Devoir n° 30 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

1) Résoudre les systèmes d'équations :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+z&=&2y\\ xy&=&z^{2}\quad\text{(on observera que }6^{3}=216)\\ xyz&=&216 \end{array}\right.$$
 
$$(II)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=&-6 \\ \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=&10 \\ \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}&=&0 \end{array}\right.$$
 
2) Discuter, suivant les valeurs de $m\text{ dans }\mathbb{R}$ , et résoudre le système d'équations :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m\,x+y+z&=&1\\ x+m\,y+z&=&m\\ x+y+m\,z&=&m^{2} \end{array}\right.$$

Exercice 2

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
 
a) $-1\leq\dfrac{10x^{2}-3x-2}{-x^{2}+3x-2}\leq 1$
 
b) $1+\dfrac{x}{x-m}=m\ $ (on discutera suivant les valeurs de $m$)
 
2) Déterminer les ensembles de définition des fonctions $f\text{ et }g$ définies par :
 
$f(x)=\dfrac{1}{|x-1|-\sqrt{x^{2}-3x-2}}$ et
 
$g(x)=\sqrt{3\sqrt{-x^{2}+x+6}-2(2x-3}$ 

Exercice 3

1) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
$$x^{3}+2x^{2}-13x+10=0.$$
 
2) Les restes des divisions d'un polynôme $P(x)\text{ par }x-1\;,\text{ par }x+5\;,\text{ et par }x-2$ sont respectivement $9\;,\ -3\text{ et }5.$
 
Déterminer le reste de la division de $P(x)\text{ par }(x-1)(x+5)(x-2).$
 
Sachant que $P(x)$ est du quatrième degré et qu'il est divisible par $x^{2}-9$, déterminer $P(x)$ ainsi que son quotient par $x^{3}+2x^{2}-13x+10.$

Exercice 4

Soit l'équation $(E_{m})\ :\ (m+3)x^{2}+2 mx+m-5=0.$
 
1) Discuter suivant les valeurs de $m$ dans $\mathbb{R}$ l'existence et le signe des racines de $(E_{m}).$
 
2) Déterminer $m$ pour que les racines vérifient : 
 
$(2x'-1)(2x''-1)=6.$
 
Calculer alors $x'\text{ et }x''.$
 
3) Déterminer $m$ pour que les racines vérifient :  $x'<2<x''.$

                                                                                               Durée 3h

 

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Pasmonprohem

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