Devoir n° 30 1e S

 

1) Résoudre les systèmes d'équations :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+z&=&2y\\ xy&=&z^{2}\quad\text{(on observera que }6^{3}=216)\\ xyz&=&216 \end{array}\right.$$

 

$$(II)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=&-6 \\ \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=&10 \\ \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}&=&0 \end{array}\right.$$

 

2) Discuter, suivant les valeurs de $m\text{ dans }\mathbb{R}$ , et résoudre le système d'équations :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m\,x+y+z&=&1\\ x+m\,y+z&=&m\\ x+y+m\,z&=&m^{2} \end{array}\right.$$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

a) $-1\leq\dfrac{10x^{2}-3x-2}{-x^{2}+3x-2}\leq 1$

 

b) $1+\dfrac{x}{x-m}=m\ $ (on discutera suivant les valeurs de $m$)

 

2) Déterminer les ensembles de définition des fonctions $f\text{ et }g$ définies par :

 

$f(x)=\dfrac{1}{|x-1|-\sqrt{x^{2}-3x-2}}$ et

 

$g(x)=\sqrt{3\sqrt{-x^{2}+x+6}-2(2x-3}$ 

1) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$$x^{3}+2x^{2}-13x+10=0.$$

 

2) Les restes des divisions d'un polynôme $P(x)\text{ par }x-1\;,\text{ par }x+5\;,\text{ et par }x-2$ sont respectivement $9\;,\ -3\text{ et }5.$

 

Déterminer le reste de la division de $P(x)\text{ par }(x-1)(x+5)(x-2).$

 

Sachant que $P(x)$ est du quatrième degré et qu'il est divisible par $x^{2}-9$, déterminer $P(x)$ ainsi que son quotient par $x^{3}+2x^{2}-13x+10.$

Soit l'équation $(E_{m})\ :\ (m+3)x^{2}+2 mx+m-5=0.$

 

1) Discuter suivant les valeurs de $m$ dans $\mathbb{R}$ l'existence et le signe des racines de $(E_{m}).$

 

2) Déterminer $m$ pour que les racines vérifient : 

 

$(2x'-1)(2x''-1)=6.$

 

Calculer alors $x'\text{ et }x''.$

 

3) Déterminer $m$ pour que les racines vérifient :  $x'<2<x''.$

                                                                                               Durée 3h