Devoir n° 52 - 1e S1

1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

$$f(x)=\dfrac{1+x}{x\mathbb{E}(2x)}\;;\quad g(x)=\dfrac{1}{|x|+x}$$

 

où $\mathbb{E}(x)$ désigne la partie entière de $x.$

 

2) On donne $h(x)=\sqrt{x^{2}-3x+2}$ et $k(x)=\sqrt{1-x^{2}}$

 

Déterminer le domaine de définition de $k\circ h$ 

 

3) Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ vérifie : 

$$3f(-x)+f(x)=4x^{3}+2x$$

 

Montrer que $f$ est impaire. 

 

En déduire $f(x).$

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto x|x|$

 

1) Soit $m$ un réel.

 

a) Résoudre en discutant suivant le signe des valeurs de $m$ l'équation : $x|x|=m$

 

b) En déduire que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}.$

 

c) Déterminer l'application réciproque $f^{-1}$

 

2) Construire, relativement à un repère orthonormé, les courbes représentatives $(C)$ et

$(C_{-1})$ respectives de $f$ et $f^{-1}.$

$ABCD$ est un parallélogramme tel que :

 

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}=\dfrac{1}{2}a^{2}$

 

1) Calculer en fonction de $a\;,\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\;;\quad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CD}$

 

2) On suppose maintenant que $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{DA}=a^{2}$

 

a) Calculer d'autre part $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{DB}$ en fonction de $AD$ et $a.$

 

En déduire $AD.$

 

b) Construire un parallélogramme $ABCD$ vérifiant les conditions données.

 

3) Placer le point $E$ tel que le quadrilatère $DCEA$ soit un trapèze isocèle.

 

Calculer $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AE}\;;\quad \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{CA}$ en fonction de $a.$

Soit $ABC$ un triangle avec $AB=c\;,\ AC=b$ et $BC=a.$

 

Soient $A'\;,\ B'$ et $C'$ les pieds respectifs des bissectrices intérieures issues de $A\;,\ B$ et $C.$

 

On rappelle que tout point de la bissectrice $(AA')$ est équidistant des cotés $(AB)$ et $(AC).$

 

1) Donner deux expressions de l'aire du triangle $AA'B.$

 

2) Donner deux expressions de l'aire du triangle $AA'C.$

 

3) En déduire l'égalité $\dfrac{A'C}{A'B}=\dfrac{b}{c}$

 

4) En déduire que $A'$ est le barycentre de $(B\;,\;b)$ et $(C\;,\;c)$

 

5) Quel est le barycentre du système de points $(A\;,\ a)\;,\ (B\;,\ b)$ et $(C\;,\ c)$ ?

1) Construire un triangle isocèle $ABC$ tel que : $AB=4\;cm\;,\ AB=AC=13\;cm$ et $BC=10\;cm$

 

On note $G$ son centre de gravité.

 

2) Calculer les longueurs $AG\;,\ BG$ et $CG.$

 

3) Montrer que pour tout point $M$ du plan on a :

$$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$$

 

4) Déterminer et représenter l'ensemble $(\varepsilon)$ des points $M$ du plan tels que :

$$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=194$$

 

5) Déterminer et représenter l'ensemble $(\varphi)$ des  ponts $M$ du plan tels que :

$$2MA^{2}-MB^{2}-MC^{2}=0$$