Devoir n° 38 - 2nd S

 

Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=\dfrac{2x-2}{x+1}$$

1) Déterminer le domaine de définition de $f.$

 

2) Déterminer le sens de variation de $f$ sur son domaine.

 

3) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

4) Construire la courbe $C_{f}$ représentant la fonction $f.$

 

On considère le polynôme $P(x)=6x^{3}+25x^{2}+3x-4$ admettant trois racines distinctes $a\;,\ b\ $ et $\ c.$

 

1) Sans calculer ces racines, calculer les réels $X\;;\ Y\;;\ Z$ suivants :

$$X=a+b+c\;;\quad Y=abc\;;\quad Z=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

2) Montrer que $-4$ est une racine de P(x), puis factoriser $P(x).$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$

 

4) En déduire les solutions de l'équation :

$$6(-x-1)^{3}+25(-x-1)^{2}+3(-x-1)-4=0$$

 

Déterminer un polynôme $P$ de degré $2$ tel que : 

$$\forall\;x\in \mathbb{R}\;,\ P(x)-P(x-1)=x$$

En utilisant l'égalité précédente :

$$P(1)-P(0)+P(2)-P(1)+\ldots+P(n-1)-P(n)\;,\quad n\in\mathbb{N}^{*}$$

Montrer que :

$$S=1+2+\ldots\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\;,\quad n\in\mathbb{N}^{*}$$

 

1) Montrer que pour tout $x\in ]-\pi\;;\pi]$

 

a) $\cos^{3} x-\sin^{3} x=(\cos x-\sin x)(1+\cos x\sin x)$

 

b) $\cos^{4} x+\sin^{4} x=1-2\cos^{2} x\sin^{2} x$

 

2) Exprimer les expressions suivantes en fonction de $\cos x\ $ et $\ \sin x$

 

a) $U=\cos(-10\pi+x)-3\sin (-\pi-x)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)+5\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)$

 

b)  $V=\cos(3\pi+x)-\sin (-\pi-x)+\cos\left(-\dfrac{11\pi}{2}-x\right)-2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)$

 

3) Calculer $\cos\dfrac{\pi}{12}\ $ et $\ \tan\dfrac{\pi}{12}$ sachant que : $\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

 

 

$$\text{Durée : 2h 30}$$