Devoir n° 2 - 1e S1

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de diamètre $[AB].\;\ C$ est un point de $\mathcal{C}$ autre que $A$ et $B\;,\ H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB).$ Une droite $\mathfrak{D}$ passant par $A$ coupe la droite $(CH)$ en $M$ et recoupe le cercle $\mathcal{C}$ en $N.$

 

1) Faire une figure soignée.

 

2) Comparer les produits scalaires $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}.$

 

3) Démontrer que $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=AC^{2}.$

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$ et $A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ A_{3}\;,\ A_{3}\;,\ A_{4}$ les points de $\mathcal{C}$ tels que les angles $(\vec{i}\;,\ \overrightarrow{OA}_{k})\;,\ 0\leq k\leq 4$ aient pour mesures respectives $\dfrac{2k\pi}{5}.$

 

1) Faire une figure. On constatera que les points $A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ A_{3}\;,\ A_{3}\;,\ A_{4}$ sont les sommets consécutifs d'un polygone régulier convexe.

 

2) Soit $\vec{S}$ le vecteur : $\vec{S}=\overrightarrow{OA}_{0}+\overrightarrow{OA}_{1}+\overrightarrow{OA}_{2}+\overrightarrow{OA}_{3}+\overrightarrow{OA}_{4}.$

 

a) Démontrer que $\vec{S}$ est colinéaire à $\overrightarrow{OA}_{0}.$

 

b) Démontrer que $\vec{S}$ est aussi colinéaire à $\overrightarrow{OA}_{1}.$

 

(Indication : Utiliser les coordonnées des points $A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ A_{3}\;,\ A_{3}\;,\ A_{4}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})).$

 

c) En déduire que $\vec{S}$ est le vecteur nul, puis les égalités :

 

(1) $\sin\dfrac{2\pi}{5}+\sin\dfrac{4\pi}{5}+\sin\dfrac{6\pi}{5}+\sin\dfrac{8\pi}{5}=0.$

 

(2) $1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=0.$

 

3) a) En utilisant l'égalité (2) précédente, démontrer que $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ est une solution de l'équation : $$4X^{2}-2X-1=0$$

b) Calculer $\cos\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \cos\dfrac{4\pi}{5}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \tan\dfrac{2\pi}{5}=0.$

 

4) Soit $\Omega$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 0\right)$ et $J$ le point de coordonnées $(0\;,\ 1).$

 

a) Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $\overrightarrow{\Omega J}.$

 

b) Le point d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses dont l'abscisse est positive est noté $K.$ Vérifier que l'abscisse du point $K$ est $2\cos\dfrac{2\pi}{5}.$

 

c) Que représente la droite $(EB)$ pour le segment $[OK]\;$ ?

1) On pose : $A=\cos^{2}\dfrac{\pi}{8}+\cos^{2}\dfrac{2\pi}{8}+\cos^{2}\dfrac{3\pi}{8}+\ldots+\cos^{2}\dfrac{7\pi}{8}.$

 

a) Comparer $\cos\dfrac{7\pi}{8}$ et $\cos\dfrac{\pi}{8}$,  puis $\cos\dfrac{6\pi}{8}$ et $\cos\dfrac{2\pi}{8}$, enfin $\cos\dfrac{5\pi}{8}$ et $\cos\dfrac{3\pi}{8}.$ En déduire une écriture simplifiée de $A.$

 

b) Comparer $\cos\dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{\pi}{8}$.

 

c) Montrer alors que $A=3.$

 

2) S'inspirer de la méthode suivie dans la question 1) pour calculer : $$B=\sin^{2}\dfrac{\pi}{12}+\sin^{2}\dfrac{2\pi}{12}+\sin^{2}\dfrac{3\pi}{12}+\ldots+\sin^{2}\dfrac{11\pi}{12}$$

puis $$C=\cos^{4}\dfrac{\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{3\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{5\pi}{8}+\cos^{4}\dfrac{7\pi}{8}$$

1) a) Résoudre l'équation $\cos 3x=\dfrac{1}{2}.$

 

b) Exprimer $\cos 3x$ en fonction de $\cos x.$

 

2) a) Montrer que les réels $m=\cos\dfrac{\pi}{9}\;,\ n=\cos\dfrac{7\pi}{9}\;,\ p=\cos\dfrac{13\pi}{9}$ sont des solutions de l'équation : $$8X^{3}-6X-1=0\quad (E)$$

b) Combien de solutions l'équation $(E)$ peut-elle avoir au maximum ?

 

c) Déduire de a) et b) que : $$8X^{3}-6X-1=8(X-m)(X-n)(X-p)\quad (1)$$

d) Quelles sont toutes solutions de l'équation $(E)\;$ ?

 

3) Développer le second membre de l'égalité (1) ; en déduire les valeurs des nombres suivants : $$A=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos\dfrac{13\pi}{9}$$

$$B=\cos\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{7\pi}{9}-\cos\dfrac{7\pi}{9}.\cos\dfrac{13\pi}{9}+\cos\dfrac{13\pi}{9}.\cos\dfrac{\pi}{9}$$

$$C=\cos\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{7\pi}{9}.\cos\dfrac{13\pi}{9}$$

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$