Devoir n° 32 1e S

 

$m$ est un paramètre réel. Discuter et résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

 

1) $5\sqrt{|x|-x}|=m-2x.$

 

2) $\dfrac{(1+x)^{2}}{1+x^{3}}+\dfrac{(1-x)^{2}}{1-x^{3}}=m.$

 

3) $\dfrac{x^{2}-6x-7}{x^{2}-mx+m^{2}}\leq \dfrac{4}{3}.$

Soit la fonction $f$ définie par : 

 

$f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}.$

 

1) a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}\text{ de }f.$

 

b) Discuter et résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x\ :\ f(x)=y$ ($y$ est un paramètre réel).

 

c) En déduire que $f$ définit une bijection de $\mathbb{R}\text{ sur }]-1\;;\ 1[$ ; définir sa réciproque $f^{-1}.$

 

2) Soit $g$ la fonction définie par : 

 

$g(x)=x-E\left(\dfrac{x}{n}\right)$ , où $n$ est un entier fixé, supérieur ou égal à 1.

 

a) Calculer $g(x+n).$ Que peut-on en conclure ?

 

b) Montrer que $g(x)\in\;[0\;;\ n]$ quel que soit $x\in\mathbb{R}.$

 

3) Montrer que la fonction $f\circ g$ est bornée sur $\mathbb{R}.$

$ABCD$ est un parallélogramme. 

 

$I\;,\ J\text{ et }K$ sont les barycentres respectifs de ${(A\;,\ 1)\;;\ (B\;,\ 3)}\;,\ {(A\;,\ 3)\;;\ (D\;,\ 1)}\text{ et }{(A\;,\ 1)\;;\ (D\;,\ 2)}.$

 

La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(DC)\text{ en }E$, et la s parallèles à $(AB)$ passant par $J\text{ et }K$ coupent respectivement $(BC)\text{ en }F\text{ et }G.$

 

1) Montrer que les droites $(AC)\;,\ (JE)\text{ et }(IF)$ sont parallèles.

 

2) Montrer que les droites $(AC)\;,\ (KE)\text{ et }(IG)$ sont concourantes.

$ABC$ est un triangle.

 

Soit $I$ le barycentre de ${(A\;,\ 1)(B\;,\ -1)(C\;,\ 1)}\text{ et }J$ le barycentre de ${(A\;,\ -1)(C\;,\ 2)}.$

 

1) Soit $M$ le barycentre de ${(A\;,\ \alpha)(B\;,\ \beta)(C\;,\gamma)}.$

 

Formuler une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma$ pour que $I\;,\ J\;,\ M$ soient alignés.

 

2) La droite $(IJ)\text{ coupe }(BC)\text{ en }K\text{ et }(AB)\text{ en }L.$ 

 

Calculer $\dfrac{\overline{KB}}{\overline{KC}}\text{ et }\dfrac{\overline{LA}}{\overline{LB}}.$

 

3) Déterminer $\gamma\text{ et }\mu$ pour que $L$ soit le barycentre de ${(I\;,\ \gamma))(J\;,\ \mu)}.$

                                                                                  Durée 3h