Courbes paramétrées - T S1
I Définitions
M(t) est appelé le point paramètre t
→OM(t)=x(t)→i+y(t)→j
Exemple :
− si t décrit I, la position des points M(t) est appelée la trajectoire
− le vecteur dérivé →v(t)=d(→OM)dt=x′(t)→i+y′(t)→j
− soit M(t0) de coordonnées (x0, y0)
⋅ si (x′(t), y′(t))≠(0, 0) alors le vecteur →v(t0) est un vecteur directeur de la tangente en M(t0)
⋅ si (x′(t), y′(t))=(0, 0) alors, limt→t0y(t)−y(t0)t−t0 détermine la tangente en M(t0)
Du point de vue cinématique M(t) détermine la position du mobile à l'instant t ; M(t0) position initiale.
d(→OM)dt est le vecteur vitesse.
→a(t)=d2(→OM)dt2=(x″(t), y″(t)) est le vecteur accélération.
Soit la fonction g:t⟶||→v(t)|| alors
− si g(t) est constante sur I, le mouvement est uniforme
− si g(t) est croissante sur I, le mouvement est accéléré
− si g(t) est décroissante sur I, le mouvement est retardé
− si →a(t)⋅→v(t)=0, on dira que le mouvement est uniforme
− si →a(t)⋅→v(t)>0, on dira que le mouvement est accéléré
− si →a(t)⋅→v(t)<0, on dira que le mouvement est retardé
II Étude d'une courbe paramétrée
− les éléments de symétrie sont :
⋅ si {x(−t)=x(t)y(−t)=y(t) alors M(−t)=M(t) ⟹C]−∞; 0]⋂D=C[0; +∞[⋂D
M(−t) et M(t) sont symétriques par rapport à la droite d'équation : y=x
⋅ si {x(−t)=−x(t)y(−t)=y(t) alors, M(−t) et M(t) sont symétriques par rapport à (y′Oy).
C]−∞; 0]⋂D est l'image de C[0; +∞[⋂D par la symétrie axiale d'axe (y′Oy)
⋅ si {x(−t)=x(t)y(−t)=−y(t) alors, M(−t) et M(t) sont symétriques par rapport à (x′Ox).
C]−∞; 0]⋂D est l'image de C[0; +∞[⋂D par la symétrie axiale d'axe (x′Ox)
⋅ si {x(−t)=−x(t)y(−t)=−y(t) alors, M(−t) et M(t) sont symétriques par rapport à O.
C]−∞; 0]⋂D est l'image de C[0; +∞[⋂D par la symétrie centrale de centre O
⋅ soit t+T∈D, si {x(t+T)=x(t)y(t+T)=y(t) alors, M(t+T)=M(t).
On étudie C sur D⋂[0, T] ; [−T2; T2]⋂D
Si en plus M(−t) est symétrique à M(t) par rapport à un axe ou à O, on prendra DE=[0; T2]⋂D
Exemple :
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig220.png)
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 06/19/2022 - 14:27
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Tres bon cours
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