Corrigé Exercice 2 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 2 Le PGCD et le PPMC
1) Calculons $PGCD\;(504\;;\ 492)\ $ et $\ PGCD\;(888\;;\ 777)$
Calcul de $PGCD\;(504\;;\ 492)$
Décomposons les nombres $504\ $ et $\ 492$ en un produit de facteurs premiers.
On a : $504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad$ et $\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$
Donc,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{2}\times 3\\\\&=&12\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD\;(504\;;\ 492)=12}$
Calcul de $PGCD\;(888\;;\ 777)$
En décomposant les nombres $888\ $ et $\ 777$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$$888=1\times 2^{3}\times 3\times 37\quad\text{et}\quad 777=1\times 3\times 7\times 37$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} PGCD\;(888\;;\ 777)&=&1\times 3\times 37\\\\&=&111\end{array}$
D'où, $\boxed{PGCD\;(888\;;\ 777)=111}$
Simplifions les fractions suivantes :
$A=\dfrac{504}{492}\ $ et $\ B=-\dfrac{888}{777}$
Pour simplifier une fraction on utilise le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Soit $A=\dfrac{504}{492}$
Comme $PGCD\;(504\;;\ 492)=12$ alors, $\dfrac{504}{492}=\dfrac{504\div 12}{492\div 12}=\dfrac{42}{41}$
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{42}{41}}$
Soit $B=-\dfrac{888}{777}$
Or, $PGCD\;(888\;;\ 777)=111$ donc, $-\dfrac{888}{777}=-\dfrac{888\div 111}{777\div 111}=-\dfrac{8}{7}$
D'où, $\boxed{B=-\dfrac{8}{7}}$
2) Dans chacun des cas suivants, déterminons :
$$PPCM\;(a\;;\ b)\quad\text{et}\quad PGCD\;(a\;;\ b)$$
1e CAS : $a=504\;;\quad b=492$
La décomposition des nombres $504\ $ et $\ 492$ en un produit de facteurs premiers avait donné :
$$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad\text{et}\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$$
Donc,
$\begin{array}{rcl} PPCM\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\times 41\\\\&=&20664\end{array}$
D'où, $\boxed{PPCM\;(504\;;\ 492)=20664}$
A la question 1) on avait : $PGCD\;(504\;;\ 492)=12$
2e CAS : $a=121\;;\quad b=210$
En décomposant les nombres $121\ $ et $\ 210$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :
$$121=1\times 11^{2}\quad\text{et}\quad 210=1\times 2\times 3\times 5\times 7$$
Alors,
$\begin{array}{rcl} PPCM\;(121\;;\ 210)&=&1\times 11^{2}\times 2\times 3\times 5\times 7\\\\&=&25410\end{array}$
Ainsi, $\boxed{PPCM\;(121\;;\ 210)=25410}$
Les nombres $121\ $ et $\ 210$ n'ont qu'un seul facteur premier en commun ; le nombre premier $1.$
Donc, $\boxed{PGCD\;(121\;;\ 210)=1}$
3) Montrons que $1029$ est un multiple de $147$
On a : $1029\div 147=7\ $ et $\ 1029=(147\times 7)+0$
Alors, $1029$ est un multiple de $147$ car le reste $r$ est égal à zéro $(r=0)$
On en déduit :
$\boxed{PGCD\;(1029\;;\ 147)=147}\ $ et $\ \boxed{PPCM\;(1029\;;\ 147)=1029}$
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