCD\;(504\;;\ 492)=12}$

Calcul de

$PGCD\;(888\;;\ 777)$

En décomposant les nombres

$888\$ et

$\ 777$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$888=1\times 2^{3}\times 3\times 37\quad\text{et}\quad 777=1\times 3\times 7\times 37$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(888\;;\ 777)&=&1\times 3\times 37\\\\&=&111\end{array}$

D'où,

$\boxed{PGCD\;(888\;;\ 777)=111}$

Simplifions les fractions suivantes :

$A=\dfrac{504}{492}\$ et

$\ B=-\dfrac{888}{777}$

Pour simplifier une fraction on utilise le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Soit

$A=\dfrac{504}{492}$

Comme

$PGCD\;(504\;;\ 492)=12$ alors,

$\dfrac{504}{492}=\dfrac{504\div 12}{492\div 12}=\dfrac{42}{41}$

Par suite,

$\boxed{A=\dfrac{42}{41}}$

Soit

$B=-\dfrac{888}{777}$

Or,

$PGCD\;(888\;;\ 777)=111$ donc,

$-\dfrac{888}{777}=-\dfrac{888\div 111}{777\div 111}=-\dfrac{8}{7}$

D'où,

$\boxed{B=-\dfrac{8}{7}}$

2) Dans chacun des cas suivants, déterminons :

$PPCM\;(a\;;\ b)\quad\text{et}\quad PGCD\;(a\;;\ b)$

1e CAS :

$a=504\;;\quad b=492$

La décomposition des nombres

$504\$ et

$\ 492$ en un produit de facteurs premiers avait donné :

$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad\text{et}\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$

Donc,

$\begin{array}{rcl} PPCM\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\times 41\\\\&=&20664\end{array}$

D'où,

$\boxed{PPCM\;(504\;;\ 492)=20664}$

A la question 1) on avait :

$PGCD\;(504\;;\ 492)=12$

2e CAS :

$a=121\;;\quad b=210$

En décomposant les nombres

$121\$ et

$\ 210$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$121=1\times 11^{2}\quad\text{et}\quad 210=1\times 2\times 3\times 5\times 7$

Alors,

$\begin{array}{rcl} PPCM\;(121\;;\ 210)&=&1\times 11^{2}\times 2\times 3\times 5\times 7\\\\&=&25410\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{PPCM\;(121\;;\ 210)=25410}$

Les nombres

$121\$ et

$\ 210$ n'ont qu'un seul facteur premier en commun ; le nombre premier

$1.$

Donc,

$\boxed{PGCD\;(121\;;\ 210)=1}$

3) Montrons que

$1029$ est un multiple de

$147$

On a :

$1029\div 147=7\$ et

$\ 1029=(147\times 7)+0$

Alors,

$1029$ est un multiple de

$147$ car le reste

$r$ est égal à zéro

$(r=0)$

On en déduit :

$\boxed{PGCD\;(1029\;;\ 147)=147}\$ et

$\ \boxed{PPCM\;(1029\;;\ 147)=1029}$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Dieynaba tall (non vérifié)

sam, 11/23/2024 - 16:16

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