Devoir n° 28 1e S2

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
 
1) $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x(1-x^{2})}$
 
2) $g\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{x^{2}+2x}}$ 
 
3) $h\ :\ x\mapsto\sqrt{1-x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
 
4) $h\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}}{|2x+1|-2}$

Exercice 2

Étudier la parité de la fonction $f$ lorsque :
 
a) $f(x)=x^{3}+3x-3$
 
b) $f(x)=\dfrac{x^{2}}{5x^{2}-3}$
 
c) $f(x)=\dfrac{8x^{3}-2x}{4x^{5}}$
 
d) $f(x)=\dfrac{x}{4x^{2}-3}$
 
e) $f(x)=x\sqrt{x^{3}+3x}$

Exercice 3

Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :
 
a) $f\ :\ x\mapsto(2x+3)^{2}$
 
b) $f\ :\ x\mapsto -\dfrac{1}{x}$
 
c) $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x+2}$
 
d) $f\ :\ x\mapsto -5x+3$
 
e) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$
 
f) $f\ :\ x\mapsto|x-1|$

Exercice 4

Soit $f$ une fonction périodique, de période 1, telle que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \text{si }x\in\left[0\;;\dfrac{1}{2}\right]&:& f(x)=x\\ \\ \text{si }x\in\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]&:& f(x)=-x+1 \end{array}\right.$$
 
Faire la représentation graphique de $f\text{ pour }x\in\;[-4\;;\ 5].$

Exercice 5

Soit la fonction $f$ représentée graphiquement ci-dessous :

 

 
1) Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0\;;\ 4].$
 
2) Déterminer les extremums relatifs de $f.$
 
3) $f$ est-elle monotone sur $[0\;;\ 2]$ ? Justifier.
 
4) Résoudre graphiquement l'équation : $f(x)=0.$
 
5) Résoudre graphiquement les inéquations :
 
a) $f(x)\leq 4\qquad \text{b) }f(x)\geq 0$

Exercice 6

Soit $f\text{ et }g$ les fonctions définies par : 
 
$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\text{ et }g(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}.$
 
1) Préciser le domaine de définition des fonctions : 
 
$f\circ g\;;\ g\circ f\;;\ f\circ f\text{ et }g\circ g.$
 
2) Calculer : 
 
$(f\circ g)(x)\;;\ (g\circ f)(x)\;;\ (f\circ f)(x)\;;\ (g\circ g)(x).$

Exercice 7

On considère le polynôme $Q(x)$ suivant :
 
$Q(x)=(m^{3}-m^{2}-6m)x^{3}-(m^{2}+m-2)x^{2}+(m-1)x+2m-1.$
 
Déterminer $m$ pour que :
 
a) $deg (Q)=3\quad \text{b) }deg (Q)=2\quad \text{c) }deg (Q)=1.$

Exercice 8

1) Déterminer un polynôme $P$ de degré 3 vérifiant la relation : 
 
$P(x)-P(x-1)=x^{2}+x$
 
2) En déduire l'expression en fonction de $n$ de la somme :
 
$S=(1\times 2)+(2\times 3)+(3\times 4)+ \cdots n(n+1)$

Exercice 9

Soit $P(x)=x^{4}+2x^{3}-16x^{2}-2x+15$
 
1) Montrer que 1 et -1 sont racines de $P(x)$ puis donner une factorisation de $P(x).$
 
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$ et l'inéquation $P(x)\leq 0.$
 
$Conseil\ :\ Ne\ pas\ passer\ plus\ de\ 20\ minutes\ sur\ un\ seul\ exercice.$

                                                                                                   Durée 3h
 

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