Devoir n° 2 - Ts1

Pour tout entier naturel $n\geq 2$, on considère la fonction polynômiale $p_{m}$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}_{+}(x)=-1+\sum$

 

1. a. Étudier le sens de variation de $p_{n}$ sur $\mathbb{R}_{+}$ et préciser $p_{n}(O)$ et $p_{n}(1)$ 

 

b. En déduire que, pour $n\geq 2$, $p_{n}$ admet une racine unique $a_{n}$ dans $]0\ ;\ 1[.$

 

Donner la valeur exacte de $a_{2}$

 

2.a. Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$, on a : $p_{n+1}\left(a_{n}\right)<0$

 

b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ est croissante.

 

La suite $\left(a_{n}\right)$ est-elle convergente ?

 

3.a Démontrer que pour tout $x\neq 1$, on a : $p_{n+1}(x)=\dfrac{x^{x+1}-2x+1}{x-1}$

 

En déduire que pour $n\geq 2$, on a :$a_{n}^{n+1}-2a_{n}+1=0$

 

b. Justifier, que pour $n\geq 2$, que $a_{n}\leq a_{2}<1$ et $0<2a_{n}-1\leq a_{2}^{n+1}$

 

C. En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}a_{n}$

$\left(U_{n}\right)_{n\geq 0}$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et pour $n\in\mathbb{N}$ : $U_{n+1}=\dfrac{2U_{n}}{1+U_{n}^{2}}$

 

1. Montrons que : $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $\dfrac{1}{2}\leq u_{n}<1$

 

2 Soit $f$ la fonction définie sur $I=[\dfrac{1}{2}\ ;\ 1]$ par : $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}$

 

a. Étudier les variations de $f$ sur $I$

 

b. En déduire que $f(I)\subset I$

 

c. Montrer que $\left(U_{n}\right)_{n\geq 0}$ est une suite croissante.

 

d. En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)_{n\geq 0}$ est convergente et déterminer sa limite $\ell.$

 

3.a Montrer en que : $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $0<1-U_{n+1}\leq\dfrac{2}{5}\left(1-U_{n}\right)$

 

b. En déduire que : $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $0<1-U_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$

 

c. Retrouver la limite de la suite $\left(U_{n}\right)_{n\geq 0}$

 

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\;,1]$ par : $f(x)=\dfrac{-2}{1+\sqrt{1-x}}$

 

$(\mathcal{C})$ est la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ 

 

Unité graphique : $2\,cm$

 

1. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $1.$

 

Interpréter graphiquement le résultat.

 

2.a. Montrer que pour tout $x\in]-\infty\;,1]$ ; $f'(x)=-\dfrac{[f(x)]^{2}}{4\sqrt{1-x}}$

 

b. Dresser le tableau complet des variations de $f.$

 

c. Tracer la courbe $(\mathcal{C}$ dans le repère

 

3.a. Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur $[-2\;,0[$

 

b. Étudier la dérivabilité de $f^{-1}$ à droite en $-2$

 

 

c. Tracer la courbe $\left(\mathcal{C'}\right)$ de $f^{-1}$ dans le même repère

 

Soit $g$ la fonction définie sur $[0\;,\dfrac{\pi}{2}]$ par : $g(x)=f\left(\cos^{2}(x)\right)$

 

1.1) Vérifier que pour tout  $x\in[0\;,\dfrac{\pi}{2}$ , $g(x)=\dfrac{-2}{1+\sin x}$

 

2) Montrer que g réalise une bijection de $[0\;,\dfrac{\pi}{2}]$ sur $[-2\;,-1]$

 

3.a. Monter que $g^{-1}$ est dérivable sur $[-2\;,-1[$

 

b. Montrer que $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{-(1+x)}}$ pour tout $x$ de $[-2\;,-1[$

 

4. Pour tout $n\in\mathbb{N^{\ast}}$, il existe un réel $a_{n}\in]-2+\dfrac{1}{n+1}\;,-2+\dfrac{1}{n}[$ tel que $U_{n}=\dfrac{-1}{a_{n}\sqrt{-(1+a_{n}})}$

 

b. En déduire la limite de la suite $u.$