Devoir n° 13 - 2nd s

 

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ sont des réels non nuls tels que :  $4a+3b\neq 0$ et $4c+3d\neq 0.$

 

Montrer que si $ab=cd\;$, alors :

 

1) $\dfrac{3a-2b}{4a+3b}=\dfrac{3c-2d}{4c+3d}$

 

2) $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\dfrac{c^{2}+d^{2}}{cd}$

 

3) $\dfrac{a}{b}=\sqrt{\dfrac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}}$ 

On donne $A=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ et $B=\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

 

1) Calculer $A\times B.$

 

2) On pose $X=A+B$ et $Y=A-B.$ Vérifier que $X>0$ et $Y>0$.

 

Calculer $X^{2}$ et $Y^{2}.$ En déduire $X$ et $Y.$

On considère dans un plan $P$ un parallélogramme $ABCD$ et à l'extérieur de $P$ un point $O.$

 

1) Déterminer l'intersection des plans $(OAD)$ et $(OBC)\;$; des plans $(OAC)$ et $(OBD).$

 

2) Soit $Q$ un plan parallèle à $P.\ Q$ coupe $(OA)\;,\ (OB)\;,\ (OC)$ et $(OD)$ en $A'\;,\ B'\;,\ C'$ et $D'$ respectivement. Montrer que $A'B'C'D'$ est un parallélogramme.

$ABCD$ est un parallélogramme et $S$ un point de l'espace extérieur au plan $(ABC).$ Soit $\Delta$ une droite strictement parallèle à $(AB)$ et incluse dans $(ABC).$

 

$A'$ est un point de $[SA]$ distinct de $S$ et $A.$

 

Étudier la position relative du plan $Q$ défini par $A'$ et $\Delta$ avec les plans $(SAB)\;;\ (SBC)\;;\ (SAD)$ et $(SDC).$ Construire les intersections éventuelles de ces plans avec le plan $Q.$

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$