Devoir n° 18 - 2nd s

 

1) Étant donné un triangle $ABC\;$, construire les points $I\;,\ J$ et $K$ définis par :

$\centerdot\ I$ est barycentre de $\{(A\;,\ 2)(C\;,\ 1)\}$ 

 

$\centerdot\ J$ est barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)\}$

 

$\centerdot\ K$ est barycentre de $\{(C\;,\ 1)(B\;,\ -4)\}$ 

 

2) Démontrer que $B$ est barycentre de $\{(K\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}.$

 

3) Quel est le barycentre de $\{(A\;,\ 2)(K\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}\;$ ?

 

4) Déduire du 3) que $I\;,\ J\;,\ K$ sont alignés et que $J$ est le milieu de $[IK].$

 

5) $L$ étant le milieu de $[CI]$ et $M$ celui de $[KC]\;$, démontrer que $IJML$ est un parallélogramme dont le centre $G$ est l'isobarycentre de $ABC.$

1) Résoudre les équations et inéquations suivantes :

 

a) $(4x^{2}-11x+31)^{2}=(x^{2}+x+19)^{2}$

 

b) $(x^{2}+3x+1)^{2}=3(x^{2}+3x+1)-2$ 

 

(Indication : on pourra poser $X=x^{2}+3x+1.)$

 

c) $\dfrac{(x^{2}+x-2)(-x^{2}-5x+6)}{x^{2}-36}\geq 0$

 

2) Soit l'équation $(m-2)x^{2}-2(m-5)x+m-15=0.$

 

Déterminer $m$ pour que l'équation :

 

a) n'ait pas de solution. 

 

b) ait deux solutions strictement négatives.

 

c) ait deux solutions strictement positives. 

 

d) ait deux solutions de signes contraires.

Soit un triangle $ABC$ et le point $D$ barycentre de $\{(A\;,\ -2)(B\;,\ 1)(C\;,\ 4)\}.$

 

1) Faire un schéma et placer le point $D.$

 

2) Soit $M$ un point quelconque du plan.

 

Exprimer $-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ en fonction de $\overrightarrow{MD}.$

 

3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||$$ 

Indication : on pourra utiliser le centre de gravité $G$ du triangle $ABC.$

Soit un trapèze convexe $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD].$

 

Les diagonales se coupent en $I.$ On projette $I$ sur $(AB)$ en $A'$ parallèlement à $(AD)\;$, en $B'$ parallèlement à $(BC).$

 

1) Démontrer que $I$ a la même abscisse dans les repères $(D\;,\ B)$ et $(C\;,\ A).$

 

2) Démontrer que $A'$ et $B'$ ont la même abscisse respectivement dans les repères $(A\;,\ B)$ et $(B\;,\ A)$.

 

3) En déduire que $(A\;,\ B)$ et $(A'\;,\ B')$ ont même milieu.

 

Indication : on utilisera le fait que si un point $M$ a pour abscisse $t$ dans un repère $(P\;,\ Q)\;,\  (M\;,\ P\;,\ Q$ alignés) alors $t=\dfrac{\overline{PM}}{\overline{PQ}}.$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$