Devoir n° 16 - 1e S1

 

1) Résoudre les systèmes suivants :

$$a)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+5y+6z+7t&=&8\\ 4x+4y+4z+10t&=&12\\ 4x+4y+z+12t&=&17 \\ 4x+3y-z+15t&=&25\end{array}\right.\qquad  b)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+5y-4z+3t&=&2 \\ 2x+11y-7z+7t&=&7 \\ x+7y-z+6t&=&10 \\ -2x-9y+11z-3t&=&3\end{array}\right.$$

2) Résoudre les systèmes suivants en discutant suivant les valeurs de $m$ :

$$c)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}  mx+y+z&=&1\\ x+my+z&=&m\\ x+y+z&=&m^{2}\end{array}\right.\qquad  d)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+mz&=&1 \\ x+my+z&=&m \\ x-y+z&=&3\end{array}\right.$$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\sqrt{x^{2}+x-2}>2x$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $|x|-|2-x-x^{2}|+x>0$

 

3) Étudier, suivant les valeurs de $x$ , le signe de l'expression : $$\varphi(x)=\dfrac{-2x+\sqrt{x^{2}+x-2}}{|x|-|2-x-x^{2}|+x}$$

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ :

 

1) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}\qquad$ 2) $f(x)=\sqrt{|-x|}$

 

3) $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{-x}}{1+\sqrt{-x}}\qquad$ 4) $f(x)=\dfrac{\sqrt{-6x^{2}+13x+5}}{\sqrt{2x-1}}$

 

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&0\quad\text{si }x\leq 1 \\ \\ f(x)&=&\dfrac{1}{\sqrt{-2x^{2}+11x-15}}\quad\text{si }x>1 \end{array}\right.$

1) Étudier la parité des fonctions suivantes : $$f\ :\ x\longmapsto\dfrac{3x}{|x^{4}-x^{2}+1|}\qquad g\ :\ x\longmapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

2) Dans chacun des cas suivants, étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $D$, en utilisant le signe du rapport $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$, où $a$ et $b$ sont des réels distincts de $D.$

 

a) $f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+7}\;;\ D=]-\infty\;;\ -2]\qquad$ b) $f(x)=x+\dfrac{5}{x}\;;\ D=]0\;;\ 5].$

1) Discuter et résoudre l'équation d'inconnue $x$ et de paramètre $m$ suivante : $$m^{3}x-m^{2}-4=4m(x-1)$$

2) Dans le cas où cette équation a une unique solution, déterminer $m$ pour que celle-ci soit dans l'intervalle $[-1\;;\ 1].$

Les racines $a$ et $b$ d'une équation du second degré vérifient le système : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b-2ab&=&0 \\ mab-(a+b)&=&2m+1\end{array}\right.(m\text{ est un paramètre réel})$$

 

1) Former cette équation ; préciser le choix de $m$ pour qu'elle ait des racines réelles.

 

2) Préciser la valeur de m pour laquelle ces deux racines $a$ et $b$ soient positives et soient les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 2.

 

N.B. Faire au choix les exercices 1, 2, 3, 4, 5 ou 1, 3, 4, 5, 6.

 

$$\text{Durée : 3 h}$$