Devoir n° 9 - 2nd s

Dans un triangle $ABC\;$, on désigne par $M$ le milieu de $[AB]\;$, par celui de $[MC]$ et $K$ le point tel que : $$\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}$$

 

1) Montrer que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$

 

2) En déduire que les points $A\;,\ I\;,\ K$ sont alignés.

Soit un triangle $ABC$ et un point $M$ quelconque. On désigne par $B'$ et $C'$ les milieux des côtés $[CA]$ et $[AB].$

 

1) Construire les points $P$ et $Q$ définis par : $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MB}'$ et $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{MC}'$.

 

2) Montrer que $BCPQ$ est un parallélogramme.

On considère un parallélogramme $ABCD.$ Les points $M$ et $N$ sont tels que : $$\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\ \text{ et }\ \overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$

1) Faire une figure.

 

2) Montrer que $BMDN$ est un parallélogramme.

 

3) Soit $E$ le point commun aux droites $(DM)$ et $(AC)$

et $F$ le point commun aux droites $(BN)$ et $(AC).$

 

Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $\overrightarrow{AE}=\alpha\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EF}=\beta\overrightarrow{AC}$.

Résoudre les inéquations suivantes :

 

1) $|2x+7|>7$

 

2) $|5-2x|\leq 4$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$