Corrigé Exercice 2 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Écrivons l'ensemble $A$ des $10$ premiers multiples de $15.$

 

Pour déterminer les $10$ premiers multiples de $15$, on procède comme suit :

 

$0\times 15=0$ est le $1e$ multiple de $15$

 

$1\times 15=15$ est le $2e$ multiple de $15$

 

$2\times 15=30$ est le $3e$ multiple de $15$

 

$3\times 15=45$ est le $4e$ multiple de $15$

 

$4\times 15=60$ est le $5e$ multiple de $15$

 

$5\times 15=75$ est le $6e$ multiple de $15$

 

$6\times 15=90$ est le $7e$ multiple de $15$

 

$7\times 15=105$ est le $8e$ multiple de $15$

 

$8\times 15=120$ est le $9e$ multiple de $15$

 

$9\times 15=135$ est le $10e$ multiple de $15$

 

Par suite,

$$A=\{0\;;\ 15\;;\ 30\;;\ 45\;;\ 60\;;\ 75\;;\ 90\;;\ 105\;;\ 120\;;\ 135\}$$

Remarque : $15$ est le premier multiple non nul de $15.$

 

2) Écrivons l'ensemble $B$ des $10$ premiers multiples de $20.$

 

Comme dans la question 1), on a :

 

$0\times 20=0$ est le $1e$ multiple de $20$

 

$1\times 20=20$ est le $2e$ multiple de $20$

 

$2\times 20=40$ est le $3e$ multiple de $20$

 

$3\times 20=60$ est le $4e$ multiple de $20$

 

$4\times 20=80$ est le $5e$ multiple de $20$

 

$5\times 20=100$ est le $6e$ multiple de $20$

 

$6\times 20=120$ est le $7e$ multiple de $20$

 

$7\times 20=140$ est le $8e$ multiple de $20$

 

$8\times 20=160$ est le $9e$ multiple de $20$

 

$9\times 20=180$ est le $10e$ multiple de $20$

 

Ainsi,

$$B=\{0\;;\ 20\;;\ 40\;;\ 60\;;\ 80\;;\ 100\;;\ 120\;;\ 140\;;\ 160\;;\ 180\}$$

Remarque : $20$ est le premier multiple différent de zéro de $20.$

 

3) Déterminons les multiples communs de $15$ et de $20.$

 

On remarque que les ensembles $A\ $ et $\ B$ ont en commun $0\;;\ 60\ $ et $\ 120$

 

D'où, les multiples communs de $15$ et de $20$ sont :

$$A\cap B=\{0\;;\ 60\;;\ 120\}$$

4) $60$ est le plus petit multiple commun différent de zéro de $15\ $ et $\ 20.$

 

En effet, $60\ $ et $\ 120$ sont les multiples communs de $15$ et de $20$ différents de zéro et que $60$ est le plus petit.