Corrigé Exercice 21 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 21
On considère les encadrements suivants :
$$1.720<x<1.721\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$$
a) Donnons un encadrement d'ordre $1$ de $x+y.$
Cela signifie d'encadrer $x+y$ par deux nombres décimaux à un chiffre après la virgule.
On a :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\1.5&<&y&<&1.51 \end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\+\quad 1.5&<&y&<&1.51\\\\\hline \\=\quad 3.22&<&x+y&<&3.231\end{array}$$
Ainsi, un encadrement d'ordre $1$ de $x+y$ est donné par :
$$\boxed{3.2<x+y<3.3}$$
b) Donnons un encadrement d'ordre $2$ de $x-y$ puis en déduisons sa valeur approchée par défaut.
Cela revient à encadrer $x-y$ par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule.
On va d'abord encadre $(-y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $-1.$
On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.
Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $-1.51<-y<-1.5$
Ainsi, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\-1.51&<&-y&<&-1.5 \end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\-1.51&<&-y&<&-1.5\\\\\hline \\=\quad 0.21&<&x+y&<&0.221\end{array}$$
D'où, un encadrement d'ordre $2$ de $x-y$ est donné par :
$$\boxed{0.21<x-y<0.22}$$
Par conséquent, la valeur approchée par défaut de $x-y$ est égale à : $0.21$
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