Devoir n° 25 - 2nd s

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

 

1) $3(x^{2}-x)^{2}-2(x^{2}-x)-1=0$ 

 

2) $(4x^{2}-3x-1)(x^{2}+3x+5)\leq 0$

 

3) $(1-2x)(-2x^{2}-3x-1)>0$

 

4) $\dfrac{3x^{2}-4x-4}{-x^{2}+5x-4}\leq 0$

Soit $ABC$ un triangle.

 

1) a) Construire les points $E\;,\ F\;,\ G$ définis par :

$\centerdot\ E$ est le barycentre de $\{(B\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}$

 

$\centerdot\ F$ est le barycentre de $\{(C\;,\ 1)(A\;,\ 3)\}$

 

$\centerdot\ G$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 3)(B\;,\ 3)\}$

 

b) Montrer que $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles.

 

2) On appelle $I$ le barycentre de $\{(A\;,\ 3)(B\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}.$

 

Montrer que $I$ appartient à $(AE)$ et à $(CG)$ et construire $I.$

 

3) a) Construire $E'$ barycentre de $\{(B\;,\ 3)(C\;,\ -1)\}.$

 

b) Exprimer $\overrightarrow{E'G}$ et $\overrightarrow{E'F}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

 

c) Montrer que $E'\;,\ F\;,\ G$ sont alignés.

 

4) On désigne par $\mathfrak{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||3\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}||$$

Déterminer, puis construire $\mathfrak{C}.$

Soit $ABCD$ un rectangle tel que : $AB=8$ et $BC=5\;$, l'unité étant le centimètre. Les points $E\;,\ F\;,\ G\;,\ H$ sont définis par : $$\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}\;;\quad\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\;;\quad\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{CD}\;;\quad\overrightarrow{DH}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{DA}$$

1) Placer sur une figure les points $A\;,\ B\;,\ C\,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\;,\ H.$

 

2) Justifier que $(A\;,\ \overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AD})$ est un repère.

 

3) Déterminer, dans ce repère, les coordonnées des points $B\;,\ E\;,\ F\;,\ G$ et $H.$

 

4) Déterminer, dans ce repère, une équation cartésienne de la droite $(BE)\;$, puis un système d'équations paramétriques de la droite $(FH).$

 

5) Démontrer, à l'aide des coordonnées calculées au 3), que le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme.

1) a) Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&57 \\ xy&=&540\end{array}\right.$

 

b) Un jardin rectangulaire a un périmètre de $114\;m$ et une aire de $540\;m^{2}.$ Calculer sa longueur et sa largeur.

 

2) a) Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&7 \\ xy&=&144\end{array}\right.$

 

b) Déterminer les dimensions d'un rectangle qui a pour aire $144\;m^{2}$ et dont la longueur surpasse la largeur de $7\;m.$

 

3) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A\;$; les côtés de l'angle droit $[AB]$ et $[AC]$ mesurent respectivement $10\;cm$ et $4\;cm.$

 

On appelle $D$ un point du segment $[AB]$ et $E$ un point du segment $[AC]$ tels que $BD=2AE.$

 

a) On pose $AE=x.$ Exprimer l'aire $A(x)$ du triangle $DAE$ en fonction de $x.$

 

b) Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles $A(x)\;$, exprimée en $cm^{2}\;$, est égale à 254 ?

 

c) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0\;;\ 4]\;,\ A(x)$ est inférieure ou égale à 254.

Soit l'équation d'inconnue $x\;$, de paramètre $m$ : $$(E)\ :\ (m-3)x^{2}-2mx+m=0$$

1) Étudier, suivant les valeurs de $m\;$, l'existence des racines de $(E).$

 

2) Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $(E)$ possède :

 

a) deux racines de signes contraires.

 

b) deux racines positives.

 

c) deux racines négatives.

Dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\;,\ A\;,\ B\;,\ C\;,\ \omega\;$ ont pour coordonnées 

 

$A(1\;,\ 2)\;;\ B(3\;,\ 0)\;;\ C(0\;,\ -1)\;;\ \omega(2\;,\ 1)$

 

Calculer les coordonnées de $A\;,\ B\;,\ C$

 

1) dans le repère $(\omega\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ 

 

2) dans le repère $(O\;,\ 2\vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

3) dans le repère $(\omega\;,\ -\vec{i}\;,\ 2\vec{j})$

 

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$