Devoir n° 25 - 2nd s

Classe: 
Seconde

Exercice 1 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
 
1) $3(x^{2}-x)^{2}-2(x^{2}-x)-1=0$ 
 
2) $(4x^{2}-3x-1)(x^{2}+3x+5)\leq 0$
 
3) $(1-2x)(-2x^{2}-3x-1)>0$
 
4) $\dfrac{3x^{2}-4x-4}{-x^{2}+5x-4}\leq 0$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle.
 
1) a) Construire les points $E\;,\ F\;,\ G$ définis par :
$\centerdot\ E$ est le barycentre de $\{(B\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}$
 
$\centerdot\ F$ est le barycentre de $\{(C\;,\ 1)(A\;,\ 3)\}$
 
$\centerdot\ G$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 3)(B\;,\ 3)\}$
 
b) Montrer que $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
 
2) On appelle $I$ le barycentre de $\{(A\;,\ 3)(B\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}.$
 
Montrer que $I$ appartient à $(AE)$ et à $(CG)$ et construire $I.$
 
3) a) Construire $E'$ barycentre de $\{(B\;,\ 3)(C\;,\ -1)\}.$
 
b) Exprimer $\overrightarrow{E'G}$ et $\overrightarrow{E'F}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$
 
c) Montrer que $E'\;,\ F\;,\ G$ sont alignés.
 
4) On désigne par $\mathfrak{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||3\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}||$$
Déterminer, puis construire $\mathfrak{C}.$

Exercice 3

Soit $ABCD$ un rectangle tel que : $AB=8$ et $BC=5\;$, l'unité étant le centimètre. Les points $E\;,\ F\;,\ G\;,\ H$ sont définis par : $$\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}\;;\quad\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\;;\quad\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{CD}\;;\quad\overrightarrow{DH}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{DA}$$
1) Placer sur une figure les points $A\;,\ B\;,\ C\,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\;,\ H.$
 
2) Justifier que $(A\;,\ \overrightarrow{AE}\;,\ \overrightarrow{AD})$ est un repère.
 
3) Déterminer, dans ce repère, les coordonnées des points $B\;,\ E\;,\ F\;,\ G$ et $H.$
 
4) Déterminer, dans ce repère, une équation cartésienne de la droite $(BE)\;$, puis un système d'équations paramétriques de la droite $(FH).$
 
5) Démontrer, à l'aide des coordonnées calculées au 3), que le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme.

Exercice 4

1) a) Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&57 \\ xy&=&540\end{array}\right.$
 
b) Un jardin rectangulaire a un périmètre de $114\;m$ et une aire de $540\;m^{2}.$ Calculer sa longueur et sa largeur.
 
2) a) Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&7 \\ xy&=&144\end{array}\right.$
 
b) Déterminer les dimensions d'un rectangle qui a pour aire $144\;m^{2}$ et dont la longueur surpasse la largeur de $7\;m.$
 
3) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A\;$; les côtés de l'angle droit $[AB]$ et $[AC]$ mesurent respectivement $10\;cm$ et $4\;cm.$
 
On appelle $D$ un point du segment $[AB]$ et $E$ un point du segment $[AC]$ tels que $BD=2AE.$
 
a) On pose $AE=x.$ Exprimer l'aire $A(x)$ du triangle $DAE$ en fonction de $x.$
 
b) Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles $A(x)\;$, exprimée en $cm^{2}\;$, est égale à 254 ?
 
c) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0\;;\ 4]\;,\ A(x)$ est inférieure ou égale à 254.

Exercice 5

Soit l'équation d'inconnue $x\;$, de paramètre $m$ : $$(E)\ :\ (m-3)x^{2}-2mx+m=0$$
1) Étudier, suivant les valeurs de $m\;$, l'existence des racines de $(E).$
 
2) Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $(E)$ possède :
 
a) deux racines de signes contraires.
 
b) deux racines positives.
 
c) deux racines négatives.

Exercice 6

Dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\;,\ A\;,\ B\;,\ C\;,\ \omega\;$ ont pour coordonnées 
 
$A(1\;,\ 2)\;;\ B(3\;,\ 0)\;;\ C(0\;,\ -1)\;;\ \omega(2\;,\ 1)$
 
Calculer les coordonnées de $A\;,\ B\;,\ C$
 
1) dans le repère $(\omega\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ 
 
2) dans le repère $(O\;,\ 2\vec{i}\;,\ \vec{j})$
 
3) dans le repère $(\omega\;,\ -\vec{i}\;,\ 2\vec{j})$
 
 
 
$$\text{Durée : 4 h}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

Intéressant car ls maths nous fait nourrir l'esprit

Ajouter un commentaire