Courbes paramétrées - T S1

Classe: 
Terminale

I Définitions

On appelle courbe paramétrée C l'ensemble des points M(t) de coordonnées x(t)=f(t) et y(t)=g(t),  tIR.

M(t) est appelé le point paramètre t

OM(t)=x(t)i+y(t)j

(C) a pour équation paramétrique {x(t)=f(t)y(t)==g(t)tR

Exemple :

Cercle, Ellipse, Parabole, Hyperbole
 
(C) {x(t)=Rsinty(t)=Rcostt[0, 2π]
 
(E) {x(t)=asinty(t)=bcostt[0, 2π]
 
(H) {x(t)=acosty(t)=btantt]π2, π2[]π2, 3π2[
 
(P) {x(t)=t22py(t)=ttR

  si t décrit I, la position des points M(t) est appelée la trajectoire

  le vecteur dérivé v(t)=d(OM)dt=x(t)i+y(t)j

  soit M(t0) de coordonnées (x0, y0)

  si (x(t), y(t))(0, 0) alors le vecteur v(t0) est un vecteur directeur de la tangente en M(t0)

  si (x(t), y(t))=(0, 0) alors, limtt0y(t)y(t0)tt0 détermine la tangente en M(t0)

Du point de vue cinématique M(t) détermine la position du mobile à l'instant t ; M(t0) position initiale.

d(OM)dt est le vecteur vitesse.

a(t)=d2(OM)dt2=(x(t), y(t)) est le vecteur accélération.

Soit la fonction g:t||v(t)|| alors

  si g(t) est constante sur I, le mouvement est uniforme

  si g(t) est croissante sur I, le mouvement est accéléré

  si g(t) est décroissante sur I, le mouvement est retardé

  si a(t)v(t)=0, on dira que le mouvement est uniforme

  si a(t)v(t)>0, on dira que le mouvement est accéléré

  si a(t)v(t)<0, on dira que le mouvement est retardé

II Étude d'une courbe paramétrée

Soit la courbe paramétrée {x(t)=f(t)y(t)=g(t)
Pour étudier une courbe paramétrée on cherche d'abord son ensemble de définition D.
 
Ensuite se ramener à une équation cartésienne si possible.
 
Dans d'autres cas on doit déterminer la parité, la périodicité et les éléments de symétrie pour restreindre le domaine d'étude.
 
Enfin on réalise l'étude dans le domaine restreint

  les éléments de symétrie sont :

si {x(t)=x(t)y(t)=y(t) alors M(t)=M(t) C]; 0]D=C[0; +[D

M(t)  et  M(t) sont symétriques par rapport à la droite d'équation : y=x

  si {x(t)=x(t)y(t)=y(t) alors, M(t)  et  M(t) sont symétriques par rapport à (yOy).

C]; 0]D est l'image de C[0; +[D par la symétrie axiale d'axe (yOy)

  si {x(t)=x(t)y(t)=y(t) alors, M(t) et M(t) sont symétriques par rapport à (xOx).

C]; 0]D est l'image de C[0; +[D par la symétrie axiale d'axe (xOx)

  si {x(t)=x(t)y(t)=y(t) alors, M(t)  et  M(t) sont symétriques par rapport à O.

C]; 0]D est l'image de C[0; +[D par la symétrie centrale de centre O

soit t+TD,  si {x(t+T)=x(t)y(t+T)=y(t) alors, M(t+T)=M(t).

On étudie C sur D[0, T] ;  [T2; T2]D

Si en plus M(t) est symétrique à M(t) par rapport à un axe ou à O, on prendra DE=[0; T2]D

Exemple :

Soit à étudier la courbe paramétrée suivante :
{x(t)=sin2ty(t)=sin3ttR
Comme x(t) est périodique de période π et y(t) périodique de période 2π3 alors, pour la courbe paramétrée, on obtient une période T=2π.
 
Donc l'étude peut se faire sur un intervalle I de longueur 2π.
 
Aussi, on a : {x(t)=sin2ty(t)=sin3t{x(t)=sin2t=x(t)y(t)=sin3t=y(t)
 
donc M(t)  et  M(t) sont symétrique par rapport à O , origine du repère.
 
Ainsi, on peut restreindre le domaine d'étude DE. 
 
Soit DE=[0, π]
 
On a : {x(t)=2cos2ty(t)=3cos3t
x(t)0cos2t02t[π2, π2][2π]kππ4tπ4+kπ
 
y(t)0cos3t03t[π2, π2][2π]2kπ3π6tπ6+2kπ3
 
t0π/6π/4π/23π/45π/6πx(t)++00++10x(t)2/203/20111y(t)3/22/2010y(t)+00++0

 


 
Auteur: 
Seyni Ndiaye & Diny Faye

Commentaires

Tres bon cours

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